北师大版数学九年级上册教案.docx

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北师大版数学九年级上册教案

第一章证明

（二）[课时安排（包含作业和习题讲解）]

1．你能证明它们吗？

6课时

2．直角三角形4课时

3．线段的垂直平分线4课时

4．角平分线3课时

1.你能证明它们吗?

（一）

教学目标：

知识与技能目标：

1．了解作为证明基础的几条公理的内容。

2．掌握证明的基本步骤和书写格式．

过程与方法

1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。

2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。

情感态度与价值观

1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．

2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．

重点、难点、关键

1．重点：

探索证明的思路与方法。

能运用综合法证明问题．

2．难点：

探究问题的证明思路及方法．

3．关键：

结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．

教学过程：

一、议一议：

1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？

2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？

给出公理和定理：

1．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。

2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于

延伸．

二、回忆上学期学过的公理

本套教材选用如下命题作为公理:

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）

5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

三、推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

证明过程：

已知：

∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF

求证：

△ABC≌△DEF

证明：

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∠D+∠E+∠F=180°

（三角形内角和等于180°）

∴∠C=180°-（∠A+∠B）

∠F=180°-（∠D+∠E）

又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）

∴∠C=∠F

又∵BC=EF（已知）

∴△ABC≌△DEF（ASA）

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

随堂练习：

做教科书第4页第1，2题。

课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

作业：

1、基础作业：

P5页习题1.11、2。

1.你能证明它们吗

（二）

教学目标：

知识与技能目标：

掌握证明的基本思路和书写格式。

过程与方法目标：

经历观察——探索——发现的过程，能运用综合法证明等腰三角形判定定理。

情感态度与价值观目标：

1．感悟证明的实际意义以及必要性，形成探究意识。

2．结合实例体会反证法的含义，培养逆向思维。

重点、难点、关键：

1．重点：

掌握证明的常见方法以及书写推理过程。

2．难点：

寻找证明的思路，选择证明的方法。

3．关键掌握综合分析法，结合公理、定理，依据条件、结论进行推断、猜测，寻求证题的切入点．

教学过程：

一、提出问题，分组活动

（1）请同学们在练习本上画一个等腰三角形，一个等边三角形。

（2）在你所画的等腰（等边）三角形中作出一些你认为可以通过所学知识证明的相等线段。

二、下面是几种结论：

（1）等腰三角形两底角平分线相等。

（2）等腰三角形两腰上的中线、高线相等。

（3）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（4）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等。

（5）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等。

（6）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等。

1.练习一证明：

等腰三角形两腰上的中线相等。

2练习二证明：

等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．

三、将推理证明过程书写出来。

问题提出：

有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？

随堂练习：

已知：

在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC

求证：

DB=DE

课堂小结：

（1）归纳判定等腰三角形判定有几种方法,

（2）证明两条线段相等的方法有哪几种。

（3）通过这节课的学习你学到了什么知识？

了解了什么证明方法？

作业：

1、基础作业：

P9页习题1.21、2、3。

2、拓展作业：

《目标检测》

3、预习作业：

P10-12页做一做

1.你能证明它们吗（三）

教学目标：

知识与技能目标：

1．经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．

2．经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程．

过程与方法目标：

1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神．

情感态度与价值观目标：

1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

重点、难点、关键：

1．重点：

掌握两个几何定理，以及推理证明的逻辑思想。

2．难点：

渗透分类讨论的数学思想，以及辅助残的应用。

3．关键：

充分运用综合分析法分析证明的思路．注意辅助线的添加、辅助图形的构造。

增强数学的分类意识。

教学过程：

一、提出问题：

（1）怎样判别一个三角形是等使三角形？

（2）一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？

（3）你认为有一个角等于

的等腰三角形是等边三角形吗？

你能证明你的结论吗？

二、做一做

用两块含

角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由。

三、提出问题：

通过上述的拼摆，你联想到什么？

在直角三角形中，

角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

能证明你的结论吗？

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

课堂小结：

本节课是在学习了全等三角形判定、等腰三角形性质、判定以及推论的基础上进行拓展，通过新旧知识的迁移以及拼摆实验，直观地探索出定理：

有一个角等于

的等腰三角形是等边三角形．以及定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这两个定理在简化几何步骤，以及计算或证明中起着积极的作用．

