SAT数学综合问题.docx
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SAT数学综合问题
代数与几何部分
1.正整数n有奇数个因子,则n为完全平方数
2.因子个数求解公式:
将整数n分解为质因子乘积形式,然后将每个质因子的幂分别加一相乘.n=a*a*a*b*b*c则因子个数=(3+1)(2+1)(1+1)
eg.200=2*2*2*5*5因子个数=(3+1)(2+1)=12个
3.能被8整除的数后三位的和能被8整除;能被9整除的数各位数的和能被9整除.能被3整除的数,各位的和能被3整除.
4.多边形内角和=(n-2)x180
5.菱形面积=1/2x对角线乘积
6.欧拉公式:
边数=面数+顶点数-2
8.三角形余玄定理
C2=A2+B2-2ABCOSβ,β为AB两条线间的夹角
9.正弦定理:
A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C是各边及所对应的角,R是三角形外接圆的半径)
10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2,两线垂直的条件为K1K2=-1
11.N的阶乘公式:
N!
=1*2*3*....(N-2)*(N-1)*N且规定0!
=11!
=1
Eg:
8!
=1*2*3*4*5*6*7*8
12.熟悉一下根号2、3、5的值
sqrt
(2)=1.414sqrt(3)=1.732sqrt(5)=2.236
13....2/3asmanyAasB:
A=2/3*B
...twiceasmany...AasB:
A=2*B
14.华氏温度与摄氏温度的换算
换算公式:
(F-32)*5/9=C
PS.常用计量单位的换算:
(自己查查牛津大字典的附录吧)
练习题:
1:
还有数列题:
a1=2,a2=6,an=an-1/an-2,求a150.
解答:
an=an-1/an-2,所以an-1=an-2/an-3,带入前式得an=1/an-3,然后再拆一遍得到an=an-6,也就是说,这个数列是以6为周期的,则a150=a144=...=a6,利用a1,a2可以计算出a6=1/3.
如果实在想不到这个方法,可以写几项看看很快就会发现a150=a144,大胆推测该数列是以6为周期得,然后写出a1-a13(也就是写到你能看出来规律),不难发现a6=a12,a7=a13,然后那,稍微数数,就可以知道a150=a6了,同样计算得1/3.
2:
问摄氏升高30度华氏升高的度数与62比大小.
key:
F=30*9/5=54<62
3:
那道费波拉契数列的题:
已知,a1=1a2=1an=an-1+an-2,问a1,a2,a3,a6四项的平均数和a1,a3,a4,a5四项的平均数大小比较。
解答:
费波契那数列就是第三项是前两项的和,依此类推得到a1-a6为:
1123581321a1+a2+a3+a6=12,a1+a3+a4+a5=11,所以为大于.
4:
满足x^2+y^2<=100的整数对(x,y)有多少?
key:
按照X的可能情况顺序写出:
X=Y=
11-9
21-9
31-9
41-9
51-8
61-8
71-7
81-6
91-4=>Myanswer:
加起来=69
5:
24,36,90,100四个数中,该数除以它的所有的质因子,最后的结果是质数的是那个:
Key:
90
6:
0.123456789101112….,这个小数无限不循环地把所有整数都列出来.请问小数点后第100位的数字是多少?
Key:
位数
112345678910
101112………………………1920
2021……………………………2920
30………………………………3920
40………………………………4920
50515253545556――――――第101位=5?
?
7:
2904x=y2(y的平方),x、y都是正整数,求x的最小值。
因为:
X^2×Y^2×Z^2=(X×Y×Z)^2
所以把2904除呀除=2×2×2×3×11×11=2^2×11^2×6再乘一个6就OK了
2^2×11^2×6×6=(2×11×6)^2=132^2
Key:
最小的x=6
8:
序列An=1/n-1/(n+1),n>=1,问前100项和.
