人教版八年级数学上册 111 与三角形有关的线段 同步练习题Word版附答案.docx
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人教版八年级数学上册111与三角形有关的线段同步练习题Word版附答案
11.1 与三角形有关的线段同步练习题
11.1.1 三角形的边
基础题
知识点1 三角形的概念
1.一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形,其中符合三角形概念的是()
2.如图,以CD为公共边的三角形是;∠EFB是的内角;在△BCE中,BE所对的角是,∠CBE所对的边是EC;以∠A为公共角的三角形有.
3.如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形.
(1)其中以AB为一边可以画出个三角形;
(2)其中以C为顶点可以画出个三角形.
知识点2 三角形的分类
4.下列关于三角形按边分类的图示中,正确的是()
5.下列说法正确的是()
A.所有的等腰三角形都是锐角三角形
B.等边三角形属于等腰三角形
C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D.一个三角形里有两个锐角,则一定是锐角三角形
6.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形类型的是()
A B C D
知识点3 三角形的三边关系
7.(金华中考)(教材P4练习T2变式)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是()
A.2,3,4B.5,7,7C.5,6,12D.6,8,10
8.如图,为估计池塘岸边A,B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,A,B间的距离不可能是()
A.5米B.10米C.15米D.20米
9.在△ABC中,若AB=5,BC=2,且AC的长为奇数,则AC=5.
易错点 没有验证是否满足三角形的三边关系致错
10.(教材P8习题11.1T6变式)已知等腰三角形的周长为16cm,若其中一边长为4cm,求另外两边长.
中档题
11.(教材P8习题11.1T1变式)如图,图中三角形的个数是()
A.3B.4C.5D.6
12.下列长度的三条线段能组成三角形的是()
A.5,6,10B.5,6,11C.3,4,8D.4a,4a,8a(a>0)
13.(扬州中考)若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是()
A.6B.7C.11D.12
14.(教材P8习题11.1T2变式)有四条线段,长分别为3cm,5cm,7cm,9cm,如果用这些线段组成三角形,可以组成个三角形.
15.已知三角形的两边长分别为2cm和7cm,最大边的长为acm,则a的取值范围是.
16.(大庆中考)如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图形②,再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③,按这样的方法进行下去,第n个图形中共有三角形的个数为
.
17.(教材P3例题改编)用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么三角形的各边长是多少?
(2)能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗?
为什么?
18.已知a,b,c是△ABC的三边长.
(1)若a,b,c满足|a-b|+|b-c|=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a,b,c满足(a-b)(b-c)=0,试判断△ABC的形状;
(3)化简:
|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
综合题
19.如图,点P是△ABC内部的一点.
(1)度量线段AB,AC,PB,PC的长度,根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小;
(2)改变点P的位置,上述结论还成立吗?
(3)你能说明上述结论为什么正确吗?
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
基础题
知识点1 三角形的高
1.(教材P5练习T1变式)下列各图中,画出AC边上的高,正确的是()
2.如图,AD⊥BC于D,那么图中以AD为高的三角形有6个.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)指出图中BC,AC边上的高;
(2)画出AB边上的高CD;
(3)若BC=3,AC=4,AB=5,求AB边上的高CD的长.
知识点2 三角形的中线
4.(教材P8习题11.1T4变式)如图,如果AD是△ABC的中线,那么下列结论:
①BD=CD;②AB=AC;③S△ABD=
S△ABC.其中一定成立的有()
A.3个B.2个C.1个D.0个
5.三角形的三条中线相交于一点,这个点一定在三角形的内部,这个点叫做三角形的.
6.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是.
7.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,若DE=3cm,则EC=.
知识点3 三角形的角平分线
8.如图,若∠1=∠2,∠3=∠4.下列结论中错误的是()
A.AD是△ABC的角平分线B.CE是△ACD的角平分线
C.∠3=
∠ACBD.CE是△ABC的角平分线
9.如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是()
A.20°B.30°C.45°D.60°
10.如图,D是△ABC中BC边上的一点,DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明AD是△ABC的角平分线.
知识点4 三角形的稳定性
11.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做的根据是()
A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线
C.三角形具有稳定性D.长方形的四个角都是直角
12.如图,把手机放在一个支架上面,就可以非常方便地使用,这是因为手机支架利用了三角形的
性.
