一次函数的应用.docx
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一次函数的应用
课题一次函数的应用
教学目标:
1、学生能说出一次函数的解析式、图象和性质。
2、能通过一次函数图象获取信息,发展形象思维,体验数形结合思想,提高学生的识图和处理信息的能力。
3、经历思考讨论等活动过程,让学生认识一次函数与现实生活中的联系,发展学生运用一次函数这一知识解决实际问题的意识,同时展现当前的社会环境保护的迫切性,渗透生命与环境的和谐统一。
教学重点和难点:
重点:
应用一次函数解决实际问题。
难点:
把实际问题转化为一次函数问题。
教学过程
一、引入:
2008年在我们的国家将举办一场举世瞩目的体育盛会,大家知道是什么吗?
对,奥运会!
!
让我们借助googleearth找到它的举办地:
我们的伟大首都—北京吧!
北京奥运的三大理念—绿色奥运、科技奥运、人文奥运,让我们来看一看它及其周围的环境。
(打开googleearth)。
北京及其附近还有那么少许绿色,随着往西面移动会大家看到了什么呢?
绿色的太行山脉,再往右,大家看到了吗?
(生)对,沙漠,河套地区的毛乌素沙漠,再往右,黄土高原---腾格里沙漠,几乎寸草不生的沙漠,环境极其恶劣。
刚才我们在空中远处观看了我国西北的沙漠情况,让我们再通过几幅照片的看一下北京附近的一些沙漠,近距离的感受一下这无尽的荒漠吧!
(打开图片)。
下面,我们想就通过两个实际问题,来看看大家能否利用刚刚所学的数学知识---“一次函数”来研究一下这些现象呢?
[课题:
一次函数的应用]
例1、据报道:
北京附近某一地区从1995年底开始,每年增加的沙漠的面积几乎相同,1998年底该地区的沙漠面积约为100.6万公顷,2001年底扩展到101.2万公顷,如果不进行有效治理,试预测到2007年底该地区的沙漠面积。
[分析讲解策略]:
(师生互动)
生:
可先自己独立思考后,小组讨论研究。
分析:
首先需要建立这个实际问题的数学模型,由题意可知沙漠的面积y与年份x间存在一次函数关系:
可用y=kx+b表示,再利用待定系数法求出常数k后,可根据这一函数解析式预测未来某一年底的沙漠面积。
年份x(年)
沙漠面积y(万公顷)
1998年底
100.6
1999年底
2000年底
2001年底
101.2
……
2007年底
解法一、设x年底的沙漠面积为y万公顷,则设y=kx+b
再将x=1998时y=100.6;x=2001时y=101.2分别代入,
当x=2007时,y=0.2×2007-299=102.4
答:
估计到2007年底该地区的沙漠面积为102.4万公顷。
解法二、设该地区每年增长的沙漠面积为k万公顷,以1999年底为第1年,第x年的沙漠面积为y万公顷,那么得:
y=kx+100.6
2001年为第3年,即当x=3时,y=101.2
得:
101.2=3k+100.6
k=0.2
∴y=0.2x+100.6
2007年是第9年,即当x=9时,
y=0.2×9+100.6
=102.4
解法三、以1999年为第1年,第x年的沙漠面积为y万公顷,则
y=kx+b
再将x=0时y=100.6;x=3时y=101.2分别代入,
二、大量土地的沙漠化,给人类的生存带来的严重的威胁。
有些同学会说:
威胁离我们距离、时间都太遥远了,无需担忧;俗话说的好:
人无远虑,必有近忧。
可不,前几天的上海的浮尘天气给我们的生活带来不小的麻烦。
它就是沙漠化的副产品――沙尘暴带来的后果。
让我们看一个有关沙尘暴的短片吧(播放沙尘暴的视频资料),再让我们看几幅图片吧。
这是卫星拍摄的图片,这是云海吗?
不,它是沙海!
这是滔天海浪吗?
不,这是滔天沙浪!
!
城市湮没在什么当中?
?
?
看看,对,也是在沙海中!
!
!
轿车上写得是什么?
对,下土了!
!
!
!
!
某气象研究机构为了治理沙尘暴,观测到一场沙尘暴从发生到结束的全过程,观察数据绘制而成的一幅图象,请看下图,它反映了沙尘暴的风速随着时间变化而变化,先让我们看一下横轴与纵轴的具体含义;再仔细观察该图,大家又能从中获取什么信息呢?