解答:
An=1/n-1/(n+1)
An-1=1/(n-1)-1/n
An-2=1/(n-2)-/(n-1)
………………………
………………………
A1=1-1/2
把左边加起来就是An+An-1+……+A1=1-1/(n+1)...消掉了好多好多项之后的结果
Key:
把n=100带入得前100项之和为100/101
9:
等腰三角形,腰为6.底边上的高为x,底边为y,问4x2+y2和144谁大
解答:
勾股定理得(y/2)2+x2=62,所以4x2+y2=144
10:
-1 r+r*t*t与-1的关系 Key: 我想的办法只能是尝试: 原式=r(1+t*t)恒小于零 1)r-1,t0则原式-1 2)r-1,t-1则原式-2 3)r0,t0则原式0 例如: r=-0.9t=-1/3时,原式=-1,若此时-0.9 11: 有长方形4feet*8feet,长宽各截去x inch,长宽比2: 5, 解答: 列出方程: (4*12-x)/(8*12-x)=2/5 =>x=16 概率论部分 1.排列(permutation): 从N个东东(有区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个并作排列,共有几种方法: P(M,N)=N! /(N-M)! 例如: 从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数? 解答: P(3,5)=5! /(5-3)! =5! /2! =5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60 也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置 那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法,那么第二个位置余下四个数中任一个,....4.....,那么第三个位置……3…… 所以总共的排列为5*4*3=60 同理可知如果可以重复选(即取完后可再取),总共的排列是5*5*5=125 2.组合(combination): 从N个东东(可以无区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个(不作排列,即不管取得次序先后),共有几种方法 C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N! /(M-N)! /M! C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5! /2! /3! =5*4*3/(1*2*3)=10 可以这样理解: 组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M! , 那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列 所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得组合公式 性质: C(M,N)=C((N-M),N) 即C(3,5)=C((5-2),5)=C(2,5)=5! /3! /2! =10 3.概率 概率的定义: P=满足某个条件的所有可能情况数量/所有可能情况数量 概率的性质: 0<=P<=1 1)不相容事件的概率: a,b为两两不相容的事件(即发生了a,就不会发生b) P(a或b)=P(a)+P(b) P(a且b)=P(a)+P(b)=0(A,B不能同时发生) 2)对立事件的概率: 对立事件就是a+b就是全部情况,所以不是发生a,就是b发生,但是,有一点a,b不能同时发生.例如: a: 一件事不发生 b: 一件事发生,则A,B是对立事件 显然: P(一件事发生的概率或一件事不发生的概率)=1(必然事件的概率为1) 则一件事发生的概率=1-一件事不发生的概率...........公式1 理解抽象的概率最好用集合的概念来讲,否则结合具体体好理解写 a,b不是不相容事件(也就是说a,b有公共部分)分别用集合A和集合B来表示 即集合A与集合B有交集,表示为A*B(a发生且b发生) 集合A与集合B的并集,表示为AUB(a发生或b发生) 则: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A*B).................公式2 3)条件概率: 考虑的是事件A已发生的条件下事件B发生的概率 定义: 设A,B是两个事件,且P(A)>0,称 P(B|A)=P(A*B)/P(A)....................