中档题
13.下列有关三角形的说法:
①中线、角平分线、高都是线段;②三条高必交于一点;③三条角平分线必交于一点;④三条高必在三角形内.其中正确的是()
A.①②B.①③C.②④D.③④
14.(教材P9习题11.1T10变式)如图,六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF,要使框架稳固且不活动,至少还需要添根木条.
15.(原创题)如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图,你能分析出他们各自折纸的意图吗?
简述你判断的理由.
16.(教材P9习题11.1T8变式)如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,BC=12,AC=8,AD=6,BE的长为多少?
17.如图,网格小正方形的边长都为1,在△ABC中,标出三角形重心的位置,并猜想重心将中线分成的两段线段之间的关系.
综合题
18.(娄底中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D沿BC自B向C运动(点D与点B,C不重合),作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,在D点的运动过程中,试判断BE+CF的值是否发生改变?
小专题1 三角形中线段的相关应用
类型1 三角形的三边关系
1.已知不等边三角形的一边等于5,另一边等于3,若第三边长为奇数,则周长等于()
A.13B.11C.11,13或15D.15
2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,求AB边的取值范围.
解:
设AB=AC=x,则BC=20-2x.
∴0<20-2x<2x.
∴5<x<10.
类型2 三角形高的应用
3.已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC的度数.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为点E,F,G.求证:
DE+DF=BG.
类型3 三角形中线的应用
5.如图,已知BE=CE,ED为△EBC的中线,BD=8,△AEC的周长为24,则△ABC的周长为()
A.40B.46C.50D.56
6.(广东中考改编)如图,△ABC的三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,且AG∶GD=2∶1,若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是.
7.在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点.
(1)如图1,若S△ABC=1cm2,求△BEF的面积;
(2)如图2,若S△BFC=1,则S△ABC=(提示:
对比第
(1)题,先作辅助线).
类型4 三角形角平分线的应用
8.
(1)如图,在△ABC中,D,E,F是边BC上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,以AE为角平分线的三角形有;
(2)如图,若已知AE平分∠BAC,且∠1=∠2=∠4=15°,计算∠3的度数,并说明AE是△DAF的角平分线.
11.1 与三角形有关的线段同步练习题参考答案
11.1.1 三角形的边
基础题
知识点1 三角形的概念
1.一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形,其中符合三角形概念的是(D)
2.如图,以CD为公共边的三角形是△CDF,△CDB;∠EFB是△EFB的内角;在△BCE中,BE所对的角是∠ECB,∠CBE所对的边是EC;以∠A为公共角的三角形有△ADB,△AEC,△ABC.
3.如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形.
(1)其中以AB为一边可以画出3个三角形;
(2)其中以C为顶点可以画出6个三角形.
提示:
(1)如图,以AB为一边的三角形有△ABC,△ABD,△ABE共3个.
(2)如图,以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个.
知识点2 三角形的分类
4.下列关于三角形按边分类的图示中,正确的是(D)
5.下列说法正确的是(B)
A.所有的等腰三角形都是锐角三角形
B.等边三角形属于等腰三角形
C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D.一个三角形里有两个锐角,则一定是锐角三角形
6.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形类型的是(C)
A B C D
知识点3 三角形的三边关系
7.(金华中考)(教材P4练习T2变式)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是(C)
A.2,3,4B.5,7,7C.5,6,12D.6,8,10
8.如图,为估计池塘岸边A,B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,A,B间的距离不可能是(A)
A.5米B.10米C.15米D.20米
9.在△ABC中,若AB=5,BC=2,且AC的长为奇数,则AC=5.
易错点 没有验证是否满足三角形的三边关系致错
10.(教材P8习题11.1T6变式)已知等腰三角形的周长为16cm,若其中一边长为4cm,求另外两边长.
解:
若腰长为4cm,则底边长为16-4-4=8(cm).
三边长为4cm,4cm,8cm,不符合三角形三边关系定理.这样的三边不能围成三角形,
所以应该是底边长为4cm.所以腰长为(16-4)÷2=6(cm).三边长为4cm,6cm,6cm,符合三角形三边关系定理,所以另外两边长都为6cm.