师生共同观测分析从图象与文字中可知如下信息:
(略)
好,下面再让我们将具体数据给出,请看例2:
例2、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程。
现将观察数据绘制成右图:
开始时风速平均每小时增加2千米,4小时后沙尘暴经过一片开阔的荒漠地,风速变为平均每小时增加4千米,随后一段时间内,风速保持不变,当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少1千米,最终停止。
结合风速与时间的图象,同时回答下列问题:
(1)在y轴的( )内填入相应的数值;
(2)沙尘暴从发生到结束,共经过多少小时?
(3)求出当x≥25时,风速y(千米/时)与时间x(小时)之间的函
数关系式;
(4)若风速达到或超过20千米/时,称为强沙尘暴,则强沙尘暴持
续多长时间。
[分析讲解策略]:
①右图是某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程后将观察数据绘制而成的一幅图象,反映了沙尘暴的风速随着时间变化,先让我们看一下横轴与纵轴的具体含义;再仔细观察该图,大家又能从中获取什么信息呢?
师生共同观测分析从图象与文字中可知如下信息:
沙尘暴分四个阶段:
0--4小时,风暴平均每小时增加2千米/;
4--10小时,风速平均每小时增加4千米/时;
10--25小时,风暴速度保持不变;
25小时后风暴速度平均每小时减小1千米/时,最终停止。
②对于第(3)题引导学生观察图象得出当x≥25时,风速y(千米/
时)是时间x(小时)的一次函数。
(学生练习,一学生板书)
③第(4)小题进一步培养学生应用数学知识实际问题的能力。
解:
(1)8,32。
(2)32÷1+25=57
(3)由题可设:
y=kx+b
再将x=25时y=32;x=57时y=0分别代入,
(4)线段OA:
y=2x(0≤x<4)
线段AB:
y=4x-8(4≤x<10);y=20时,x=7
线段BC:
y=32(10≤x<25);
线段CD:
y=-x+57(25≤x≤57)。
y=20时,x=37
通过图象,利用两条函数图象的交点来解决。
时间=30小时。
三、自主小结
通过本节课的学习,你在知识、方法方面以及环境方面都有哪些感悟?
四、作业:
补充题。
1、在正常情况下,一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S(次/分)是这个人年龄n(岁)的一次函数。
(1)根据以上信息,求在正常情况下,S关于n的函数关系式;
在正常情况下,年龄15岁和45岁
的人作运动时他能承受心跳的次数
分别为164次/分和144次/分。
根据医学上的科学研究,人在运动时,心跳的快慢通常和年龄有关。
(2)若一位63岁的人在跑步,医生在途中给他测得10秒心跳为26次,问:
他是否有危险?
为什么?
y
2、全世界每年都有大量土地被沙漠吞没,改造沙漠,保护土地资源,已成为一项十分紧迫的任务,某地原有沙漠面积100万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行了连续3年观察,并将每年年底的观察结果记录如下表。
根据这些数据描点、连线绘成曲线
如图,发现连成直线状。
观察时间(x)
该地区沙漠比原有面积增加数(y)
第一年底
0.2万公顷
第二年底
0.4万公顷
第三年底
0.6万公顷
2、据报道:
某地区从1995年底开始,每年增加的沙漠的面积几乎相同,1998年该地区的沙漠面积约为100.6公顷,2001年扩展到101.2公顷,如果不进行有效治理,试估计到2020年该地区的沙漠面积。
全国每年都有大量的土地被沙漠吞没,改造沙漠保护土地资源已经成为一项十分重要和急迫的任务.某地区现在有土地面积1000万km2,沙漠面积200万km2,土地沙漠化的变化情况如下图所示.
(I)如果不采取任何措施,那么到第5年底?
该地区的沙漠面积将新增加多少万km2?
(II)如果该地区沙漠面积继续按此形式发展那么从现在开始几年底后,该地区将丧失土地资源?
(III)如果从现在开始采取植树造林措施,每年改造沙漠4万km2那么几年底该地区的沙漠面积能减少到176万km2?
例3、右图表示一骑自行车和一骑摩托车沿相同路由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数).两地间的距离是80千米。
请你根据图象回答或解决下面的问题:
(1)谁出发的较早?
早多长时间?
谁到达乙地较早?
早到多长时间?
(2)两人在途中行驶的速度分别是多少?
