秋人教A版必修1第二章21第二课时等式性质与不等式的性质.docx
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秋人教A版必修1第二章21第二课时等式性质与不等式的性质
第二课时 等式性质与不等式的性质
课标要求
素养要求
1.掌握不等式的基本性质;
2.运用不等式的性质解决有关问题.
通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题,提升数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
在日常生活中,糖水中加些糖后就会变的更甜,也可以用不等式来表示这一现象.
问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗?
提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为<,其中a0.
1.等式的性质
性质1 如果a=b,那么b=a;
性质2 如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3 如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4 如果a=b,那么ac=bc;
性质5 如果a=b,c≠0,那么=.
2.不等式的性质 注意这些性质是否可逆(易错点)
性质1 如果a>b,那么bb.即a>bb 性质2 如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>ca>c. 性质3 如果a>b,那么a+c>b+c. 性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac 性质5 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 性质6 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 性质7 如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2). 教材拓展补遗 [微判断] 1.a>bac2>bc2.(×) 提示 当c=0时,不成立. 2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×) 提示 相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系. 3.设a,b∈R,且a>b,则a3>b3.(√) [微训练] 1.已知a,b,m是正实数,则不等式>成立的条件是( ) A.ab C.与m有关D.恒成立 解析 -=,而a>0,m>0且>0,∴a-b>0.即a>b. 答案 B 2.已知m>n,则( ) A.m2>n2B.> C.mx2>nx2D.m+x>n+x 解析 由于m2-n2=(m-n)(m+n),而m+n>0不一定成立,所以m2>n2不一定成立,而,不一定有意义,所以选项A,B不正确;选项C中,若x2=0,则不成立. 答案 D [微思考] 1.若a>b,c>d,那么a+c>b+d成立吗? a-c>b-d呢? 提示 a+c>b+d成立,a-c>b-d不一定成立,但a-d>b-c成立. 2.若a>b,c>d,那么ac>bd成立吗? 提示 不一定,但当a>b>0,c>d>0时,一定成立. 题型一 利用不等式的性质判断命题的真假 【例1】 若<<0,有下面四个不等式: ①|a|>|b|,②ab3,则不正确的不等式的个数是( ) A.0B.1 C.2D.3 解析 由<<0可得b0,则a+b 故不正确的不等式的个数为2. 答案 C 规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解. 【训练1】 设a>b>0,c A.ac>bdB.< C.>D.ac2 解析 a>b>0,c 即有-ac>-bd>0,即ac 由cd>0,又ac 由-c>-d>0,-ac>-bd>0, 可得ac2>bd2,则D错.故选B. 答案 B 题型二 利用不等式的性质证明不等式 【例2】 若bc-ad≥0,bd>0,求证: ≤. 证明 ∵bc-ad≥0,∴bc≥ad, ∴bc+bd≥ad+bd, 即b(c+d)≥d(a+b). 又bd>0,两边同除以bd得,≤. 规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小; 2.证明不等式可以利用不等式性质证明,也可以用作差比较法证明,利用不等式性质证明时,不可省略条件或跳步推导. 【训练2】 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证: f-ac (2)a <. 证明 (1)因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc. 又e>f,即f (2)由于-==, ∵a0,ab>0, ∴<0,故<. 题型三 利用不等式的性质求范围 【例3】 已知1 求解范围时,不可两式直接相减 解 ∵3 ∴1-4 又<<,∴<<, 即<<2. 规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确使用不等式的性质,尤其是两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除. 【训练3】 已知-<β<α<,求2α-β的取值范围. 解 ∵-<α<,-<β<, ∴-<-β<.∴-π<α-β<π. 又∵β<α,∴α-β>0,∴0<α-β<π, 又2α-β=α+(α-β),∴-<2α-β<π. 一、素养落地 1.通过学习并理解不等式的性质,培养数学抽象素养,通过运用不等式的性质解决问题,提升数学运算素养. 2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立,实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形,证明过程中注意不等式成立的条件. 二、素养训练 1.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( ) A.M>NB.M=N C.M 解析 M-N=x2+x+1=+>0. ∴M>N. 答案 A 2.设a,b∈R,若a+|b|<0,则下列不等式中正确的是( ) A.a-b>0B.a3+b3>0 C.a2-b2<0D.a+b<0 解析 本题可采用特殊值法,取a=-2,b=1,则a-b<0,a3+b3<0,a2-b2>0,排除A,B,C,故选D. 答案 D 3.若8 解析 ∵2 又∵8 答案 2<<5 4.下列命题中,真命题是________(填序号). ①若a>b>0,则<;②若a>b,则c-2a 解析 ①a>b>00<<<;②a>b-2a<-2bc-2a 答案 ①②④ 5.已知>,bc>ad,求证: ab>0. 证明 ∵∴∴∴ab>0. 基础达标 一、选择题 1.已知a A. C.a2 解析 因为a 则->-,可排除A; (-3)2>(-2)2,可排除C; =>1,可排除D; 而->-,即>,B正确. 答案 B 2.设x A.x2 C.x2 解析 ∵xa2. ∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax. 又ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2. ∴x2>ax>a2. 答案 B 3.设a A.>B.ac C.|a|>-bD.> 解析 a,选项A正确;当c>0时选项B成立,其余情况不成立,则选项B不正确;|a|=-a>-b,则选项C正确;由-a>-b>0,可得>,则选项D正确,故选B. 答案 B 4.已知a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( ) A.a>>B.>>a C.>a>D.>>a 解析 由题意知>0,b2>1, 则>a,且<0,所以>>a. 答案 D
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