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初二数学知识点总结
初二数学知识点总结
第十二章数的开方
一、平方根
1、如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数。
2、如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
3、求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
二、立方根
1、如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
2、求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
三、实数
1、无限不循环小数又叫做无理数。
2、有理数和无理数统称实数。
3、一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
第十三章整式的乘除
一、同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即(都是正整数)
二、幂的乘方法则:
1、幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即(都是正整数)
2、幂的乘方法则可以逆用:
即
三、积的乘方法则:
积的乘方,等于各因数乘方的积。
即(是正整数)
四、同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
即(都是正整数,且
五、零指数和负指数;
1、,即任何不等于零的数的零次方等于1。
2、(是正整数),即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。
六、单项式的乘法法则:
单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
注意:
①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。
②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
七、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
即(都是单项式)
注意:
①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。
]
如:
八、多项式与多项式相乘的法则;
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
如:
九、平方差公式:
1、注意平方差公式展开只有两项
2、公式特征:
左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
十、完全平方公式:
1、
2、公式特征:
左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意:
完全平方公式的口诀:
首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。
十一、三项式的完全平方公式:
十二、单项式的除法法则:
1、单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
2、注意:
首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
如:
十三、多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即:
十四、因式分解
1、多项式中每一项都含有一个相同的因式,称之为公因式。
2、把公因式提出来,多项式就可以分解成两个因式的乘积。
这种方法叫做提公因式法。
第十四章勾股定理
一、勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即:
a2+b2=c2)
二、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长:
a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:
勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
第十五章平移与旋转
一、平移
1、定义:
平移定义在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
2、性质:
(1)经过平移,对应点所连的线段平行且相等。
(2)对应线段平行且相等,对应角相等。
二、旋转
1、定义:
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。
定点称为旋转中心,旋转的角称为旋转角。
2、性质:
(1)图形中每一点都绕中心旋转了同样的角度。
(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等、对应角相等。
三、作图
1、如图作出平移后的图形:
首先根据平移的方向和距离确定一些关键点平移后的位置,再按原图的连结方式连结各点。
2、如何作出旋转后的图形:
首先找出图形的关键点,把关键点绕旋转中心,转过指定的角度,再按原来的方式连结这些点,就得到旋转的图形。
四、平移与旋转的异同
1、相同点:
不改变图形的大小。
2、不同点:
平移时图形的方向不变,旋转时图形的点到旋转中心的距离不变。
平移是由平移的方向和距离决定的,旋转是由旋转和旋转角度决定的。
五、图形的全等
1、性质:
全等多边形的对应边相等,对应角相等。
2、判定:
边角分别对应相等的两个多边形全等。
第十六章平行四边形的认识
一、平行四边形
1、定义:
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示:
平行四边形用符号“□”来表示。
2性质:
(1)平行四边形对边相等;
(2)平行四边形对角相等;
(3)平行四边形对角线互相平分
3、判定:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(4)从对角线看:
对角钱互相平分的四边形是平行四边形
(5)从角看:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
二、矩形
1、定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也说是长方形
2、性质:
(1)矩形的四个角都是直角;
(2)矩形的对角线相等
(3)矩形的对角线相等且互相平分。
3、判定:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
(3)有三个角是直角的四边形是矩形
三、菱形
1、定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(菱形是平行四边形:
一组邻边相等)
2、性质:
(1)菱形的四条边都相等
(2)菱形的两条对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。
3、判定:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形
(3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形
(4)四条边都相等的四边形是菱形
四、正方形
1、定义:
四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形。
2、性质:
(1)正方形既有矩形的性质,又有菱形的性质。
(2)正方形是轴对称图形,其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线,也是中心对称图形,对称中心为对角线的交点。
五、梯形:
1、定义:
一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
等腰梯形:
两腰相等的梯形是等腰梯形。
直角梯形:
有一个角是直角的梯形是直角梯形
2、等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形是轴对称图形,上下底的中点连线所在的直线是对称轴,
(2)等腰梯形同一底边上的两个角相等。
(3)等腰梯形的两条对角线相等。
3、等腰梯形的判定定理:
同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
4、解决梯形问题常用的方法:
(1)“平移腰”把梯形分成一个平行四边形和一个三角形
(2)“作高”:
使两腰在两个直角三角形中
(3)平移对角线:
使两条对角线在同一个三角形中
(4)延腰构造具有公共角的两个三角形
(5)等积变形:
连接梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形。
第十七章分式
一、分式及其基本性质
1、定义:
形如(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子,叫做分式。
其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
2、整式和分式统称有理式。
3、基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
4、分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。
二、分式的乘除法
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简。
三、分数的加减法
1、同分母分式的加减法的法则是:
同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。
2、异分母的分式加减法法则:
异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减.
四、零指数幂和负整指数幂
1、任何不等于零的数的零次幂都等于零。
2、任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数。
第十八章函数及其图象
一、变量与函数
1、变量:
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:
在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数:
一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。
*判断A是否为B的函数,只要看B取值确定的时候,A是否有唯一确定的值与之对应。
二、平面直角坐标系
1、定义:
平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系
2、各个象限内点的特征:
第一象限:
(+,+)点P(x,y),则x>0,y>0;
第二象限:
(-,+)点P(x,y),则x<0,y>0;
第三象限:
(-,-)点P(x,y),则x<0,y<0;
第四象限:
(+,-)点P(x,y),则x>0,y<0;
3、坐标轴上点的坐标特征:
x轴上的点,纵坐标为零;y轴上的点,横坐标为零;原点的坐标为(0,0)。
两坐标轴的点不属于任何象限。
4、点的对称特征:
已知点P(m,n),
关于x轴的对称点坐标是(m,-n),横坐标相同,纵坐标反号
关于y轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同,横坐标反号
关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横,纵坐标都反号
5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:
平行于x轴的直线上的任意两点:
纵坐标相等;
平行于y轴的直线上的任意两点:
横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征:
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P(x,y)的几何意义:
点P(x,y)到x轴的距离为|y|,
点P(x,y)到y轴的距离为|x|。
点P(x,y)到坐标原点的距离为
8、两点之间的距离:
X轴上两点为A、B|AB|
Y轴上两点为C、D|CD|
已知A、BAB|=
9、中点坐标公式:
已知A、BM为AB的中点
则:
M=(,)
10、点的平移特征:
在平面直角坐标系中,
将点(x,y)向右平移a个单位长度,可以得到对应点(x-a,y);
将点(x,y)向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y);
将点(x,y)向上平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b);
将点(x,y)向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y-b)。
注意:
对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移
三、函数的图象
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。
四、一次函数及其性质
1、定义:
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次
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