湖南师大附中届高三高考模拟卷二数学理 1.docx
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湖南师大附中届高三高考模拟卷二数学理1
炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高考模拟卷
(二)
数 学(理科)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合A={20,17},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中元素个数为(C)
(A)1(B)2(C)3(D)4
(2)设i是虚数单位,复数z=,则|z|=(B)
(A)1(B)(C)(D)2
(3)右边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位:
分),已知甲得分的中位数为76分,乙得分的平均数是75分,则下列结论正确的是(C)
(A)x甲=76,x乙=75
(B)甲数据中x=3,乙数据中y=6
(C)甲数据中x=6,乙数据中y=3
(D)乙同学成绩较为稳定
【解析】因为甲得分的中位数为76分,所以x=6,因为乙得分的平均数是75分,所以=75,解得y=3,故选C.
(4)已知双曲线-=1的一条渐近线方程为y=-x,则此双曲线的离心率为(C)
(A)(B)(C)(D)
(5)一算法的程序框图如图所示,若输出的y=,则输入的x可能为(B)
(A)-1(B)1(C)1或5(D)-1或1
【解析】这是一个用条件分支结构设计的算法,
该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值,输出的结果为,当x≤2时,sin=,解得x=1+12k,或x=5+12k,k∈Z,即x=1,-7,-11,…
当x>2时,2x=,解得x=-1(不合,舍去),
则输入的x可能为1.故选B.
(6)平面α外的一侧有一个三角形,三个顶点到平面α的距离分别是7、9、13,则这个三角形的重心到平面α的距离为(A)
(A)(B)10(C)8(D)
【解析】如图过点A作平面β∥α则β、α之间的距离为7,B到β的距离为9-7=2,C到β的距离为13-7=6,利用梯形中位线易求得BC中点D到β的距离为=4,而重心G在AD上,且=,重心G到β的距离为d′=4×,故重心G到α的距离为d=4×+7=.
(7)设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn、Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和,且=,则logb5a5=(D)
(A)(B)(C)(D)
【解析】====logb5a5logb5a5=.
(8)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(B)
(A)15(B)20(C)25(D)30
【解析】V=×3×4×5-·×5=20.
(9)在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是(B)
(A)-7(B)7(C)-28(D)28
【解析】Tk+1=Cnr(-x-)r=(-1)r··xn-r
当r为偶数时,二项式系数最大,从而n=8,由n-r=0,得r=6,常数项=7.
(10)已知椭圆E的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P,Q两点,若△PF1F2为直角三角形且|PF1|<|F1F2|,则椭圆E的离心率为(A)
(A)(B)(C)(D)
【解析】由题意得PF1⊥PF2,
由tanθ=2sinθ=,cosθ=,
∴|PF2|=c,|PF1|=c,
从而|PF1|+|PF2|=c=2a,∴e==.
(11)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=.又函数g(x)=cos,x∈[-3,3],则函数F(x)=f(x)-g(x)的所有零点之和等于(D)
(A)-(B)-(C)(D)
【解析】f(x)=g(x)x=,,-,选D.
(12)已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2(n∈N*).对于任意的正整数n,不等式t2-an2-3t-3an≤0恒成立,则正数t的最大值为(C)
(A)1(B)2(C)3(D)6
【解析】易证得数列{an}是递增数列,
又t2-an2-3t-3an=(t-an-3)(t+an)≤0,t+an>0,
∴t≤an+3恒成立,t≤(an+3)min=a1+3=3,
∴tmax=3.故选C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.
(13)设x,y∈R,向量a=(x,2),b=(1,y),c=(2,-6),且a⊥b,b∥c,则=__5__.
(14)设变量x、y满足约束条件:
则z=x2+y2的最大值是__8__.
【解析】作出约束条件所对应的可行域(如图△ABC),
而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,
数形结合可得最大距离为OC或OA=2,
故答案为:
8.
(15)圆x2+y2=1上任意一点P,过点P作两直线分别交圆于A,B两点,且∠APB=60°,则|PA|2+|PB|2的取值范围为__(5,6]__.
【解析】过点P做直径PQ,如图,根据题意可得:
|PQ|=2.
令∠APQ=θ,则∠BPQ=-θ.由题意可知:
0<θ<.
那么,|PA|=|PQ|cosθ=2cosθ,
|PB|=|PQ|cos=2cos.
|PA|2+|PB|2=(2cosθ)2+=4
=4=4cos2θ+
=2cos2θ+2sinθcosθ+3
=sin2θ+cos2θ+4=2+4
=2sin+4.