公式3 为事件A已发生的条件下事件B发生的概率 理解: 就是P(A与B的交集)/P(A集合) 理解: “事件A已发生的条件下事件B发生的概率”,很明显,说这句话的时候,A,B都发生了,求的是A,B同时发生的情况占A发生时的比例,就是A与B同时发生与A发生的概率比。 4)独立事件与概率 两个事件独立也就是说,A,B的发生与否互不影响,A是A,B是B,用公式表示就是P(A|B)=P(A)所以说两个事件同时发生的概率就是: P(AUB)=P(A)×P(B)................公式4 练习题: 1: A,B独立事件,一个发生的概率是0.6,一个是0.8,问: 两个中发生一个或都发生的概率? 解答: P=P(A且! B)+P(B且! A)+P(A且B) =0.6*(1-0.8)+0.8*(1-0.6)+0.6*0.8=0.92 另一个角度,所求概率P=1-P(A,B都不发生) =1-(1-0.8)*(1-0.6)=0.92 2: 一道概率题: 就是100以内取两个数是6的整倍数的概率. 解答: 100以内的倍数有6,12,18,...96共计16个 所以从中取出两个共有16*15种方法,从1-100中取出两个数的方法有99*100种,所以P=(16*15)/(99*100)=12/505=0.024 3: 1-350inclusive中,在100-299inclusive之间以3,4,5,6,7,8,9结尾的数的概率. 因为100-299中以3,4,5,6,7,8,9结尾的数各有20个,所以 Key: (2*10*7)/350=0.4 4.在1-350中(inclusive),337-350之间整数占的百分比 Key: (359-337+1)/350=4% 5.在E发生的情况下,F发生的概率为0.45,问E不发生的情况下,F发生的概率与0.55比大小 解答: 看了原来的答案,我差点要不考G了.无论柳大侠的推理还是那个哥哥的图,都太过分了吧? 其实用全概率公式是很好解决这个问题的,还是先用白话文说一遍吧: 某一个事件A的发生总是在一定的其它条件下如B,C,D发生的,也就是说A的概率其实就是在,B,C,D发生的条件下A发生的概率之和.A在B发生时有一个条件概率,在C发生时有一个条件概率,在D发生时有一个条件概率,如果B,C,D包括了A发生的所有的条件.那么,A的概率不就是这几个条件概率之和么. P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D) 好了,看看这个题目就明白了.F发生时,E要么发生,要么不发生,OK? 所以,P(F)=P(F|E)+P(F|! E)感觉上也没错吧? 给了P(F|E)=0.45,所以 P(F|! E)=P(F)-P(F|E)=P(F)-0.45 如果P(F)=1,那么P(F|! E)=0.55 如果0.45= E)<0.55 如果…………,唉,我就不说你什么了…………sigh 统计学部分 1.mode(众数) 一堆数中出现频率最高的一个或几个数 e.g.modeof1,1,1,2,3,0,0,0,5is1and0 2.range(值域) 一堆数中最大和最小数之差,所以统计学上又称之为极差.(两极的差) e.g.rangeof1,1,2,3,5is5-1=4 3.mean(平均数) arithmaticmean(算术平均数): n个数之和再除以n geometricmean(几何平均数): n个数之积的n次方根 4.median(中数) 将一堆数排序之后,正中间的一个数(奇数个数字), 或者中间两个数的平均数(偶数个数字) e.g.medianof1,7,4,9,2,2,2,2,2,5,8is2 medianof1,7,4,9,2,5is(5+7)/2=6 5.standarderror(标准偏差) 一堆数中,每个数与平均数的差的绝对值之和,除以这堆数的个数(n) e.g.standarderrorof0,2,5,7,6is: (|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4 6.standardvariation 一堆数中,每个数与平均数之差的平方之和,再除以n 标准方差的公式: d2=[(a1-a)2+(a2-a)2+....