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中考专题几何探究题图形变换
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河南省数学中考专题----几何图形变换
1、(09年河南中考题)21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2.点0是AC的中点,过点0的直线l从与AC重合的位置开始,绕点0作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=________度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为_________;
②当α=________度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为_________;
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.
2、(10年河南中考题)19.(9分)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E是BC的中点,AD=5,BC=12,CD=
,∠C=45°,点P是BC边上一动点,设PB的长为x.
C
(1)当x的值为____________时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形;
(2)当x的值为____________时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形;
(3)点P在BC边上运动的过程中,以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形?
试说明理由.
3、(11年河南中考题)22.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5
,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证:
AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?
请说明理由.
4、(12年河南中考题)18.(9分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD、AN。
(1)求证:
四边形AMDN是平行四边形;
(2)填空:
①当AM的值为_____时,四边形AMDN是矩形;
②当AM的值为_______时,四边形AMDN是菱形。
第18题
5、(13年河南中考题)18.(9分)如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm.射线AG//BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:
△ADE≌△CDF;
(2)填空:
①当t为_________s时,四边形ACFE是菱形;
②当t为_________s时,以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形.
6、(10年郑州市实验中学模拟试卷)23.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,动点P从点A开始沿AC向点C以每秒2厘米的速度运动,同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒1厘米的速度运动.设运动的时间为t秒(0<t<5),△PQC的面积为Scm2.
(1)求S与t之间函数关系式.
(2)当t为何值时,△PQC的面积最大,最大面积是多少?
(3)在P、Q的移动过程中,△PQC能否为直角三角形?
若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由.
7、(12年郑州市模拟试卷)20.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,E为AB上任意一动点,以CE为斜边作等腰直角△CDE,连接AD,
(1)当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是相等
(2)AD与BC有什么位置关系?
说明理由.
(3)四边形ABCD的面积是否有最大值?
如果有,最大值是多少?
如果没有,说明理由.
8、(11年郑州市模拟试卷)24.如图,△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,点P从点C出发,以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,到达点B后,立刻以原速度返回,到达C后再返回,如此循环;点Q同时从点B出发,向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点A时停止运动,当点Q停止运动时点P也停止运动.设点P、Q运动的时间为t秒(t>0),
(1)当t=2时,BP=___________;3Q到BC的距离是____________。
(2)在点P第一次向B运动的过程中,求四边形ACPQ的面积与t的函数关系式(不写t的取值范围);
(3)在点P、Q运动的过程中,四边形ACPQ能否成为直角梯形?
若能,请直接写出t的值;若不能,请说明理由.
9、(13年郑州市模拟试卷)30.如图①,四边形AEFG和ABCD都是正方形,它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上(以下问题的结果均可用a,b的代数式表示).
(1)求S△DBF;
(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②,求图②中的S△DBF;
(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周,在旋转的过程中,S△DBF是否存在最大值、最小值?
如果存在,直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.
10、(12年信阳市二中模拟试卷)19.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是AD的中点,AD=4,BC=6,点P是BC边上的动点(不与点B重合),PE与BD相交于点O,设PB的长为x.
(1)当P点在BC边上运动时,求证:
△BOP∽△DOE.
(2)当x=_______2时,四边形ABPE是平行四边形;当x=_________3时,四边形ABPE是直角梯形;
(3)当P在BC上运动的过程中,四边形ABPE会不会是等腰梯形?
试说明理由.
11、(12年信阳市淮滨县模拟试卷)22.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12.动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动.两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动.
(1)梯形ABCD的面积等于__________36
(2)当PQ∥AB时,P点离开D点的时间等于____________秒;
(3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,P点离开D点多少时间?
12、(2010年南阳油田二模试卷)23.正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.
(1)证明:
Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN的面积最大,并求出最大面积;
(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值.
13、(2011年南阳市宛城区模拟试卷)22.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90°,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点B重合),EP与BD相交于点O.
(1)当P点在BC边上运动时,求证:
△BOP∽△DOE;
(2)设
(1)中的相似比为k,若AD:
BC=2:
3.请探究:
当k为下列三种情况时,四边形ABPE是什么四边形?
①当k=1时,是___________平行四边形;②当k=2时,是____________;直角梯形③当k=3时,是_________。
等腰梯形
并证明k=2时的结论.
14、(2010年漯河市龙城一中模拟试卷)21.在正方形ABCD中,点P是CD边上一动点,连接PA,分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA,垂足分别为E、F,如图①.
(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系?
若点P在DC的延长线上,如图②,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?
