北师大七年级数学上册第二章有理数及其运算.docx

北师大七年级数学上册第二章有理数及其运算.docx

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北师大七年级数学上册第二章有理数及其运算

§2.1数怎么不够用了

教学目标:

1．借助生活中的实例，从扩充运算的角度引进负数，然后使用正负数表示现实生活中具有相反意义的量．

2．经历从生活中发现数学问题,体会数学与现实生活的联系,培养自主探索能力并体验成功.

教学重点和难点：

理解正、负数及有理数的意义

教学准备：

多媒体课件

教学过程：

一、引入：

观察一组图片回答下列问题:

某班举行知识竞赛，评分标准是：

答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分。

四个代表队答题情况如下表：

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第一队

第二队

第三队

第四队

加10分得0分扣10分

算一算：

每个代表队的得分是多少？

二、讲授新课：

1．议一议：

生活中你见过带有“–”号的数吗？

比0大的数叫做正数,如,5,1.2,,…

在正数前面加上“–”号的数叫做负数,如–10,–3,…

0既不是正数,也不是负数.

为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”号，如+5,+1.2,+9,…

2.讲解例题：

例1

（1）在知识竞赛中，如果用+10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？

（2）某人转动转盘，如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？

（3）在某次乒乓球的质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么–0.03克表示什么？

3.做一做：

将所有学过的数进行分类，并与同伴进行交流。

4.正数、负数与零统称为有理数

5.说一说：

通过这节课的学习，你学到了什么？

感受到了什么？

还想知道什么？

比0大的数叫做正数,

在正数前面加上“–”号的数叫做负数,

0即不是正数,也不是负数.

为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”

正数、负数与零统称为有理数.

三、课堂小结:

由于实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数．正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．

四、练习设计

1．北京一月份的日平均气温大约是零下3℃，用负数表示这个温度．

2．在小学地理图册的世界地形图上，可以看到亚洲西部地中海旁有一个死海湖，图中标着-392，这表明死海的湖面与海平面相比的高度是怎样的？

3．在下列各数中，哪些是正数？

哪些是负数？

-3.6，-4，9651，-0.1．

4．如果-50元表示支出50元，那么+200元表示什么？

5．河道中的水位比正常水位低0.2米记作-0.2米，那么比正常水位高0.1米记作什么？

6．如果自行车车条的长度比标准长度长2毫米记作+2毫米，那么比标准长度短3毫米记作什么？

7．一物体可以左右移动，设向右为正，问：

（1）向左移动12米应记作什么？

（2）“记作8米”表明什么？

五、作业:

习题2.11.2.3.4.

§2.2数轴

教学目标:

1．知道什么是数轴，如何画数轴。

2．知道如何将有理数在数轴上表示出来，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数。

知道任一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应。

教学重点:

学习数轴，用数轴上的点表示有理数。

教学难点：

利用数轴学习有理数的大小性质。

教学准备：

多媒体课件

教学过程：

一、引入：

请读出下面温度计所表示的温度:

让学生观察挂图——放大的温度计，同时教师给予语言指导：

利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示-5℃．

与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下（边说边画）：

1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点（通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边）用这点表示0（相当于温度计上的0℃）；

2．规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指的方向），那么从原点向左为负方向（相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负）；

3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，…

提问：

我们能不能用这条直线表示任何有理数？

（可列举几个数）

二、讲授新课：

1．考察温度计，直接给出数轴的定义。

2．讲解例1。

提问：

在数轴上，已知一点P表示数（-5），如果数轴上的原点不选在原来位置。

改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5？

如果单位长度改变呢？

如果直线的正方向改变呢？

通过上述提问，向学生提出：

数轴的三要素缺一不可。

3.小结：

指导学生阅读教材后指出：

数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．

本节课要求同学们能掌握数轴的三要素，正确地画出数轴，在此还要提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数，至于数轴上的哪些点不能表示有理数，这个问题以后再研究．

