热力学统计物理习题.docx
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热力学统计物理习题
1.2证明任何一种具有两个独立参量的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数,根据下述积分求得:
如果,试求物态方程。
解:
以为自变量,物质的物态方程为
其全微分为
(1)
全式除以,有
根据体胀系数和等温压缩系数的定义,可将上式改写为
(2)
上式是以为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有
(3)
若,式(3)可表为
(4)
选择图示的积分路线,从积分到,再积分到(),相应地体
积由最终变到,有
即
(常量),
或
(5)
式(5)就是由所给求得的物态方程。
确定常量C需要进一步的实验数据。
1.3在和1下,测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量,今使铜块加热至。
问:
(a)压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变?
(b)若压强增加100,铜块的体积改变多少?
解:
(a)根据1.2题式
(2),有
(1)
上式给出,在邻近的两个平衡态,系统的体积差,温度差和压强差之间的关系。
如果系统的体积不变,与的关系为
(2)
在和可以看作常量的情形下,将式
(2)积分可得
(3)
将式
(2)积分得到式(3)首先意味着,经准静态等容过程后,系统在初态和终态的压强差和温度差满足式(3)。
但是应当强调,只要初态和终态是平衡态,两态间的压强差和温度差就满足式(3)。
这是因为,平衡状态的状态参量给定后,状态函数就具有确定值,与系统到达该状态的历史无关。
本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。
在加热过程中,铜块各处的温度可以不等,铜块与热源可以存在温差等等,但是只要铜块的初态和终态是平衡态,两态的压强和温度差就满足式(3)。
将所给数据代入,可得
因此,将铜块由加热到,要使铜块体积保持不变,压强要增强
(b)1.2题式(4)可改写为
(4)
将所给数据代入,有
因此,将铜块由加热至,压强由增加,铜块体积将增加原体积的倍。
1.12假设理想气体的是温度的函数,试求在准静态绝热过程中的关系,该关系式中要用到一个函数,其表达式为
解:
根据式(,理想气体在准静态绝热过程中满足
(1)
用物态方程除上式,第一项用除,第二项用除,可得
(2)
利用式(,
可将式
(2)改定为
(3)
将上式积分,如果是温度的函数,定义
(4)
可得
(常量), (5)
或
(常量)。
(6)
式(6)给出当是温度的函数时,理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解:
假设在图中两条绝热线交于点,如图所示。
设想一等温线与
两条绝热线分别交于点和点(因为等温线的斜率小于绝热线的斜率,这样的等温线总是存在的),则在循环过程中,系统在等温过程中从外界吸取热量,而在循环过程中对外做功,其数值等于三条线所围面积(正值)。
循环过程完成后,系统回到原来的状态。
根据热力学第一定律,有
。
这样一来,系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了,
这违背了热力学第二定律的开尔文说法,是不可能的。
因此两条绝热线不可能相交。
1.15热机在循环中与多个热源交换热量,在热机从其中吸收热量的热源中,热源的最高温度为,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度
为,试根据克氏不等式证明,热机的效率不超过
解:
根据克劳修斯不等式(式(,有
(1)
式中是热机从温度为的热源吸取的热量(吸热为正,放热为负)。
将热量重新定义,可将式
(1)改写为
(2)
式中是热机从热源吸取的热量,是热机在热源放出的热量,,恒正。
将式
(2)改写为
(3)
假设热机从其中吸取热量的热源中,热源的最高温度为,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度为,必有
故由式(3)得
(4)
定义为热机在过程中吸取的总热量,为热机放出的总热量,则式(4)可表为
(5)
或
(6)
根据热力学第一定律,热机在循环过程中所做的功为
热机的效率为
(7)
1.1810A的电流通过一个的电阻器,历时1s。
(a)若电阻器保持为室温,试求电阻器的熵增加值。
(b)若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为,电阻器的质量为10g,比热容为问电阻器的熵增加值为多少?
解:
(a)以为电阻器的状态参量。
设想过程是在大气压下进行的,如果电阻器的温度也保持为室温不变,则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
(b)如果电阻器被绝热壳包装起来,电流产生的焦耳热将全部被电阻器吸收而使其温度由升为,所以有
故
电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出,为
2.2 设一物质的物态方程具有以下形式:
试证明其内能与体积无关.
解:
根据题设,物质的物态方程具有以下形式:
(1)
故有
(2)
但根据式(,有
(3)
所以
(4)
这就是说,如果物质具有形式为
(1)的物态方程,则物质的内能与体积无关,只是温度T的函数.
2.3 求证:
解:
焓的全微分为
(1)
令,得
(2)
内能的全微分为
(3)
令,得
(4)
2.4 已知,求证
解:
对复合函数
(1)
求偏导数,有
(2)
如果,即有
(3)
式
(2)也可以用雅可比行列式证明:
(2)
2.7 实验发现,一气体的压强与体积V的乘积以及内能U都只是温度的函数,即
试根据热力学理论,讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.
解:
根据题设,气体具有下述特性:
(1)
(2)
由式(,有
(3)
而由式
(1)可得
(4)
将式(4)代入式(3),有
或
(5)
积分得
或
(6)
式中C是常量.因此,如果气体具有式
(1),
(2)所表达的特性,由热力学理论知其物态方程必具有式(6)的形式.确定常量C需要进一步的实验结果.