若点P在CD的延长线上呢,如图③,请分别直接写出结论;
(2)就
(1)中的三个结论选择一个加以证明.
15、(2009年新乡市模拟试卷)22.在如图所示的网格中,每个小正方形边长为1.
(1)以MN所在的直线为对称轴,画出四边形ABCD的轴对称图形AB1C1D1;
(2)将△ABD以点B为旋转中心,顺时针旋转90°后,再向下平移8个单位长度,然后向左平移6个单位长度,得到△A2B2C2,请将
(1)、
(2)中得到的图形用铅笔涂黑,你得到一幅美丽的图案;
(3)计算CC1的长.
16、(2009年新乡市模拟试卷)26.已知菱形ABCD中,∠BAD=120°,过点A分别作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,且∠EAF=60°,易证:
BE+DF=AB;
当∠EAF绕着点A逆时针方向旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC、CD(或两边BC、CD的延长线)相交,但不垂直时(如图2、图3),上述结论是否还成立.如果成立,请给予证明;如果不成立,请直接写出线段BE、DF、AB三者之间的数量关系,不用证明.
17、(2010年新乡市模拟试卷)21.已知△ABC和△FDE是顶角相等的两个等腰三角形,AB=AC,FD=FE,把点F放到与A点重合,E在线段BC的延长线上.
(1)如图1,若∠BAC=∠DFE=60°,此时∠DCE=___________;
60°
(2)如图2,若∠BAC=∠DFE=95°,此时∠DCE=_____________;
95°
(3)若∠BAC=∠DFE=n°,将△FDE沿线段AC向下滑动,如图3所示,试猜想此时∠DCE的度数,并写出详细求解过程
18、(2012年新乡市调研试卷)22.如图,△ABC中AB=6cm,BC=4cm,∠B=60°.动点P,Q分别从A,B两点同时出发,分别沿AB,BC方向匀速移动.它们的速度分别为2cm/s和1cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;当点P运动到什么位置时,四边形APQC的面积最小,并求出最小面积.
19、(2011年商丘市外国语中学模拟试卷)17.如图,网络中每个小正方形的边长为1,点C的坐标为(0,1).
(1)画出直角坐标系(要求标出x轴,y轴和原点)并写出点A的坐标;
(2)以△ABC为基本图形,利用轴对称或旋转或平移设计一个图案,说明你的创意.
20、(2011年驻马店市模拟试卷)20.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=
对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)证明:
当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
21、(2013年郑州市荥阳四中模拟试卷)22.如图1,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE;
(1)当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时,AG=CE是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(2)当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.
①求证:
AG⊥CH;
②当AD=4,DG=
时,求CH的长.
22.(2011安阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD交于点O,∠ABC=60°,AB=1,E、F分别是线段BO、DO上不与点O重合的点,且BE=DF.
(1)探究:
当BC的长为多少时,四边形AECF是菱形?
并说明理由.
(2)当四边形AECF是正方形时,求DF的长.
23.(2012安阳模拟)已知,如图,在△ABC中,AB=AC,点P是△ABC的中线AD上的任意一点(不与点A重合.将线段AP绕点A逆时针旋转到AQ,使∠PAQ=∠BAC,连接BP,CQ
(1)求证:
BP=CQ.
(2)设直线BP与直线CQ相交于点E,∠BAC=α,∠BEC=β,
①若点P在线段AD上移动(不与点A重合),则“α与β之间有怎样的数量关系?
并说明理由.
②若点P在直线AD上移动(不与点A重合).则α与β之间有怎样的数量关系?
请直接写出你的结论.
24.(2013洛阳模拟2)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在射线DE上,并且EF=AC.
(1)求证:
AF=CE;
(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?
请回答并证明你的结论;
(3)四边形ACEF有可能是正方形吗?
为什么?
25.(2013洛阳模拟3)将一副三角尺如图拼接:
含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2
,P是AC上的一个动点.
(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长;
(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数;
(3)当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?
求出此时▱DPBQ的面积.
26.(2013洛阳模拟1)如图,△ABC中AB=6cm,BC=4cm,∠B=60°.动点P,Q分别从A,B两点同时出发,分别沿AB,BC方向匀速移动.它们的速度分别为2cm/s和1cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;当点P运动到什么位置时,四边形APQC的面积最小,并求出最小面积.
27.(2012开封模拟1)刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见下图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:
他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).
(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:
F、C两点间的距离
. (填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:
问题①:
当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行?
问题②:
当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?
请你分别完成上述二个问题的解答过程.