(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式;
(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点);在这一时间段内,请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式(不要化简,也不要求解):
自行车行驶在摩托车前面;
自行车与摩托车相遇;
自行车行驶在摩托车后面。
4.(本小题满分8分)甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地,行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图6.根据图象解决下列问题:
(1)谁先出发?
先出发多少时间?
谁先到达终点?
先到多少时间?
(2)分别求出甲、乙两人的行驶速度;
(3)在什么时间段内,两人均行驶在途中(不包括起点和终点)?
在这一时间段内,请你根据下列情形,分别列出关于行驶时间x的方程或不等式(不化简,也不求解):
①甲在乙的前面;②甲与乙相遇;③甲在乙后面.
母亲节这一天,小明欲买些鲜花送给母亲。
他了解到离家较近的甲花店,康乃馨每支2元,买10枝以上,一律9折优惠,乙花店康乃馨2元/枝,超过10支部分7.5折,若买15支康乃馨到哪家更合算呢?
如今,餐馆常用一次性筷子,有人说这是浪费资源,破坏生态环境.已知用来生产一次性筷子的大树的数量(万棵)与加工后一次性筷子的数量(亿双)成正比例关系,且100万棵大树能加工成18亿双一次性筷子.
(1)求用来生产一次性筷子的大树的数量
(万棵)与加工后一次性筷子的数量
(亿双)的函数关系式.
(2)据统计,我国一年要耗费一次性筷子约450亿双,生产这些一次性筷子约需要多少万棵大树?
每1万棵大树占地面积约为0.08平方千米,照这样计算,我国的森林面积每年因此将会减少大约多少平方千米?
答案:
(1)设
,由题意得:
,求得
所以用来加工一次性筷子的大树的数量
(万棵)与加工后筷子的数量
(亿双)的函数关系式为
(2)当
时,
,
平方千米.
答:
略
1)某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同。
设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主的月费用y1元,应付国营出租车公司的月租费是y2元,y1、y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图,观察图象回答下列问题:
1每月行驶的路程在什么范围内,租国营公司的车合算?
2每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?
3
如果这个单位估计每月行驶的路租为2300千米,那么这个单位租哪家的车合算?
22.(本题10分)如图所示,直线l1:
:
y=3x+3与x轴交于B点,与直线l2交于y轴上一点A,且l2与x轴的交点为C(1,0)。
(1)求证:
∠ABC=∠ACB(3分)
(2)如图所示,过x轴上一点D(-3,0)作DE⊥AC于E,DE交y轴于F点,交AB于G点,求G点的坐标。
(3分)
(3)如图所示,将△ABC沿x轴向左平移,AC边与y轴交于一点P(P不同于A、C两点),过P点作一直线与AB的延长线交于Q点,与x轴交于M点,且CP=BQ,在△ABC平移的过程中,线段OM的长度是否发生变化?
若不变,请求出它的长度;若变化,确定其变化范围。
(4分)
1.某市为鼓励市民节约用水,规定水费收费标准如下:
若每户每月用水不超过15吨,则每吨收费1.2元;若超过15吨,则超过部分每吨收费2元。
(1)设用水量为x吨,应交水费为吨,请写出当0
(2)若某用户第一季度交纳水费的情况如下表:
月份(月)
1
2
3
金额(元)
20
24
14.4
在全国抗击“非典”的斗争中,黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战,终于研制出一种治疗非典的抗生药,据临床观察:
如果成人按规定的剂量注射这种抗生素,注射药液后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似地满足图8所示的折线.
(1)写出注射药液后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2)据临床观察:
每毫升血液中含药量不少于4微克时,控制“非典”病情是有效的.如果病人按规定的剂量注射该药液后,那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效?
这个有效时间有多长?
(3)假若某病人一天中第一次注射药液是早晨6点钟,问怎样安排此人从6:
00~20:
00注射药液的时间,才能使病人的治疗效果最好?
小文家与学校相距1000米.某天小文上学时忘了带一本书,走了一段时间才想起,于是返回家拿书,然后加快速度赶到学校.下图是小文与家的距离
(米)关于时间
(分钟)的函数图象.请你根据图象中给出的信息,解答下列问题:
(1)小文走了多远才返回家拿书?
(2)求线段
所在直线的函数解析式;
(3)当
分钟时,求小文与家的距离.
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- 一次 函数 应用