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一元二次方程提高1
一元二次方程提高
(1)
一.选择题(共8小题)
1.(2016•黄冈校级自主招生)设x1,x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根,则x13﹣5x22+10=( )
A.﹣29B.﹣19C.﹣15D.﹣9
2.(2016•重庆模拟)关于x的方程ax2+bx+c=3的解与(x﹣1)(x﹣4)=0的解相同,则a+b+c的值为( )
A.2B.3C.1D.4
3.(2016•重庆校级模拟)关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3=0的一个根为x=2,则代数式4b﹣8a+3的值为( )
A.﹣3B.3C.6D.9
4.(2016•富顺县校级模拟)用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时,配方后所得的方程为( )
A.(x﹣2)2=3B.2(x﹣2)2=3C.2(x﹣1)2=1D.
5.(2016•泰山区一模)若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k<1B.k≤1C.k<1且k≠0D.k≤1且k≠0
6.(2015•南充)关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论:
①这两个方程的根都负根;②(m﹣1)2+(n﹣1)2≥2;③﹣1≤2m﹣2n≤1,其中正确结论的个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
7.(2015•湖北校级自主招生)设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根,则x13﹣4x22+15等于( )
A.﹣4B.8C.6D.0
8.(2015•泰安模拟)某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度增长了( )
A.2x%B.1+2x%C.(1+x%)•x%D.(2+x%)•x%
二.填空题(共4小题)
9.(2013•瑞昌市校级模拟)三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根,则三角形的周长是 .
10.(2012•金牛区三模)已知实数x满足
,则
= .
11.(2011•东台市校级模拟)已知关于x的方程
是一元二次方程,则m= .
12.(2011春•桐城市月考)方程x2﹣|x|﹣1=0的根是 .
三.解答题(共2小题)
15.(2016•汉川市模拟)如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?
四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?
点P和点Q的距离是10cm.
16.(2013•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.(2016•黄冈校级自主招生)设x1,x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根,则x13﹣5x22+10=( )
A.﹣29B.﹣19C.﹣15D.﹣9
【分析】x1,x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根,x12=4﹣x1,x22=4﹣x2,再根据根与系数的关系即可求解.
【解答】解:
∵x1,x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根,
∴x12=4﹣x1,x22=4﹣x2,x1+x2=﹣1,
∴x13﹣5x22+10=x1(4﹣x1)﹣5(4﹣x2)+10,
=4x1﹣(4﹣x1)﹣20+5x2+10,
=5(x1+x2)﹣24+10,
=﹣5﹣14,
=﹣19.
故选B.
2.(2016•重庆模拟)关于x的方程ax2+bx+c=3的解与(x﹣1)(x﹣4)=0的解相同,则a+b+c的值为( )
A.2B.3C.1D.4
【分析】首先利用因式分解法求出方程(x﹣1)(x﹣4)=0的解,再把x的值代入方程ax2+bx+c=3即可求出a+b+c的值.
【解答】解:
∵方程(x﹣1)(x﹣4)=0,
∴此方程的解为x1=1,x2=3,
∵关于x的方程ax2+bx+c=3与方程(x﹣1)(x﹣4)=0的解相同,
∴把x1=1代入方程得:
a+b+c=3,
故选B.
3.(2016•重庆校级模拟)关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3=0的一个根为x=2,则代数式4b﹣8a+3的值为( )
A.﹣3B.3C.6D.9
【分析】把x=2代入已知方程得到:
4a﹣2b=﹣3,然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可.
【解答】解:
把x=2代入,得
4a﹣2b+3=0,
所以4a﹣2b=﹣3,
所以4b﹣8a+3=﹣2(4a﹣2b)+3=﹣2×(﹣3)+3=9.
故选:
D.
4.(2016•富顺县校级模拟)用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时,配方后所得的方程为( )
A.(x﹣2)2=3B.2(x﹣2)2=3C.2(x﹣1)2=1D.
【分析】利用配方法得到(x﹣1)2=
,然后对各选项进行判断.