28.(2012开封模拟2)如图.△ABC中AB=6cm,BC=4cm,∠B=60°,动点P、Q分别从A、B两点同时出发.分别沿AB、BC方向匀速移动;它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.当点P到达点B时.P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).当t为时,△PBQ为直角三角形
29.(2011平顶山模拟)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=
.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)证明:
当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
30.(2011平顶山模拟)如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称.
(1)画出对称中心E,并写出点E、A、C的坐标;
(2)P(a,b)是△ABC的边AC上一点,△ABC经平移后点P的对应点为P2(a+6,b+2),请画出上述平移后的△A2B2C2,并写出点A2、C2的坐标;
(3)判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系.(直接写出结果)
31.(2012平顶山模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P作PQ⊥AC于Q,以PQ为边向下作等边三角形PQR.设AP=x,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,连接RB.
(1)当x=2时,求y的值;
(2)当x取何值时,四边形AQRB是等腰梯形;当x取何值时,四边形PQRB是平行四边形.
32.(2013平顶山模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为M、N.设AP=x.
(1)在△ABC中,AB=;
(2)当x=时,矩形PMCN的周长是14;
(3)是否存在x的值,使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?
请说出你的判断,并加以说明.
33.(2011鹤壁模拟)如图,一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动,移动过程中始终保持AB⊥ON于点B,AC⊥OM于点A.∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.
(1)点A在移动的过程中,线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由.
(2)点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称,判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形?
(3)若∠MON=45°,猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系,只写出结果即可.不用证明.
34.(2013鹤壁模拟)如图,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连接AC交NP于Q,连接MQ.
(1)点(填M或N)能到达终点;
(2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大;
(3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
35.(2010许昌模拟1)如图,直线l与x轴、y轴分别交于点M(8,0),点N(0,6).点P从点N出发,以每秒1个单位长度的速度沿N⇒O方向运动,点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动.已知点P、Q同时出发,当点Q达点M时,P、Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒.
(1)设四边形MNPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围.
(2)当t为何值时,PQ与l平行.
36.(2010许昌模拟2)
(1)把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,连接BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证:
AF⊥BE.
(2)把两个含有30°角的直角三角板如图2放置,点D在BC上,连接BE,AD,AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直?
并说明理由.
37.(2011鹤壁模拟)
(1)如图,△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于D,E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F.请按图示数据填空:
四边形DBFE的面积S=,△EFC的面积S1=,△ADE的面积S2=.
探究发现
(2)在
(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h.请证明S2=4S1S2.
拓展迁移
(3)如图,▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3,试利用
(2)中的结论求△ABC的面积.
38.(2012鹤壁模拟)已知,四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H
(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?
并证明;
(2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长;
小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?
39.(2011焦作模拟)某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行,并以各自的速度匀速行驶,途经配货站C,甲车先到达C地,并在C地用1小时配货,然后按原速度开往B地,乙车从B地直达A地,图是甲、乙两车间的距离y(千米)与乙车出发x(时)的函数的部分图象.
(1)A、B两地的距离是千米,甲车出发小时到达C地;
(2)求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中,y与x的函数关系式及x的取值范围,并在图中补全函数图象;
(3)乙车出发多长时间,两车相距150千米.
40.(2011焦作模拟)如图,已知⊙O的半径为1,PQ是⊙O的直径,n个相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都关于PQ对称,其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合,第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点,…,最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上.
(1)如图1,当n=1时,求正三角形的边长a1;
(2)如图2,当n=2时,求正三角形的边长a2;
(3)如题图,求正三角形的边长an(用含n的代数式表示)
41.(2013焦作模拟)在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABO的三个顶点都在格点上.
(1)以O为原点建立直角坐标系,点B的坐标为(-3,1),直接写出点A的坐标;
(2)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1,并求点B旋转到B1所经过的路线的长度.
42.(2013焦作模拟)以原点为圆心,1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为(2,0).
(1)如图1,动点Q从点B处出发,沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒,当t=1时,直线PQ恰好与⊙O第一次相切,连接OQ.求此时点Q的运动速度(结果保留);
(2)若点Q按照
(1)中的方向和速度继续运动,
①当t为何值时,以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形;
②在①的条件下,如果直线PQ与⊙O相交,请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.
43.(2013焦作模拟)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm.动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形和梯形重合部分的面积为Scm2.
(1)当t=s时,点P与点Q重合;
(2)当t=s时,点D在QF上;
(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,求S与t之间的函数关系式.
44.(2013周口模拟)如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为,线段CF、BD的数量关系为;
②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什
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