4.随堂练习：

1．练习第1，2，3题。

2．补充练习：

在数轴上能否实际画出表示一亿万分之一的点？

这个点存在吗？

（答：

很难画出；存在。

）

四、课外作业

1．习题2.2第l～3题。

2．补充题：

（1）画一条数轴并画出分别表示±0.5，±0.1，±0.75的各点。

（2）画一条数轴并画出分别表示1000，2000，5000的各点。

注：

以上两个补充题的目的是，用数轴表示已知数时，要根据已知数适当地选择单位长度和坐标原点的位置。

（3）在数轴上标出到原点距离小于3的整数所表示的点。

（4）在数轴上标出-5和+5之间的所有整数的点。

五、板书设计

2．2数轴

（1）

（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结

例1、例2

（二）观察发现（四）课堂练习练习设计

§2.3绝对值

教学目标:

1.使学生理解绝对值的概念，熟悉绝对值的符号。

教学重点和难点：

理解正、负数及有理数的意义

教学准备：

多媒体课件

教学过程：

一、复习、引入

1.在数轴上找出表示＋6和－5两个数的点。

2.说出＋6和－5的相反数各是什么数？

3.＋6和－5是不是与为相反数？

为什么？

它们离开原点的长度各是几个长度单位？

二、讲授新课：

1.我们知道为了区分具有相反意义的量，引入了正数和负数。

例如两辆汽车，第一辆向东行驶了6公里，第二辆向西行驶了5公里。

如果要表示它们行驶的方向（规定向东为正）和路程，就应当分别记作＋6公里和－5公里。

但是，有时我们只需要研究行驶的路程，不需要考虑方向，即上例若问这两辆车各行驶了多少公里（不计方向），就可以记作6公里和5公里。

这里6叫做＋6的绝对值，5叫做－5的绝对值。

那么，什么叫一个数的绝对值呢？

2.我们规定：

（1）一个正数的绝对值是它本身。

例如，|3|＝3，|＋8.2|＝8.2。

（2）一个负数的绝对值是它的相反数

例如，|－8|＝8，|－6.7|＝6.7。

（3）0的绝对值是0。

a是正数可以表示成a>0，a是负数可以表示成a<0，这样，上面的三条可以表示成：

<1>如果a>0，那么|a|＝a；

<2>如果a<0，那么|a|＝－a；

<3>如果a=0，那么|a|＝0。

例1求7，－7，；－的绝对值。

解：

|7|＝7，|－7|＝7，||＝，|－|＝。

3.绝对值的几何意义。

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。

注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。

一个数的绝对值的表示法，是在这个数的两旁各画一条竖线。

例如－2的绝对值记作|－2|。

例2

（1）＋3的绝对值怎么表示？

是什么？

（2）－3的绝对值怎么表示？

是什么？

（3）绝对值等于3的数有几个？

是什么？

并将它们用数轴上的点表示出来。

答：

（1）|＋3|＝3；

（2）|－3|＝3；

（3）绝对值等于3的数有两个，是＋3和－3。

在数轴上表示的两个负数，例如－2和－7，－7的绝对值较大，而－7在－2的左边，因此－7小于－2。

两个负数，绝对值大的反而小。

（三）巩固练习

1.|＋2.7|，|－2.7|各表示什么意思？

“零的绝对值是零”这句话几何意义是什么？

2.绝对值等于6的数有几个？

是什么？

用数轴上的点表示出所有绝对值等于6的数来。

3.“一个数的绝对值一定是正数”这句话是否正确？

（四）小结

什么是一个数的绝对值呢？

（五）作业：

习题2.3第l～4题

§2.4有理数的加法

（1）

教学目标:

1．通过实例了解有理数加法的意义。

2.会根据有理数加法法则进行有理数的加法运算。

教学重点:

异号两数相加。

教学难点：

异号两数相加。

教学准备：

多媒体课件

教学过程：

一、复习提问：

1．什么叫做互为相反数？

2．在有理数范围内，你能找到一个数x使5+x=0吗？

如果规定5+（-5）=0，是否合理？

3．你认为3+（-4）应该等于多少才合理？

注：

后两问的目的是，激发学生学习有理数加法运算的兴趣，学生可能会根据“相消”或“部分相消”等正、负数的意义，得出正确的答案，学生回答正确或不正确都可由此引入新课。

二、新课讲解：

1．按教科书实例

（1）、

（2）、（3）、（4）、（5）、（6）进行讲解：

讲解

（1）、

（2）时，要有意识地强调“两次一共”、“两次运动的和”等语句的意义。

教科书中（l）、

（2）两问，仍是用语言表达运动的方向。

建议

（1）、

（2）讲完后，改变一下

（1）、

（2）的提问。

如果向东运动用正数表示，向西运动用负数表示，则（l）、

（2）可改变为

（1）一质点在数轴上先运动+5米，再运动+3米，两次一共运动了多少米？

（2）一质点在数轴上，先运动-5米，再运动-3米，两次一共运动了多少米？

接着讲（3）～（6）时，提问都作相应的改变，例如（3）转变为：

先运动5米，再运动-5米，两次一共运动了多少米？

等。

在讲（4）～（6）时，要注意用“相反数相加得0”的性质进行分析。

例如，向东走5米，再向西走3米，抵消了向东走3米，实际上两次一共走了2米，表现在算式上是5+（-3）=2+{3+（-3）}=2+0=2。

这就告诉学生：

正数与负数相加时，可以互相抵消或一部分抵消。

上述分析，对学生理解掌握异号数加法法则是有帮助的。

2．按教科书总结

（1）～（6），得出有理数加法法则。

3．讲解例题。

补充：

计算：

（1）（-16）+（20）；

（2）（-5）+5；

（3）-20+15；（4）50+（-70）；（5）

。

解：

（l）（-16）+（-20）=-（16+20）=-36；

（2）-5+5=0；

（3）-20+15=20-15=5；

（4）50+（-70）=-（70-50）=-20；

三、课堂练习：

1、随堂练习第1题。

2．计算：

（1）（-0.9）+（-2.7）；          

（2）3.8+（-8.4）；          （3）（-0.5）+3；

（4）3.29+1.78；              （5）7+（-3.04）；           （6）（-2.9）+（-0.31）；

（7）（-9.18）+6.18；          （8）4.23+（-6.77）；         （9）（-0.78）+0．

四、课外作业

1．习题2.44第1～3题。

2.补充题：

判断下列叙述是否正确，并说明理由。

（1）两数和一定大于每一个加数；

（2）两数和一定大于两数绝对值的和；

（3）两数和一定小于两数绝对值的和；

（4）-1.9+（-9）+11=1；

（5）-107+203+17+（-13）=100。

§2.4有理数的加法

（2）

教学目标

1．使学生掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算；

2．培养学生观察、比较、归纳及运算能力．

教学重点和难点

1．重点：

有理数加法运算律．

2．难点：

灵活运用运算律使运算简便．

教学准备：

多媒体课件

教学过程

一、从学生原有认知结构提出问题

1．叙述有理数的加法法则．

2．“有理数加法”与小学里学过的数的加法有什么区别和联系？

答：

进行有理数加法运算，先要根据具体情况正确地选用法则，确定和的符号，这与小学里学过的数的加法是不同的；而计算“和”的绝对值，用的是小学里学过的加法或减法运算．

3．计算下列各题，并说明是根据哪一条运算法则？

（1）（-9.18）+6.18；              

（2）6.18+（-9.18）；     （3）（-2.37）+（-4.63）；

4．计算下列各题：

（1）[8+（-5）]+（-4）； 

（2）8+[（-5）+（-4）]； （3）[（-7）+（-10）]+（-11）；

（4）（-7）+[（-10）+（-11）]； （5）[（-22）+（-27）]+（+27）；

（6）（-22）+[（-27）+（+27）]．

二、师生共同研究形成有理数运算律

通过上面练习，引导学生得出：

交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变．

用代数式表示上面一段话：

a+b=b+a．

运算律式子中的字母a，b表示任意的一个有理数，可以是正数，也可以是负数或者零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．