+(an-a)2]/n e.g.standardvariationof0,2,5,7,6is: average=4 ((0-4)2+(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2+(6-4)2)/5=6.8 7.standarddeviation 就是standardvariation的平方根d 8.thecalculationofquartile(四分位数的计算) Quartile(四分位数): 第0个Quartile实际为通常所说的最小值(MINimum); 第1个Quartile(En: 1stQuartile); 第2个Quartile实际为通常所说的中分位数(中数、二分位分、中位数: Median);第3个Quartile(En: 3rdQuartile); 第4个Quartile实际为通常所说的最大值(MAXimum); 我想大家除了对1st、3rdQuartile不了解外,对其他几个统计值的求法都是比较熟悉的了,而求1st、3rd是比较麻烦的。 下面以求1rd为例: 设样本数为n(即共有n个数),可以按下列步骤求1stQuartile: 1.n个数从小到大排列,求(n-1)/4,设商为i,余数为j 2.则可求得1stQuartile为: (第i+1个数)*(4-j)/4+(第i+2个数)*j/4 例(已经排过序啦! ): 1).设序列为{5},只有一个样本则: (1-1)/4商0,余数0 1st=第1个数*4/4+第2个数*0/4=5 2).设序列为{1,4},有两个样本则: (2-1)/4商0,余数1 1st=第1个数*3/4+第2个数*1/4=1.75 3).设序列为{1,5,7},有三个样本则: (3-1)/4商0,余数2 1st=第1个数*2/4+第2个数*2/4=3 4).设序列为{1,3,6,10},四个样本: (4-1)/4商0,余数2 1st=第1个数*1/4+第2个数*3/4=2.5 5).其他类推! 因为3rd与1rd的位置对称,这是可以将序列从大到小排(即倒过来排),再用1rd的公式即可求得: 例(各序列同上各列,只是逆排): 1.序列{5},3rd=5 2.{4,1},3rd=4*3/4+1*1/4=3.25 3.{7,5,1},3rd=7*2/4+5*2/4=6 4.{10,6,3,1},3rd=10*1/4+6*3/4=7 9.ThecalculationofPercentile 设一个序列供有n个数,要求(k%)的Percentile: (1)从小到大排序,求(n-1)*k%,记整数部分为i,小数部分为j 可以如此记忆: n个数中间有n-1个间隔,n-1/4就是处于前四分之一处, (2)所求结果=(1-j)*第(i+1)个数+j*第(i+2)个数 特别注意以下两种最可能考的情况: (1)j为0,即(n-1)*k%恰为整数,则结果恰为第(i+1)个数 (2)第(i+1)个数与第(i+2)个数相等,不用算也知道正是这两个数. 注意: 前面提到的Quartile也可用这种方法计算, 其中1stQuartile的k%=25% 2ndQuartile的k%=50% 3rdQuartile的k%=75% 计算结果一样. 例: (注意一定要先从小到大排序的,这里已经排过序啦! ) {1,3,4,5,6,7,8,9,19,29,39,49,59,69,79,80} 共16个样本要求: percentile=30%: 则 (16-1)*30%=4.5=4+0.5i=4,j=0.5 (1-0.5)*第5个数+0.5*第6个数=0.5*6+0.5*7=6.5 10.TofindmedianusingStem-and-Leaf(茎叶法计算中位数) Stem-and-Leafmethod其实并不是很适用于GRE考试,除非有大量数据时可以用这种方法比较迅速的将数据有序化.一般GRE给出的数据在10个左右,茎叶法有点大材小用. Stem-and-Leaf其实就是一种分级将数据分类的方法.Stem就是大的划分,如可以划分为1~10,11~20,21~30…,而Leaf就是把划分到Stem一类中的数据再排一下序。 看了例子就明白了。 ExampleforStem-and-Leafmethod: Data: 23,51,1,24,18,2,2,27,59,4,12,23,15,20 0|1224 1|121518 2|2023232427 5|5159 Stem(unit)=10 Leaf(unit)=1 分析如下: 最左边的一竖行0,1,2,5叫做Stem,而右边剩下的就是Leaf(leaves).上面的Stem-and-Leaf共包含了14个data,根据Stem及leaf的unit,分别是: 1,2,2,4(firstrow),12,15,18(secondrow),20,23,23,24,27(thirdrow),51,59(lastrow).StemandLeaf其实就是把各个unit,比如个位,十位等归类了而已,一般是从小到大有序排列,所以在找Stem-andLeaf找median的时候,一般不需要你自己把所有的数写出来从新排序.