∵0<θ<,
∴0<2θ<,
∴<2θ+<,
∴ ∴5<2sin+4≤6. 因此,|PA|2+|PB|2的取值范围为(5,6]. (16)已知函数f(x)=x|x2-12|的定义域为[0,m],值域为[0,am2],则实数a的取值范围是__a≥1__. 【解析】仅考虑函数f(x)在x>0时的情况,可知f(x)=函数f(x)在x=2时,取得极大值16. 令x3-12x=16,解得,x=4.作出函数的图象(如右图所示). 函数f(x)的定义域为[0,m],值域为[0,am2],分为以下情况考虑: ①当0 ②当2≤m≤4时,函数的值域为[0,16],有am2=16,所以a=,因为2≤m≤4,所以1≤a≤4; ③当m>4时,函数的值域为[0,m(m2-12)],有m(m2-12)=am2,所以a=m-,因为m>4,所以a>1. 综上所述,实数a的取值范围是a≥1. 三、解答题: 本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)已知函数f(x)=sinωxcosωx-sin2ωx+1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)如图,在锐角三角形ABC中有f(B)=1,若在线段BC上存在一点D使得AD=2,且AC=,CD=-1,求三角形ABC的面积. 【解析】(Ⅰ)f(x)=sin2ωx-+1=sin+. 因为相邻两条对称轴之间的距离为,所以T=π,即=π,所以ω=1. 故f(x)=sin+.(4分) 令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(6分) (Ⅱ)由f(B)=sin+=1,即sin=. 由0 再由已知: AC=,CD=-1,AD=2. ∴在△ADC中,由AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC,得cosC=, 又∠C∈(0°,90°),∴∠C=45°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=75°.(10分) 在△ABC中,由=,得AB=2, ∴S△ABC=·AB·AC·sin∠BAC=×2××=.(12分) (18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,AD=AB=1,BC=. (Ⅰ)求证: 平面PBD⊥平面PBC; (Ⅱ)设H为CD上一点,满足=2,若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为,求二面角H-PB-C的余弦值. 【解析】(Ⅰ)证明: 由AD⊥CD,AB∥CD,AD=AB=1BD=, 又BC=,∴CD=2,∴BC⊥BD,因为PD⊥底面ABCD,∴BC⊥PD. 因为PD∩BD=D,所以BC⊥平面PBD,所以平面PBD⊥平面PBC.(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC为PC与底面PBD所成的角. 所以tan∠BPC=, 所以PB=,PD=1,又=2及CD=2, 可得CH=,DH=.(7分) 以D点为坐标原点,DA,DC,DP分别x,y,z轴建立空间坐标系,则B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0), H.(8分) 设平面HPB的法向量为n=(x1,y1,z1), 则由得取n=(1,-3,-2),(9分) 设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,z2), 则由得取m=(1,1,2).(10分) 所以cos〈m·n〉==-,所以二面角H-PB-C余弦值为.(12分) (19)某次数学测验共有10道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定: 每选对1道题得5分,不选或选错得0分,某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对,其余4道题无法确定正确选项,但这4道题中有2道能排除两个错误选项,另2题只能排除一个错误选项,于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答,且各题做答互不影响. (Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率; (Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 【解析】(Ⅰ)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A, 选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B, 则P(A)=,P(B)=, 该考生选择题得50分的概率为: P(A)P(A)P(B)P(B)=·=.(4分) (Ⅱ)该考生所得分数X=30,35,40,45,50, P(X=30)==,(5分) P(X=35)=C21+·C21··=,(6分) P(X=40)=+C21C21··+=,(7分) P(X=45)=C21+C21··=,(8分) P(X=50)==,(9分) ∴X的分布列为: X 30 35 40 45 50 P (10分) EX=30×+35×+40×+45×+50×=.