专题十五空间向量的应用.docx
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专题十五空间向量的应用
辅导讲义
学员编号:
年级:
高三课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
数学学科教师:
授课主题
(基础知识点梳理)
(空间向量应用专题)
(能力提升)
授课日期时段
教学内容
教学目标:
1、理解直线的方向向量与平面的法向量;
2、能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;
3、能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理;
4、能解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究立体几何问题中的应用。
导入
回顾:
1.直线的方向向量与法向量?
2.平面的法向量?
注:
通过提问的方式引入课题,让学生能够迅速进入课堂。
知识梳理
1.平面的法向量
(1)若直线
垂直平面
,取直线
的方向向量
,则向量
叫做平面
的法向量;
(2)若直线
的方向向量
,平面
的法向量
,则
;
(3)若直线
的方向向量
,平面
的法向量
,则
;
(4)若平面
的法向量
,平面
的法向量
,则
2.空间的角
(1)若异面直线
的方向向量为
,;
与
所成的角为
,则
(2)已知直线
的方向向量为
,平面
的法向量
,
与平面
的夹角为
,则
;
(3)已知二面角
的两个面
和
的法向量分别为
,
,则
与该二面角相等或互补;
3.空间的距离
(1)一个点到它在一个平面内射影的距离,叫做点到这个平面的距离;
(2)已知直线
平行平面
,则
上任一点到
的距离都相等,且叫做
到
的距离;
(3)和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,叫做两个平面的公垂线段,两平行平面的任两条公垂线段的长度都相等,共垂线段的长度叫做两平行平面的距离,也是一个平面内任一点到另一个平面的距离;
(4)若平面
的一个法向量为
,P是平面
外一点,A是
内任一点,则点P到平面
的距离
空间向量应用专题
教学目标
1.掌握与直线平行的方向向量和平面的法向量的概念,会把线面的平行及垂直关系转化为向量关系;
2.会用向量方法证明简单空间图形中直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直、平行,以及解决一些简单的几何证明问题;
3.会在简单的空间图形中用向量方法进行有关距离、角(包括异面直线所成角)的度量的计算.
知识梳理
1.已知空间两点
,
,则
_______;
_______;
_______;若
,
的夹角为
,则
_______.
2.已知平面
外一点
,
面
,
面
,则点
到平面
的距离_______;若
与平面
斜交,
面
,且
是平面
的法向量,则
的几何意义为_______________.
3.已知空间两异面直线,设两直线的方向向量的夹角为
,则两直线的夹角
_______,
_______.
4.已知直线与平面相交,设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为
,则直线与平面的夹角
_______,
_______.
5.已知二面角
,设
,
的法向量夹角为
,则二面角的平面角
_______,
_______;若
,
分别是在
,
平面内与
垂直的向量,设
,
的夹角为
,则二面角的平面角
_______,
_______.
【答案】
1.
;
;
;
2.
(1)
(2)
到平面
的距离
3.
或
,
4.
或
,
5.
或
,
或
或
,
或
典例精讲
(★★★)如图,已知正三棱柱
的侧棱长和底面边长均为1,
是底面
边上的中点,
是侧棱
上的点,且
.
(1)求异面直线
与
的夹角;
(2)求直线
与平面
所成的角;
(3)求二面角
的平面角的余弦值;
(4)求点
到平面
的距离.
【本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力。
其中
(2)如果不用空间向量会非常繁琐。
】
解法1:
(1)建立如图所示的空间直角坐标系:
,
,
,
,
,
,设
与
的夹角为
,则
。
(2)
设平面
的一个法向量为
,
,
,
不妨设
,得
,
,
设
与
的夹角为
,则
,所求线面角为
。
(3)建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
所以,
,
.
因为
所以
同法可得
.
故﹤
﹥为
的二面角
∴
﹤
﹥=
故所求二面角
的平面角的余弦值为
.
(4)设
为平面
的一个法向量,则由
得
故可取
.设
与
的夹角为
,
则
.
所以
到平面
的距离为
.
解法2:
(1)
(2)同解法1
(1)
(2).
(3)因为
是底面
边上的中点,所以
,
又
所以
面
,从而
,
所以
为二面角
的平面角.
又
,
=
连
,得
=
,
在
中,由余弦定理得
.
故所求二面角
的平面角的余弦值为
.
(4)过
在面
内作直线
,
为垂足.
又
平面
,所以
.于是
平面
,
故
即为
到平面
的距离.
在
中,
=
.故点
到平面AMN的距离为1.
例1.(★★★)如图,已知四棱锥
的底面
为等腰梯形,
与
相交于点
,且顶点
在底面射影恰好为
,又
(1)求异面直线
与
所成角的余弦值
(2)求二面角
的大小
(3)设点
在棱
上,且
,问
为何值时,
平面
.