作业：

课本习题1．31、2、3

2．直角三角形

（一）

教学目标：

知识与技能目标：

1．掌握推理证明的方法，发展学生初步的演绎推理能力。

2．进一步掌握推理证明和方法，发展演绎推理能力。

过程与方法目标：

1经历探索、猜测、证明的过程。

学会运用本节定理进行证明。

2．了解勾股定理及其逆定理的证明方法。

情感态度与价值观目标：

1．培养学生综合分析能力，几何表达能力和积极主动的参与探索活动的良好习惯，体会数学结论在实际中的应用。

2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

重点、难点、关键：

1．重点：

掌握推理证明的方法，提高思维能力。

2．难点：

对勾股定理、逆定理的推理证明以及对逆命题的叙述。

3．关键：

把握演绎推理思维，充分运用公理和学过的定理进行论证。

对于逆命题问题应通过实际事例让学生验证逆命题的正确性。

教学过程：

议一议：

观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

3、关于互逆命题和互逆定理。

（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

（2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

随堂练习：

1．写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。

2．试着举出一些其它的例子。

3．随堂练习1

课堂小结：

本节课你都掌握了哪些内容？

2．直角三角形

（二）

教学目标：

知识与技能目标：

1．经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性．

2．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命

题不一定成立．

过程与方法目标：

1．进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，

发展抽象思维．

2．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的创新精神．

情感态度与价值观目标：

1．在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

2．积极参与数学活动，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲．

重点、难点、关键：

1．重点：

探究直角三角形全等的证明方法。

2．难点；用数学的语言清楚地表达自己的想法，正确的表达书写证明过程。

3．关键：

引导学生着重分析证明的思路和方法，注意书写表达的规范性。

教学过程：

两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗？

如果相等说明理由。

如果不相等，应如何改变条件？

用自己的语言清楚地说明，并写出证明过程。

问题1，此定理适用于什么样的三角形？

（适用于直角三角形）

2、判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？

（HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。

）

做一做如图利用刻度尺和三角板，能否

做出这个角的角平分线？

并证明。

练习随堂练习P23--1

判断命题的真假，并说明理由

1、锐角对应相等的两个直角三角形全等。

2、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。

3、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三角形全等。

随堂练习：

随堂练习1．

议一议

如图：

已知∠ACB=∠BDA=90。

要使⊿ACB≌⊿BDA，还需要什么

条件？

把他们写出来，并说明

理由。

课堂小结：

本节课通过问题的牵引，小组合作讨论．探究出证明直角三角形的方法“HL”．再在实际问题中运用．加深理解，拓展思维，提高综合分析能力和书写表达能力。

综合开放性试题培养大家的探究意识．

作业：

课本习题1．51、2

3．线段的垂直平分钱

（一）

知识与技能目标：

1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．

2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

过程与方法目标：

1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

情感态度与价值观目标：

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

重点、难点、关键：

1．重点：

理解和掌握线段垂直平分线定理，并能正确运用。

2．难点：

运用综合证明的方法，命题的逆命题的书写。

3．关键：

把握住“探索——发现——猜想——证明”的主线，注意从已知条件的推理中，以及求证问题的变换中寻找突破口．对于道命题的写法重要的是，分析原命题的条件、结论，再写出其逆命题。