(12分) (20)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的焦点F与抛物线E: y2=4x的焦点重合,直线x-y+=0与以原点O为圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切. (Ⅰ)直线x=1与椭圆交于不同的两点M,N,椭圆C的左焦点F1,求△F1MN的内切圆的面积; (Ⅱ)直线l与抛物线E交于不同两点A,B,直线l′与抛物线E交于不同两点C,D,直线l与直线l′交于点M,过焦点F分别作l与l′的平行线交抛物线E于P,Q,G,H四点.证明: =. 【解析】(Ⅰ)依题意,得c=1,e==, 即=,∴a=2,∴b=,∴所求椭圆C的方程为+=1.(2分) 直线l的方程为x=1,得M,N, 设△F1MN的内切圆的半径为R, 则△F1MN的周长=4a=8,S△F1MN=(|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R. 又因为S△F1MN=3=4R,∴R=,所求内切圆的面积为π.(4分) (Ⅱ)设直线l和l′的方程分别为x=k1y+m1,x=k2y+m2, 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 由方程组得 y2-4k1y-4m1=0 ① 方程①的判别式Δ>0,得4k12+4m1>0. 由①得y1+y2=4k1,y1y2=-4m1,(5分) 由方程组得 y2-4k2y-4m2=0 ② 方程②的判别式Δ>0,得4k22+4m2>0. 由②得y3+y4=4k2,y3y4=-4m2.(6分) 联立直线l与直线l′的方程可得: M点坐标为. 因为|MA|·|MB|=(1+k12),代入计算得, |MA|·|MB|=·|(m2-m1)2+4k1k2(m1+m2)-4(m1k22+m2k12)|.(7分) 同理可得 |MC|·|MD|=(1+k22)= ·. 因此=.(8分) 由于PQ,HG分别与直线l和直线l′平行,故可设其方程分别为x=k1y+1,x=k2y+1. 由方程组得 y2-4k1y-4=0. ③ 由③得yP+yQ=4k1,yPyQ=-4, 因此|PQ|=xP+xQ+p=k1(yP+yQ)+4=4(1+k12).(10分) 同理可得|HG|=xH+xG+p=k1(yH+yG)+4=4(1+k22). 故=.(11分) 所以=.(12分) (21)已知函数φ(x)=,a为正常数. (Ⅰ)若f(x)=lnx+φ(x),且a=4,讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若g(x)=|lnx|+φ(x),且对任意x1,x2∈(0,2],x1≠x2都有<-1. (ⅰ)求实数a的取值范围; (ⅱ)求证: 当x∈(0,2]时,g(x)≥ln2+. 【解析】(Ⅰ)当a=4时,f(x)=lnx+,定义域为(0,+∞), 又f′(x)=-=≥0, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.(4分) (Ⅱ)因为<-1, 所以+1<0,<0. 设h(x)=g(x)+x,依题意,h(x)在(0,2]上是减函数,h′(x)≤0恒成立.(6分) (ⅰ)①当1≤x≤2时,h(x)=lnx++x,h′(x)=-+1≤0. 从而,a≥+(x+1)2=x2+3x++3对x∈[1,2]恒成立. 设m(x)=x2+3x++3,x∈[1,2],则m′(x)=2x+3->0. 所以m(x)在[1,2]上是增函数,则当x=2时,m(x)有最大值为,所以a≥. ②当0 从而,a≥-+(x+1)2=x2+x--1. 设t(x)=x2+x--1,则t′(x)=2x+1+>0, 所以t(x)在(0,1)上是增函数.所以t(x) (1)=0,所以a≥0. 综合①②,又因为h(x)在(0,2]上图形是连续不断的,所以a≥.(9分) (ⅱ)因为h(x)在(0,2]上是减函数,所以h(x)≥h (2),即g(x)+x≥ln2++2. 由(ⅰ)得,a≥,∴g(x)+x≥ln2++2≥ln2++2, ∴g(x)+x≥ln2++2,当且仅当x=2时等号成立. 从而g(x)≥ln2++2-x. 令T(x)=ln2++2-x,则T(x)在(0,2]上单调递减. ∴T(x)≥T (2)=ln2+. ∴T(x)≥ln2+.(12分) 选做题: 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题满分10分)选修4—4: 坐标系与参数方程 (Ⅰ)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,求圆x2+y2-x=0的参数方程; (Ⅱ)在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(s为参数),曲线C的参数方程为(t为参数),若l与C相交于A,B两点,求AB的长. 【解析】(Ⅰ)圆的半径为,记圆心为C,连结CP,则∠PCx=2θ,故xP=+cos2θ=cos2θ, yP=sin2θ=sinθcosθ(θ为参数). 所以圆的参数方程为(θ为参数).(5分) (Ⅱ)直线l的普通方程为x+y=2,曲线C的普通方程为y=(x-2)2(y≥0), 联立两方程得x2-3x+2=0,求得两交点坐标为(1,1),(2,0),所以AB=.(10分) (23)(本小题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值. 【解析】(Ⅰ)当a=2时,f(x)≥3x+2可化为|x-2|≥2, 由此可得x≥4或x≤0.(4分) (Ⅱ)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0, 此不等式化为不等式组或 即或 又a>0,所以不等式组的解集为. 由题设可得-=-1,故a=2.(10分)
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