解:
(1)以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立直角坐标系.
所以两异面直线所成的角为
(2)求的平面
的一个法向量
,平面
的一个法向量为
,二面角
的大小为
(3)由条件可得
,设
,
,得
由
,此时
平面
.
课堂检测
1.
(★★★)如图平面
平面
,四边形
与
都是直角梯形,
,
(1)证明:
四点共面;
(2)设
,求二面角
的大小.
【解1】:
(1)延长
交
的延长线于点
,由
得
延长
交
的延长线于
同理可得
故
,即
与
重合
因此直线
相交于点
,即
四点共面.
(2)设
,则
,
取
中点
,则
,又由已知得,
平面
故
,
与平面
内两相交直线
都垂直.所以
平面
,
作
,垂足为
,连结
,
为二面角
的平面角.
,故
所以二面角
的大小
【解2】:
由平面
平面
,
,得
平面
,以
为坐标原点,射线
为
轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系
(1)设
,
则
故
,从而由点
,得
故
四点共面
(2)设
,则
,
在
上取点
,使
,则
。
从而
又
,
在
上取点
,使
,则
从而
故
与
的夹角等于二面角
的平面角,
所以二面角
的大小
【点评】:
此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题,考察空间想象能力,几何逻辑推理能力,以及计算能力;
【突破】:
熟悉几何公理化体系,准确推理,注意书写格式是顺利进行解法1的关键;在解法2中,准确的建系,确定点坐标,熟悉向量的坐标表示,熟悉空间向量的计算在几何位置的证明,在有关线段,角的计算中的计算方法是解题的关键.
2.
(★★★)如图,在长方体
中,
、
分别是
、
的中点,
、
分别是
、
的中点,
,
.
(1)求证:
//面
;
(2)求二面角
的大小;
(3)求三棱锥
的体积.
解法一:
1.证明:
取
的中点
,连结
∵
分别为
的中点
∵
∴
面
,
面
,∴面
面
∴
面
2.
设
为
的中点,∵
为
的中点,∴
∴
面
,
作
,交
于
,连结
,则由三垂线定理得
从而
为二面角
的平面角.在
中,
,
从而
.在
中,
故:
二面角
的大小为
.
(3)
.
作
,交
于
,由
,得
,∴
.
在
中,
,
∴
.
解法二:
以
为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立直角坐标系,
则
∵
分别是
的中点
∴
(1)
取
,显然
面
,
,
∴
,又
面
,∴
面
,∴过
作
,交
于
,
取
的中点
,则
设
,则
又
由
,及
在直线
上,可得:
解得
∴
∴
即
∴
与
所夹的角等于二面角
的大小
故:
二面角
的大小为
(Ⅲ)设
为平面
的法向量,则
,
.
又
,
,
.
∴
,即
,∴可取
∴
点到平面
的距离为
.
∵
,
.
∴
,
∴
.
学法提炼
空间坐标系是对平面坐标系的扩展,即由平面坐标系的二维扩展到三维。
空间坐标系在解决规则图形时是万能的。
也就是说,只要能建立空间坐标系,就能解决线线、线面以及面面之间的平行、垂直、夹角等几乎所有的相关问题。
用空间坐标系解决线面问题的优点是:
1、方法是绝对的,只要能建立坐标系就能解决。
2、不用具体去分析图形,掌握方法就可以立即下笔。
3、不用作辅助线。
缺点是计算过程比较繁琐,有时候不容易建立坐标系,而且空间坐标系只限于规则的几何图形。
但作为一种方法,“一条必然可以达到成功彼岸的路”,值得我们去学习和掌握。
空间坐标系并不难掌握,只要我们联系平面坐标系,比较起来学习,就会有事半功倍的效果。
例1在四棱锥
中,
底面
为矩形,且
,
分别为
的中点,求证:
(1)
;
(2)
。
小结:
常见类题需要学生能自己动手作图,并且用向量证明线面平行时,最后应说明向量所在的基线不在平面内。
例2(辽宁理19))已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=
,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明:
CM⊥SN;
注:
本题空间坐标系易建立,可用坐标法.
证明:
设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图,则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,
),N(
0,0),S(1,
0)
因为
,所以CM⊥SN.
例2(天津理19)在长方体
中,
、
分别是棱
上的点,
=
=
=
.
证明
平面
注:
本题空间坐标系易建立,可用坐标法.
解析:
如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设
依题意得
已知
于是
·
=0,
·
=0.因此,
又
所以
平面
【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量法,先求出平面的法向量和直线的方向向量,证明平面法向量
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- 专题 十五 空间 向量 应用