教学过程：

定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

提问：

尝试写出证明过程。

想一想

你能写出上面这个定理的逆命题吗？

它是真命题吗？

定理：

到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

操作幻灯机，展示证明过程

随堂练习：

随堂练习1．

课堂小结：

本节课通过探索、思考证明线段的垂直平分线定理的思路，加深思维的认知过程。

本节课的定理在实际应用中所起着简化证明的作用，同时在制图的方面有着较为实际的应用。

对于定理的逆命题，首先要正确理解一个定理的条件和结论，注意区分，并且明确：

一个定理不一定有逆定理．在尺规作图既要做出图形又要讲清作图的依据。

作业：

1．课本P26、2、3

2．线段的垂直平分线

（二）

知识与技能目标：

1．经历探究、发现的过程，提高推理证明能力。

2．进一步发展学生的推理证明意识和能力。

过程与方法目标：

1．创设思考的时间和空间，体验线段垂直平分线定理的实际应用。

2．能运用所学定理进行尺规作用，并能说明作图依据．

3．能够证明线段垂直平分线的性质定理．

情感态度与价值观目标：

1．培养学生的逻辑思维能力，动手操作能力，以及参与意识．

2．培养学生探究精神，参与意识，形成合作交流的课堂氛围。

重点、难点、关键：

1．重点：

掌握尺规作图的方法。

2．难点。

尺规作图的构思．

3．关键：

把握住线段垂直平分线的定理，运用尺规作图的基本方法，首先构思而后再画出规范的图形．这里先进行草图构思是关键。

教学过程：

动手操作：

分四人小组，让每位学生剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么？

当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？

与同伴进行交流。

定理；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

议一议

1．已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？

如果能，能作几个？

所作出的三角形都全等？

1．的答案是：

这样的三角形能作出无数个。

它们不都全等。

议一议

2．已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？

能作几个？

随堂练习：

随堂练习1、2

课堂小结：

本节课主要训练尺规作图，通过绘制图形，让学生体验定理在实际中的运用，感悟其实际价值。

学习中要注意构思所要制作的图形的作法，画出草稿，分析方法。

不要急于动手。

对于三线一点的证明应总结其证明手法。

在书写作法中，要注意几何语言的表达，同时注意作图的依据。

作业：

课本习题1．71．2

4．角平分线

教学目标：

知识与技能目标：

1．角平分线的性质定理的证明．

2．角平分线的判定定理的证明．

3．用尺规作已知角的角平分线．

过程与方法目标：

1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．

情感态度与价值观目标：

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

重点、难点、关键：

1．重点。

掌握角平分线的定理以及它的逆定理，并能正确应用．

2．难点：

应用角平分线定理和逆定理进行证明，作图的作法表达。

3．关键：

弄清定理的条件和结论，充分运用综合分析法进行推理证明。

教学过程：

提出问题：

角平分线上的点有什么性质？

你是怎样得到的？

请你尝试证明它。

先绘制角平分线的示意图，通过图形进行直观理解，并运用所学公理、定理探索证明思路，规范证明表达。

提出问题

1．请你写出角平分线的逆命题。

2．判断它是真命题还是假命题。

3．如果它是真命题，你能证明吗？

做一做

用尺规作角的平分线。

在黑板上制图，边绘图，边指导。

随堂练习：

随堂练习1、2

读一读．

课堂小结：

本节课主要学习角平分线的定理以及逆定理，通过探究角平分线的性质回顾和尝试证明，并且掌握逆命题的验证。

感悟逆定理的内含，同时通过对定理以及逆定理的证明，体会综合证明的方法．

作业：

课本习题1．81、2、3

2．选用课时作业设计。

第二章一元二次方程[课时安排（包含作业和习题讲解）]

1．花边有多宽5课时

2．配方法3课时

3．公式法3课时

4．分解因式法3课时

5．为什么是0．6183课时

1．花边有多宽

（一）

教学目标：

知识与技能目标：

1．一元二次方程的概念

2．一元二次方程的有关概念．

过程与方法目标：

1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．

2．理解一元二次方程的概念

情感态度与价值观目标：

从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．

重点、难点、关键：

1．重点：

（1）掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。

（2）培养学生的数学意识及解决简单的实际问题的能力。

2．难点：

（1）用配方法解一元二次方程。

（2）一元二次方程

教学过程：

生活实例1观察：

挂图显示出生活中丰富多彩的花边图案：

有长方形，有圆形，有正方形，有椭圆形等（课前收集）；在课本图2一二的长方形花边上．

问：

这块四周建有宽度相等的底边的地毯，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？

通过上述丰富的实例，为学生归纳出一元二次方程的概念提供帮助。

问：

连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和？

问：

上述三个生活实例、数学问题得出下列三个方程：

1．（8一2x）（5一2x）=18

2．x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2

3．（x+6）2+72=102

议一议：

上述三个方程有什么共同特点？

问：

有大小两个圆形花坛，小四花坛面积比大花坛面积少10m，小圆花坛的周长比大花坛的周长短10m，设大花坛周长为x，借你列出关于x的方程。

随堂练习：

随堂练习1、2

课堂小结：

本节课首先通过丰富的实例。

观察、归纳出一元二次方程的有关概念，体会方程的模型思想。

要掌握的概念

（二）一元二次方程定义

（2）一元二次方程一般式：

（3）二次项、一次项、常数项的有关概念。

注意：

任何一个关于x的一元二次方程都可以化为一般式。

作业：

课本习题2．11、2

1．花边有多宽

（二）

知识与技能目标：

1．经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．

过程与方法目标：

1．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。

2．提高解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：

1．鼓励学生大胆估算，与同伴交流月底，领悟数学知识的实际价值。

2．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数），并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。

