知识点等腰三角形与等边三角形中考数学试题分类汇编可供参考.docx
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知识点等腰三角形与等边三角形中考数学试题分类汇编可供参考
知识点;等腰三角形与等边三角形(2019中考数学试题分类汇编)
1知识点29等腰三角形与等边三角形
一、选择题
1.(2018四川绵阳,11,3分)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE=2,AD=6,则两个三角形重叠部分的面积为A.2B.23-C.13-D.33-
【答案】D
【解析】解:
过A点作AF⊥CE于点F,设AB与CD的交点为M,过M点作MN⊥AC于点N,如图所示.∵△ECD为等腰直角三角形,
∴∠E=45°.
∵AE=2,AD=6,
∴AF=EF=1,CE=CD=2DE=31+,
∴CF=3,
∴AC=22CFAF+=2,∠ACF=30°
∴∠ACD=60°.
设MN=x,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
2∴AN=MN=x,CN=3
MN=33x,∴AC=AN+CN=x+
33x=2,解得x=3-3,
∴S△ACM=2
1×AC×MN=3-3.故选
D.
【知识点】等腰直角三角形的性质,含30°角的直角三角形性质,勾股定理,三角形面积计算
2.(2018山东临沂,11,3分)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是()
第11题图A.
32B
.2C
.D【答案】B
3【解析】∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC+∠DCA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ECB+∠DCA=90°,∴∠DCA=∠ECB,∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴AD=CE=3,CD=BE=1,∴DE=CE-CD=3-1=2,故选B.
【知识点】等腰直角三角形全等三角形的判定和性质
3.(2018山东省淄博市,11,4分)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为
(A)4(B)6(C)
(D)8
(第11题图)
B
【答案】B【思路分析】由已知MN∥BC和CM平分∠ACB可证MN=NC,∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,再由MN平分∠AMC可得∠ANM=∠ACB,从而得到∠ANM=2∠AMN,可得∠AMN=30°,再利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出MN,进而得到NC,求得AC,从而求出BC.
【解题过程】∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=
12∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC,∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=12∠AMC,∴∠AMN=12∠ACB=12
∠ANM,∵∠A=90°,∴∠AMN=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3,∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故选B.
【知识点】平行线的性质;等腰三角形判定;解直角三角形
4.(2018浙江湖州,5,3)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠
ACE的度数是()
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
【答案】B
【解析】∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°.∵CE是∠ABC的平分线,∴∠ACE=35°.故选B.
【知识点】等腰三角形,角平分线,中线
1.(2018福建A卷,5,4)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于()
A.15°B.30°C.45°D.60°
【答案】A
【解析】解:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,∴BD=CD,AD是BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB=45°,∴∠ECA=-60°-45°=15°.
【知识点】等边三角形性质,三线合一
2.(2018福建B卷,5,4)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于()
A.15°B.30°C.45°D.60°
【答案】A
【解析】解:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,∴BD=CD,AD是BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB=45°,∴∠ECA=-60°-45°=15°.
【知识点】等边三角形性质,三线合一
3.(2018四川雅安,10题,3分)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,
B为圆心,BC
4
为半径画弧,交AC与点D,则线段AD的长为
第10题图
A.
【答案】C
【解析】在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,所以∠B=72°,∠A=36°,因为BC=BD,所以∠BDC=72°,所以∠ABD=36°,
所以
C
【知识点】等腰三角形
4.(2018四川凉山州,4,4分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
①分别以A、B为圆心,大于1
2
AB长为
半径作弧,两弧相交于M、N两点;②作直线MN交BC于D,连结AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=()
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
【答案】C
【解析】由作图可知MN为线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠DAB=∠B=25°,∵∠CDA为△ABD的一个外角,∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°.∵AD=AC,∴∠C=∠CDA=50°.故选择C.
【知识点】尺规作图——线段的垂直平分线,线段垂直平分线的性质,三角形外角的性质,等腰三角形的性质.
55.(2018广西玉林,9题,3分)如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是
A.平行
B.相交
C.垂直
D.平行、相交或垂直
第9题图
【答案】A
【解析】由已知得△AOB为等边三角形.所以∠O=∠OAB=60°.
易证△AOC≌△ABD,得∠ABD=60°.所以∠OAB=∠ABD,所以BD∥OA.
故选A.
【知识点】等边三角形的判定;全等三角形的判定;平行线的判定
二、填空题
1.(2018四川省成都市,11,4)等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角的度数为.
【答案】80°
【解析】解:
∵等腰三角形的一个底角为50°,且两个底角相等,∴顶角为180°-2×50°=80°.