结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．

用代数式表示上面一段话：

（a+b）+c=a+（b+c）．

这里a，b，c表示任意三个有理数．

三、运用举例 变式练习

根据加法交换律和结合律可以推出：

三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加．

例1 计算16+（-25）+24+（-32）．

引导学生发现，在本例中，把正数与负数分别结合在一起再相加，计算就比较简便．

解：

16+（-25）+24+（-32）

=16+24+（-25）+（-32）               （加法交换律）

=[16+24]+[（-25）+（-32）]          （加法结合律）

=40+（-57）                              （同号相加法则）

=-17．                                   （异号相加法则）

本例先由学生在笔记本上解答，然后教师根据学生解答情况指定几名学生板演，并引导学生发现，简化加法运算一般是三种方法：

首先消去互为相反数的两数（其和为0），同号结合或凑整数．

例2、10袋小麦称重记录如图所示，以每袋90千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．

总计是超过多少千克或不足多少千克？

10袋小麦的总重量是多少？

教师通过启发，由学生列出算式，再让学生思考，如何应用运算律，使计算简便．

解：

7+5+（-4）+6+4+3+（-3）+（-2）+8+1

=[（-4）+4]+[5+（-3）+（-2）]+（7+6+3+8+1）

=0+0+25=25．

90×10+25=925．

答：

总计是超过25千克，总重量是925千克．

四、课堂练习

1．计算：

（要求注理由）

（1）（-8）+10+2+（-1）； 

（2）5+（-6）+3+9+（-4）+（-7）；

（3）（-0.8）+1.2+（-0.7）+（-2.1）+0.8+3.5；

2．计算（要求注理由）

（1）（-17）+59+（-37）；                              

（2）（-18.65）+（-6.15）+18.15+6.15；

3．当a=-11，b=8，c=-14时，求下列代数式的值：

（1）a+b；                       

（2）a+c；

（3）a+a+a；                    （4）a+b+c．

利用有理数的加法解下列各题（第4～8题）：

4．飞机的飞行高度是1000米，上升300米，又下降500米，这时飞行高度是多少？

5．存折中有450元，取出80元，又存入150元以后，存折中还有多少钱？

6．一天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是多少？

7．小吃店一周中每天的盈亏情况如下（盈余为正）：

128.3元，-25.6元，-15元，27元，-7元，36.5元，98元

一周总的盈亏情况如何？

8．8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：

1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-2.5

8筐白菜的重量是多少？

五、作业

习题2.4的1、2、3题

六、板书设计

2．4有理数的加法

（2）

（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结

例1、例2

（二）观察发现（四）课堂练习练习设计

§2.5有理数的减法

教学目标:

1．理解有理数减法的意义。

2．会进行有理数减法运算

教学重点:

减法法则。

教学难点：

减法的意义。

教学准备：

多媒体课件

教学过程：

一、引入：

1．叙述有理数加法法则。

2．两个有理数的和一定大于每一个加数吗？

3．10比3大多少？

10比-3大多少？

-10比3大多少？

如何计算？

4．3-10有意义吗？

它应当等于多少？

注：

问2是要向学生强调，两数的和不一定大于每一个加数，一个数加一个非零的有理数，其和可能增加也可能减少。

问3是向学生说明求一个数比另一个数大多少在有理数范围内同样要用减法运算。

问2和问3都是为了引入新课而设计的。

二、新课讲解：

1．由问2、问3讲解有理数减法的意义。

在正有理数范围内3-10是没有意义的，因为3比10小，问3比10大多少，问题的本身就有问题，但引入负数就不同了。

如果你有3元钱向售货员买了10元的物品，如果售货员让你先把物品拿走，那么你将欠售货员7元。

这件事实如用算式表达，即3-10=-7。

所以引入负数后，小的数减去大的数就可以进行了，其差可用负数表示。

如果问3比10大多少？

我们还可用上式计算，答案是3比10大-7，根据负数的意义也就是3比10小7的意思。

在小学我们知道减法是加法的逆运算。

有理数减法具有同样的意义。

（3-10）的运算表示要求一个数，使10+x=3。

在正有理数范围内，这个数是不存在的，但根据有理数的加法可知，存在数-7满足上面的等式，即10+（-7）=3，这就是说3-10=-7。

2.由实际运算的例子归纳有理微减法法则。

考察：

3-10=3+（-10）=-7，3-（-10）=3+10=13，

（-10）-（-3）=-10+3=-7，（-10）-7=-10+（-7）=-17。

等式左边的运算结果，用减法意义求出。

3比10大-7，3比-10大13，-10比-3大-7，-10比7大-17，或画数轴，让学生观察得出。

考察以上计算后。

提问：

减法是否都可转化为加法计算？

启发学生自己得出有理数减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。

3．讲解例题：

（l）补充例题：

问15℃比5℃高多少度？

15℃比-5℃呢？

-5℃比15℃呢？

解：

∵15-5=10，∴15℃比5℃高10℃；

∵15-（-5）-15＋5=20，∴15℃比-5℃高20℃；

∵-5-15=-5+（-15）=-20，∴-5℃比15℃高-20℃。

即-5℃

比15℃低20℃。

（2）教科书例1、例2。

三、课堂练习：

教科书练习第1～3题。

四、课外作业

1．习题2．5第1～5题。

2．补充题：

判断下列各题的对错，并说明理由：

（l）符号不同的两个数的和一定小于它们差的绝对值。

（2）两个数的和一定大于这两个数的差。

（3）两个数的差不一定小于它们的和。

（4）任何两个数的和都不等于这两个数的差。

（答：

（1）、

（2）、（4）错，（3）对。

）

§2.6有理数的加减混合运算

（1）

教学目标：

⒈掌握有理数加减混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减混合运算。

⒉能根据具体问题，适当使用运算律简化运算。

教学重点:

熟练进行有理数的混合运算。

教学难点:

在运算中灵活地使用运算律。

教学准备：

多媒体课件

教学过程：

一、创设情境

下图是一条河流在枯水期的水位图.

此时小康桥面距水面的高度为多少米?

你知道小颖和小明分别是怎么想的吗?

他们的结果为什么相同?

二、讲授新课：

1.议一议:

一架飞机作特技表演,起飞后的高度变化如下表:

高度变化

记作

上升4.5米

+4.5千米

下降3.2米

－3.2千米

上升1.1米

+1.1千米

下降1.4米

－1.4千米

此时,飞机比起飞点高了多少千米?

比较以上两种解法，你发现了什么？

4.5+（-3.2）+1.1+（-1.4）4.5—3.2+1.1-1.4

把4.5－3.2＋1.1－1.4看作为4.5，－3.2，1.1，－1.4的和，也叫“代数和”．

2.讲解例题：

例1计算：

说明：

将加减统一成加法并写成省略加号和括号的和的形式.

三、随堂练习：

四、课堂小结:

根据课堂的实际情况作评价.并让小组成员叙述自己对有理数加减法的看法和掌握有困难的地方。

五作业:

习题2.7的1、2、3题

§2.6有理数的加减混合运算

（2）

教学目标

让学生熟练地进行有理数加减混合运算，并利用运算律简化运算．

教学重点和难点

重点：

加减运算法则和加法运算律．

难点：

省略加号与括号的代数和的计算．

教学准备：

多媒体课件

教学过程

一、从学生原有认知结构提出问题

什么叫代数和？

说出-6+9-8-7+3两种读法．

二、讲授新课

1．计算下列各题：

2．计算：

（1）-12+11-8+39； 

（2）+45-9-91+5； （3）-5-5-3-3；

（7）-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28；

3．当a=13，b=-12.1，c=-10.6，d=25.1时，求下列代数式的值：

（1）a-（b+c）；        

（2）a-b-c；      （3）a-（b+c+d）；         （4）a-b-c-d；

（5）a-（b-d）；        （6）a-b+d；     （7）（a+b）-（c+d）；      （8）a+b-c-d；

（9）（a-c）-（b-d）；                         （10）a-c-b+d．

请同学们观察一下计算结果，可以发现什么规律？

a-（b+c）=a-b-c；

a-（b+c+d）=a-b-c-d；

a-（b-d）=a-b+d；

（a+b）-（c+d）=a+b-c-d；

（a-c）-（b-d）=a-c-b+d．

括号前是“-”号，去括号后括号里各项都改变了符号；括号