所以只要找到中间的那个数(如果data个数是偶,则取中间两数的平均数),就是median了.这道题的median是18和20的平均值=19.大家在碰到这种题的时候都可以用上面的方法做,只要注意unit也就是分类的数量级就行了. 为什么用Stem-and-Leaf方法? 可能你觉得这样做太麻烦了,其实Stem-and-Leaf方法好处就是: 你不必从一大堆数里去按大小挑数了,按照data给出的顺序填到表里就可以了。 但是,GRE考试这样做是否值自己斟酌。 我的方法,不就是找十来个数么? 排序! 在先浏一眼数据看看大致范围,然后在答题纸上按个的写,觉得小的写前面,大的写后面,写了几个数之后,就是把剩下的数儿们,一个个的插到已写的数中间么! 注意尽可能的把数之间的距离留大一些,否则,如果某些数比较密集,呵呵,你会死的很惨的。 11.Tofindthemedianofdatagivenbypercentage(按比例求中位数) 给了不同年龄range,和各个range的percentage,问median落在哪个range里.把percentage加到50%就是median的range了.担小心一点,range首先要保证是有序排列. Exampleforthis: Given: 10~20=20%,30~50=30%,0~10=40%,20~30=10%,问median在哪个range里. 分析: 千万不要上来就加,要先排序,切记! ! 重新排序为: 0~10=40%,10~20=20%,20~30=10%,30~50=40%.然后从小开始加,median(50%)落在10~20这个range里. 如果觉得比较玄乎,我的方法,GRE大部分的题都可以这么搞。 0~10岁40匹ETS猪,10~20岁20匹ETS猪,20~30岁匹ETS猪,30~50岁匹ETS猪,这100匹ETS猪按着年龄排下来,你说第五十匹ETS猪的年龄落在那个范围。 (原题: 说一堆人0-10岁占10%,11-20岁占12%,21-30岁占23%,31-40岁占20%,〉40岁占35%,问median在什么范围? ) 12: 比较,当n<1时,n,1,2和1,2,3的标准方差谁大 standarderror和standardvariation(作用=standarddeviation)都是用来衡量一组数据的离散程度的统计数值,只不过由于standarderror中涉及绝对值,在数学上是很难处里的所以,都用标准方差,实际上standarderror更合理一些,它代表了数据和平均值的平均距离.很明显题目中如果n=0的话,0,1,2的离散程度应该和1,2,3的离散程度相同.如果n<0,则n,1,2,的离散程度大于后者,而0 Key: n是整数,前〉=后(n=0,等;n=-1,-2,……大于) 13.算数平均值和加权平均值 三组数据的频数分布FREQUENCYDISTRIBUTION: 1(6),2(4),3 (1),4(4),5(6) 1 (1),2(4),3(6),4(4),5 (1) 1 (1),2 (2),3(3),4(4),5(5) 其中括号里的是出现的频率,问MEAN和AVERAGE相等的有那些. 答案: 只有第二个. mean-arithmeticmean算术平均值(1+2+3+4+5)/5=3 average-weightedaverage加权平均值: (1*1+2*4+...5*1)/(1+4+6+4+1)=48/16=3 14.正态分布题. 一列数从0到28,给出正态分布曲线.75%的percentile是20,85%的percentile是r,95%的percentile是26,问r与23的大小. Key: r<23 下面是来自柳大侠的七种武器中的正态分布 15.正态分布 高斯分布(Gaussian)(正态分布)的概率密度函数为一钟型曲线,即 a为均值, 为标准方差,曲线关于x=a的虚线对称, 决定了曲线的“胖瘦”,形状为: 图1 高斯型随机变量的概率分布函数,是将其密度函数取积分,即 (★) 表示随机变量A的取值小于等于x的概率。 比如A的取值小于等于均值a的概率是50%。 曲线为 图2 如果前面看得有些头大也没有关系,结合具体题目就很容易理解了 1)一道正态分布: 95%〈26,75%〈20,85%〈r,问r与23的大小,答小于 解: 由图2,正态分布的分布函数F(x)在其期望a的右方曲线是向上凸的,此时 F(20)=75%,F(r)=85%,F(26)=95%, 如果把曲线的片段放大就比较清楚了。 O为AB的中点。 A(20,75%) B(26,95%) O(23,85%) C(r,85%) 由于曲线上凸,显
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