【解答】解:
x2﹣2x=﹣
,
x2﹣2x+1=﹣
+1,
所以(x﹣1)2=
.
故选C.
5.(2016•泰山区一模)若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k<1B.k≤1C.k<1且k≠0D.k≤1且k≠0
【分析】由于k的取值范围不能确定,故应分k=0和k≠0两种情况进行解答.
【解答】解:
(1)当k=0时,﹣6x+9=0,解得x=
;
(2)当k≠0时,此方程是一元二次方程,
∵关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根,
∴△=(﹣6)2﹣4k×9≥0,解得k≤1,
由
(1)、
(2)得,k的取值范围是k≤1.
故选B.
6.(2015•南充)关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论:
①这两个方程的根都负根;②(m﹣1)2+(n﹣1)2≥2;③﹣1≤2m﹣2n≤1,其中正确结论的个数是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
【分析】①根据题意,以及根与系数的关系,可知两个整数根都是负数;②根据根的判别式,以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0,进而得解;③可以采用根与系数关系进行解答,据此即可得解.
【解答】解:
①两个整数根且乘积为正,两个根同号,由韦达定理有,x1•x2=2n>0,y1•y2=2m>0,
y1+y2=﹣2n<0,
x1+x2=﹣2m<0,
这两个方程的根都为负根,①正确;
②由根判别式有:
△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0,△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0,
∵4m2﹣8n≥0,4n2﹣8m≥0,
∴m2﹣2n≥0,n2﹣2m≥0,
m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2,
(m﹣1)2+(n﹣1)2≥2,②正确;
③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)﹣1,
由y1、y2均为负整数,故(y1+1)•(y2+1)≥0,故2m﹣2n≥﹣1,
同理可得:
2n﹣2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)﹣1,得2n﹣2m≥﹣1,即2m﹣2n≤1,故③正确.
故选:
D.
7.(2015•湖北校级自主招生)设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根,则x13﹣4x22+15等于( )
A.﹣4B.8C.6D.0
【分析】首先求出两个之和与两根之积,然后把x13﹣4x22+15转化为3(x1+x2)﹣(x1+x2)2+2x1x2+6,然后整体代入即可.
【解答】解:
∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根,
∴x1+x2=﹣1,x1x2=﹣3,
∵x13=x1x12=x1(3﹣x1)=3x1﹣x12,
∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3(x1+x2)﹣(x1+x2)2+2x1x2+6,
∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4,
故选:
A.
8.(2015•泰安模拟)某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度增长了( )
A.2x%B.1+2x%C.(1+x%)•x%D.(2+x%)•x%
【分析】根据题意列出正确的算式即可.
【解答】解:
根据题意得:
第三季度的产值比第一季度增长了(2+x%)•x%,
故选D
二.填空题(共4小题)
9.(2013•瑞昌市校级模拟)三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根,则三角形的周长是 12或6或15 .
【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解,利用三角形的三边关系判断,求出三角形周长即可.
【解答】解:
方程x2﹣7x+10=0,
分解因式得:
(x﹣2)(x﹣5)=0,
解得:
x=2或x=5,
三角形三边长为2,2,5(舍去);2,5,5;2,2,2;5,5,5,
则周长为12或6或15.
故答案为:
12或6或15
10.(2012•金牛区三模)已知实数x满足
,则
= 3 .
【分析】先设
=y,代入后化为整式方程求解,即可求出答案.
【解答】解:
设
=y,则原方程可变形为y2﹣y=6,
解得y1=﹣2,y2=3,
当y1=﹣2时,
=﹣2,
∵△=b2﹣4ac>0
∴此方程无解,
当y2=3时,
=3,
∵△=b2﹣4ac>0
∴此方程有解,
∴
=3;
故答案为:
3.
11.(2011•东台市校级模拟)已知关于x的方程
是一元二次方程,则m= ﹣2 .
【分析】根据一元二次方程式的定义可得m2﹣m﹣4=2,m﹣3≠0,求m的解即可.