中档题
11.(教材P8习题11.1T1变式)如图,图中三角形的个数是(C)
A.3B.4C.5D.6
12.下列长度的三条线段能组成三角形的是(A)
A.5,6,10B.5,6,11C.3,4,8D.4a,4a,8a(a>0)
13.(扬州中考)若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是(C)
A.6B.7C.11D.12
14.(教材P8习题11.1T2变式)有四条线段,长分别为3cm,5cm,7cm,9cm,如果用这些线段组成三角形,可以组成3个三角形.
15.已知三角形的两边长分别为2cm和7cm,最大边的长为acm,则a的取值范围是7≤a<9.
16.(大庆中考)如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图形②,再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③,按这样的方法进行下去,第n个图形中共有三角形的个数为(4n-3).
17.(教材P3例题改编)用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么三角形的各边长是多少?
(2)能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗?
为什么?
解:
(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据题意,得2x+2x+x=25.解得x=5.
∴三角形的三边长分别为10cm,10cm,5cm.
(2)若长为6cm的边是腰,则底边长为:
25-6×2=13(cm).
∵6+6<13,∴不能围成三角形,即长为6cm的边不能为腰长;
若长为6cm的边是底边,则腰长为:
(25-6)÷2=9.5(cm),满足三角形的三边关系.
综上所述,能围成底边长是6cm的等腰三角形,且三角形的三边长分别为9.5cm,9.5cm,6cm.
18.已知a,b,c是△ABC的三边长.
(1)若a,b,c满足|a-b|+|b-c|=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a,b,c满足(a-b)(b-c)=0,试判断△ABC的形状;
(3)化简:
|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
解:
(1)∵|a-b|+|b-c|=0,
∴a-b=0且b-c=0.∴a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
(2)∵(a-b)(b-c)=0,∴a-b=0或b-c=0.
∴a=b或b=c.∴△ABC为等腰三角形.
(3)∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0.
∴原式=-a+b+c-b+c+a-c+a+b
=a+b+c.
综合题
19.如图,点P是△ABC内部的一点.
(1)度量线段AB,AC,PB,PC的长度,根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小;
(2)改变点P的位置,上述结论还成立吗?
(3)你能说明上述结论为什么正确吗?
解:
(1)如图有:
AB+AC>PB+PC.
(2)改变点P的位置,上述结论还成立.
(3)连接AP,BP,CP,延长BP交于AC于点E,
在△ABE中有,AB+AE>BE=BP+PE.①
在△CEP中有,PE+CE>PC.②
①+②,得AB+AE+PE+CE>BP+PE+PC,
即AB+AC+PE>BP+PE+PC,
∴AB+AC>BP+PC.
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
基础题
知识点1 三角形的高
1.(教材P5练习T1变式)下列各图中,画出AC边上的高,正确的是(D)
2.如图,AD⊥BC于D,那么图中以AD为高的三角形有6个.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)指出图中BC,AC边上的高;
(2)画出AB边上的高CD;
(3)若BC=3,AC=4,AB=5,求AB边上的高CD的长.
解:
(1)BC边上的高是AC,AC边上的高是BC.
(2)如图所示.
(3)∵S△ABC=
AC·BC=
AB·CD,
∴3×4=5CD.∴CD=2.4.
知识点2 三角形的中线
4.(教材P8习题11.1T4变式)如图,如果AD是△ABC的中线,那么下列结论:
①BD=CD;②AB=AC;③S△ABD=
S△ABC.其中一定成立的有(B
A.3个B.2个C.1个D.0个
5.三角形的三条中线相交于一点,这个点一定在三角形的内部,这个点叫做三角形的重心.
6.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是2.
7.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,若DE=3cm,则EC=9__cm.
知识点3 三角形的角平分线
8.如图,若∠1=∠2,∠3=∠4.下列结论中错误的是(D)
A.AD是△ABC的角平分线B.CE是△ACD的角平分线
C.∠3=
∠ACBD.CE是△ABC的角平分线
9.如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是(A)
A.20°B.30°C.45°D.60°
10.如图,D是△ABC中BC边上的一点,DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明AD是△ABC的角平分线.
证明:
∵DE∥AC,
∴∠EDA=∠CAD.
∵∠EDA=∠EAD,
∴∠CAD=∠EAD.
∴AD是△ABC的角平分线.