2.12 一弹簧在恒温下的恢复力与其伸长成正比,即,比例系数是温度的函数.今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能,熵和内能的表达式分别为
解:
在准静态过程中,对弹簧施加的外力与弹簧的恢复力大小相等,方向相反.当弹簧的长度有的改变时,外力所做的功为
(1)
根据式(,弹簧的热力学基本方程为
(2)
弹簧的自由能定义为
其全微分为
将胡克定律代入,有
(3)
因此
在固定温度下将上式积分,得
(4)
其中是温度为,伸长为零时弹簧的自由能.
弹簧的熵为
(5)
弹簧的内能为
(6)
在力学中通常将弹簧的势能记为
没有考虑是温度的函数.根据热力学,是在等温过程中外界所做的功,是自由能.
3.3 试由及证明及
解:
式(
(1)
稳定性条件(
(2)
其中第二个不等式也可表为
(3)
故式
(1)右方不可能取负值.由此可知
(4)
第二步用了式
(2)的第一式.
根据式(,有
(5)
因为恒正,且,故
(6)
第二步用了式
(2)的第二式.
3.4 求证:
(a) (b)
解:
(a)由自由能的全微分(式(
(1)
及偏导数求导次序的可交换性,易得
(2)
这是开系的一个麦氏关系.
(a)类似地,由吉布斯函数的全微分(式(
(3)
可得
(4)
这也是开系的一个麦氏关系.
3.5 求证:
解:
自由能是以为自变量的特性函数,求对的偏导数(不变),有
(1)
但由自由能的全微分
可得
(2)
代入式
(1),即有
(3)
3.6 两相共存时,两相系统的定压热容量,体胀系数和等温压缩系数均趋于无穷,试加以说明.
解:
我们知道,两相平衡共存时,两相的温度、压强和化学势必须相等.如果在平衡压强下,令两相系统准静态地从外界吸取热量,物质将从比熵较低的相准静态地转移到比熵较高的相,过程中温度保持为平衡温度不变.两相系统吸取热量而温度不变表明它的(定压)热容量趋于无穷.在上述过程中两相系统的体积也将发生变化而温度保持不变,说明两相系统的体胀系
数也趋于无穷.如果在平衡温度下,以略高(相差无穷小)于平衡
压强的压强准静态地施加于两相系统,物质将准静态地从比容较高的相转移到比容较低的相,使两相系统的体积发生改变.无穷小的压强导致有限的体
积变化说明,两相系统的等温压缩系数也趋于无穷.
3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为
如果一相是气相,可看作理想气体,另一相是凝聚相,试将公式化简.
解:
发生相变物质由一相转变到另一相时,其摩尔内能、摩尔焓和摩尔体积的改变满足
(1)
平衡相变是在确定的温度和压强下发生的,相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量,即相变潜热L:
克拉珀龙方程(式(
(3)
即
(4)
将式
(2)和式(4)代入
(1),即有
(5)
如果一相是气体,可以看作理想气体,另一相是凝聚相,其摩尔体积远小于气相的摩尔体积,则克拉珀龙方程简化为
(6)
式(5)简化为
(7)
3.12 蒸气与液相达到平衡.以表示在维持两相平衡的条件下,蒸气体积随温度的变化率.试证明蒸气的两相平衡膨胀系数为
解:
蒸气的两相平衡膨胀系数为
(1)
将蒸气看作理想气体,,则有
(2)
在克拉珀龙方程中略去液相的摩尔体积,因而有
(3)
将式
(2)和式(3)代入式
(1),即有
(4)
6.1试根据式(,在到的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为
解:
式(,在体积内,在到到到的动量范围内,自由粒子可能的量子态数为
(1)
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,可得在体积V内,动量大小在到范围内三维自由粒子可能的量子态数为
(2)
上式可以理解为将空间体积元(体积V,动量球壳)除以相格大小而得到的状态数.
自由粒子的能量动量关系为
因此
将上式代入式
(2),即得在体积V内,在到的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为
(3)
6.2试证明,对于一维自由粒子,在长度L内,在到的能量范围内,量子态数为
解:
根据式(,一维自由粒子在空间体积元内可能的量子态数为
在长度L内,动量大小在到范围内(注意动量可以有正负两个可能的方向)的量子态数为
(1)
将能量动量关系
代入,即得
(2)
6.3试证明,对于二维的自由粒子,在面积内,在到的能量范围内,量子态数为
解:
根据式(,二维自由粒子在空间体积元内的量子态数为
(1)
用二维动量空间的极坐标描述粒子的动量,与的关系为
用极坐标描述时,二维动量空间的体积元为
在面积内,动量大小在到范围内,动量方向在到范围内,二维自由粒子可能的状态数为
(2)
对积分,从0积分到,有
可得在面积内,动量大小在到范围内(动量方向任意),二维自由粒子可能的状态数为
(3)
将能量动量关系
代入,即有
(4)
6.4在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系为
试求在体积V内,在到的能量范围内三维粒子的量子态数.
解:
式(,动量大小在到范围内三维自由粒子可能的状态数为
(1)
将极端相对论粒子的能量动量关系
代入,可得在体积V内,在到的能量范围内,极端相对论粒子的量子态数为
(2)
7.1试根据公式证明,对于非相对论粒子
有
上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
解:
处在边长为L的立方体中,非相对论粒子
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