【解答】解:
由题意可得m2﹣m﹣4=2,且m﹣3≠0,
解得m=﹣2.
故答案为:
﹣2.
12.(2011春•桐城市月考)方程x2﹣|x|﹣1=0的根是
或
.
【分析】分x>0和x<0两种情况进行讨论,当x>0时,方程x2﹣x﹣1=0;当x<0时,方程x2+x﹣1=0;分别求符合条件的解即可.
【解答】解:
当x>0时,方程x2﹣x﹣1=0;
∴x=
;
当x<0时,方程x2+x﹣1=0;
∴x=
,
∴x=
;
故答案为
或
.
三.解答题(共4小题)
13.(2015春•宿豫区期中)如图,每个小正方形的边长为1个单位.
(1)画出△ABC的AB边上的中线CD;
(2)画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1;
(3)图中AC与A1C1的关系是:
平行且相等 ;
(4)找出图中能使S△ABC=S△ABQ的所有格点Q.(分别用Q1、Q2、…分别表示)
【分析】
(1)根据中线的定义得出AB的中点即可得出△ABC的AB边上的中线CD;
(2)平移A,B,C各点,得出各对应点,连接得出△A1B1C1;
(3)利用平移的性质得出AC与A1C1的关系;
(4)首先求出S△ABC的面积,进而得出Q点的个数.
【解答】解:
(1)如图所示:
;
(2)如图所示:
;
(3)根据平移的性质得出,AC与A1C1的关系是:
平行且相等;
(4)如图所示:
能使S△ABC=S△ABQ的格点Q,共有4个.
故答案为:
平行且相等.
14.(2014春•江阴市期中)如图,DE⊥AB,EF∥AC,∠A=32°,求∠DEF的度数.
【分析】先根据DE⊥AB可知∠ADE=90°,再由三角形外角的性质求出∠DGC的度数,根据平行线的性质即可得出结论.
【解答】解:
∵DE⊥AB,
∴∠ADE=90°,
∵∠DGC是△ADG的外角,∠A=32°,
∴∠DGC=∠A+∠ADG=32°+90°=122°,
∵EF∥AC,
∴∠DEF=∠DGC=122°.
15.(2016•汉川市模拟)如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?
四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?
点P和点Q的距离是10cm.
【分析】
(1)设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2,则PB=(16﹣3x)cm,QC=2xcm,根据梯形的面积公式可列方程:
(16﹣3x+2x)×6=33,解方程可得解;
(2)作QE⊥AB,垂足为E,设运动时间为t秒,用t表示线段长,用勾股定理列方程求解.
【解答】解:
(1)设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2,
则PB=(16﹣3x)cm,QC=2xcm,
根据梯形的面积公式得
(16﹣3x+2x)×6=33,
解之得x=5,
(2)设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm,
作QE⊥AB,垂足为E,
则QE=AD=6,PQ=10,
∵PA=3t,CQ=BE=2t,
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|,
由勾股定理,得(16﹣5t)2+62=102,
解得t1=4.8,t2=1.6.
答:
(1)P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)从出发到1.6秒或4.8秒时,点P和点Q的距离是10cm.
16.(2013•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)根据已知一元二次方程的根的情况,得到根的判别式△≥0,据此列出关于k的不等式[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+2k)≥0,通过解该不等式即可求得k的取值范围;
(2)假设存在实数k使得
≥0成立.利用根与系数的关系可以求得
,然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式
≥0,通过解不等式可以求得k的值.
【解答】解:
(1)∵原方程有两个实数根,
∴[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+2k)≥0,
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0
∴1﹣4k≥0,
∴k≤
.
∴当k≤
时,原方程有两个实数根.
(2)假设存在实数k使得
≥0成立.
∵x1,x2是原方程的两根,
∴
.
由
≥0,
得
≥0.
∴3(k2+2k)﹣(2k+1)2≥0,整理得:
﹣(k﹣1)2≥0,
∴只有当k=1时,上式才能成立.
又∵由
(1)知k≤
,
∴不存在实数k使得
≥0成立.
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