知识点4 三角形的稳定性
11.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做的根据是(C)
A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线
C.三角形具有稳定性D.长方形的四个角都是直角
12.如图,把手机放在一个支架上面,就可以非常方便地使用,这是因为手机支架利用了三角形的稳定性.
中档题
13.下列有关三角形的说法:
①中线、角平分线、高都是线段;②三条高必交于一点;③三条角平分线必交于一点;④三条高必在三角形内.其中正确的是(B)
A.①②B.①③C.②④D.③④
14.(教材P9习题11.1T10变式)如图,六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF,要使框架稳固且不活动,至少还需要添3根木条.
15.(原创题)如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图,你能分析出他们各自折纸的意图吗?
简述你判断的理由.
解:
甲折出的是BC边上的高AD,
由图可知∠ADC=∠ADC′,
∴∠ADC=90°,即AD为BC边上的高.
乙折出的是∠BAC的平分线AD,
由图可知∠CAD=∠C′AD,即AD平分∠BAC.
丙折出的是BC边上的中线AD,
由图可知CD=BD,∴AD是BC边上的中线.
16.(教材P9习题11.1T8变式)如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,BC=12,AC=8,AD=6,BE的长为多少?
解:
∵S△ABC=
BC·AD
=
×12×6
=36,
又∵S△ABC=
AC·BE,
∴
×8×BE=36,即BE=9.
17.如图,网格小正方形的边长都为1,在△ABC中,标出三角形重心的位置,并猜想重心将中线分成的两段线段之间的关系.
解:
如图所示,AB与AC两边的中线的交点D即为重心.
重心将每条中线分成1∶2两部分,BD=2ED,CD=2DF.
综合题
18.(娄底中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D沿BC自B向C运动(点D与点B,C不重合),作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,在D点的运动过程中,试判断BE+CF的值是否发生改变?
解:
由S△ABC=S△ACD+S△ABD,得
AB·BC=
AD·CF+
AD·BE=
AD·(CF+BE).
∵△ABC的面积不变,且点D由点B运动到点C,AD的长度逐渐变大,
∴BE+CF的值逐渐减小.
小专题1 三角形中线段的相关应用
类型1 三角形的三边关系
1.已知不等边三角形的一边等于5,另一边等于3,若第三边长为奇数,则周长等于(D)
A.13B.11C.11,13或15D.15
2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,求AB边的取值范围.
解:
设AB=AC=x,则BC=20-2x.
∴0<20-2x<2x.
∴5<x<10.
类型2 三角形高的应用
3.已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC的度数.
解:
当高AD在△ABC的内部时(如图1),∠BAC=90°.当高AD在△ABC的外部时(如图2),∠BAC=50°.
综上可知,∠BAC的度数为90°或50°.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为点E,F,G.求证:
DE+DF=BG.
证明:
连接AD,
∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,
∴
AC·BG=
AB·DE+
AC·DF.
又∵AB=AC,
∴BG=DE+DF.
类型3 三角形中线的应用
5.如图,已知BE=CE,ED为△EBC的中线,BD=8,△AEC的周长为24,则△ABC的周长为(A)
A.40B.46C.50D.56
6.(广东中考改编)如图,△ABC的三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,且AG∶GD=2∶1,若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是4.
7.在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点.
(1)如图1,若S△ABC=1cm2,求△BEF的面积;
(2)如图2,若S△BFC=1,则S△ABC=4(提示:
对比第
(1)题,先作辅助线).
解:
由中线平分三角形的面积,可得S△BED=S△CED,S△BEF=S△BCF,∴S△BEC=2S△BED=2S△BEF,∴S△BED=S△BEF=S△ABE,同理可得S△ACE=S△CDE=S△BEF,∴S△BEF=
S△ABC=
.
类型4 三角形角平分线的应用
8.
(1)如图,在△ABC中,D,E,F是边BC上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,以AE为角平分线的三角形有△ABC和△ADF;
(2)如图,若已知AE平分∠BAC,且∠1=∠2=∠4=15°,计算∠3的度数,并说明AE是△DAF的角平分线.
解:
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
又∵∠1=∠2=15°,
∴∠BAE=∠1+∠2
=15°+15°
=30°.
∴∠CAE=∠BAE=30°,
即∠CAE=∠4+∠3=30°.
又∵∠4=15°,∴∠3=15°.
∴∠2=∠3=15°.
∴AE是△DAF的角平分线.
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