3．经历在具体环境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．

重点、难点、关键：

1．重点：

探究一元二次方程的解或近似解，发展学生估算意识和能力．

2．难点：

用估算的方法寻求一元二次方程的解．

3．关键：

根据实际问题确定其值的大致范围．

教学过程：

回顾：

1．什么叫一元二次方程？

一元二次方程的一般式是怎样的形式？

问：

解花边有多宽的实例以及所提出的问题。

做一做：

在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x（m）满足方程（x＋6）2＋72=1。

如图一张长20cm，宽16cm的风景图片，要在它的四周镶上一条同样宽的金色纸边，如果要使金边的面积是图片面积的

，金边宽应该是多少？

随堂练习：

随堂练习1．

问：

已知直角三角形三边长为三个连续偶数，并且直角三角形面积为24，求这个直角三角形三边长？

课堂小结：

本课时承上一课时的现实问题，探索一元二次方程的过成近似解，发展估算意识和能力，首先解决上一课时提出的第1个问题“花边有多宽”，这个问题解正好是整数。

然后解决第3个问题“梯于的底端滑动多少米”，这个问题的解是无理数，应借助解决第1个问题的经验求出近似解，深时作业设计中完成了上一课时的第2个问题．对于几个问题的具体解决，应先根据实际问题确定其解的大致范围。

作业：

课本习题2．21．2

2．配方法

知识与技能目标：

1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．

2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．

过程与方法目标：

1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法．

2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．

3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤．

情感态度与价值观目标：

通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．

重点、难点、关键：

1．重点：

运用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

2．难点：

配方过程中，解一元二次方程的要点的理解。

3．关键：

充分运用等式的性质，首先把方程化为一般式。

然后再把二次项系数化为1，接着将常数项配成一次项系数一半的平方，再减去这个常数项保持恒等，使左边配成一个完全平方式。

在这里，化二次项系数为1和等式两边同时配上一次项系数的一半的平方是关键。

教学过程：

解下列一元二次方程

解方程

解：

，（常数项移到右边）

（这里的二次项系数必须为1）

（整理）

（运用两边开平方）

因此方程

有两个根

（不合题意应舍去）

做一做

“读一读”由学生阅读理解．

随堂练习：

随堂练习1．

课堂小结：

本节课重点学习了配方法解一元二次方程。

当方程形如

时，可直接用开平方法求解比较简单，但两边同时开平方时，要注意取正负号，不要与求算术平方根混淆。

用配方法解一元二次方程首先要注意将方程化成一般形式，如果二次项系数不为1，要先化二次项系数为1再开始配方，配方时应注意两边同时同上一次项系数一半的平方；最后整理出

的形式，而后应用开平方求解．

作业：

课本习题1．2．（3）（4）2．4．二、2

（二）（4）

3．公式法

知识与技能目标：

1．一元二次方程的求根公式的推导

2．会用求根公式解一元二次方程

过程与方法目标：

1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．

2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．

情感态度与价值观目标：

1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．

2．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。

重点、难点、关键：

1．重点：

掌握用公式法解一元二次方程。

2．难点；对公式法中求根公式的推导过程的理解．

3．关键：

运用配方法推导出一元二次方程的求根公式。

教学过程：

问题：

你能用配方法解方程

吗？

通过推导得出答案：

例题：

1．用篱笆国成一个长方形菜地，其中一面靠墙，且在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，如果墙长50米，现有能围成91米长的篱笆，菜地的面积需要1080平方米，求菜地的长和宽．

2．随着改革开放，市场经济不向发展，许多农民走上了致富的门道路。

《新华日报》1994年3月18B报道了江苏省金湖县塔泉乡对坝村王兴国利用一幢旧平房改建成免舍成为十万元户的消息．王兴国的旧平房墙长16米，若欲再利用一面墙扩建一面积为150平方米的长方