【知识点】等腰三角形性质,三角形的内角和
1.(2018贵州遵义,14题,4分)如图,△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若∠CAE=16°,则∠B为_______度
第14题图
【答案】37
【解析】因为AD=AC,E为CD的中点,所以∠DAC=2∠CAE=32°,所以∠ADC=1
2
(180°-∠DAC)=74°,因为BD=AD,
所以∠B=1
2
∠ADC=37°
【知识点】等腰三角形三线合一,外角
6
7
2.(2018湖南省湘潭市,12,3分)如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠
BAD________.
【答案】30°
【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∵D是BC中点,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=30°.
【知识点】等边三角形的性质;等腰三角形的性质
3.(2018江苏淮安,13,3)若一个等腰三角形的顶角等于50°,则它的底角等于
.
【答案】65°
【解析】分析:
本题考查等腰三角形性质,根据三角形内角和定理和等腰三角形性质可得结果.
解:
由题意得,等腰三角形的底角=(180°-顶角)÷2=(180°-50°)÷2=65°.
故答案为65°
【知识点】等腰三角形;等腰三角形性质;三角形内角和定理
4.(2018湖南张家界,12,3分)如图,将ABC∆绕点A逆时针旋转︒150,得到ADE∆,这时点D
CB、、恰好在同一直线上,则B∠的度数为______.
【答案】15
【解析】解:
∵ABC∆绕点A逆时针旋转︒150,得到ADE∆,
∴∠BAD=150°,ABC∆≌ADE∆.∴AB=AD.
8∴△BAD是等腰三角形.∴∠B=∠ADB=1°-2
BAD(180∠)=15°.
【知识点】旋转的性质,等腰三角形的性质.
三、解答题
1.(2018浙江绍兴,22,12分)数学课上,张老师举了下面的例题:
例1等腰三角形ABC中,110A∠=,求B∠的度数.(答案:
35)例2等腰三角形ABC中,40A∠=,求B∠的度数.(答案:
40或70或100)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式等腰三角形ABC中,80A∠=,求B∠的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解
(1)后,小敏发现,A∠的度数不同,得到B∠的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设Ax∠=,当B∠有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
【思路分析】
(1)可分当A∠为顶角、当A∠为底角两种情况讨论,当A∠为顶角时,B∠只能为底角;当A∠为底角时,B∠既可以为顶角,也可以为底角所以B∠的度数有三种情况。
(2)分两种情况:
当90180x≤<时,A∠只能为顶角,B∠的度数只有一个;当090x<<时,A∠既可以是顶角,也可以是底角,当A∠是底角时,B∠既可以为底角,也可以为顶角,也就是B∠有三个不同的度数,
但是当A∠=60°时,B∠只能等于60°,
所以当B∠有三个不同的度数时,x的取值范围是090x<<且60x≠。
【解题过程】22.解:
(1)当A∠为顶角,则50B∠=,
当A∠为底角,若B∠为顶角,则20B∠=,
若B∠为底角,则80B∠=,
∴50B∠=或20或80.
(2)分两种情况:
9①当90180x≤<时,A∠只能为顶角,
∴B∠的度数只有一个.
②当090x<<时,
若A∠为顶角,则1802xB-⎛⎫∠=⎪⎝
⎭
,若A∠为底角,则Bx∠=或(1802)Bx∠=-,当18018022xx-≠-且1802
xx-≠且1802xx-≠,即60x≠时,B∠有三个不同的度数.
综上①②,当090x<<且60x≠,B∠有三个不同的度数.
【知识点】等腰三角形的性质
2.(2018宁波市,23题,10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重
合,连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F连接BE.
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
A
【思路分析】
【解题过程】解:
(1)∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,
∴∠DCE=90°,CD=CE,
又∵∠ACB=90°,
10∴∠ACB=∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
∵
∴△ACD≌△BCE(SAS)
(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°
∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°
又:
AD=BF∠BEF=∠BFE==67.5°
【知识点】全等三角形的判定、等腰三角形的性质1.(2018武汉市,18,8分)如图,点E、F在BC上,BE=
CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G,求证:
GE=GF
.
【思路分析】如图,由已知条件证得△ABF≌△DCE,得∠1=∠2,再根据等腰三角形的判定定理得GE=GF.
【解题过程】∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE,
在△ABF和△DCE中
ABDCBCBFCE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△ABF≌△DCE(SASA),
∴∠1=∠2,
11∴GE=GF.
G
D
C
FEBA2
1
第18题答图
【知识点】全等三角形的判定全等三角形的性质等腰三角形的判定
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