中考数学题型专项训练十圆的有关证明与计算.docx
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中考数学题型专项训练十圆的有关证明与计算
题型专项(十) 圆的有关证明与计算
圆的证明与计算是中考的必考内容之一,占有较大的比重,通常结合三角形、四边形等知识综合考查,以计算、证明的形式出现.解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质,特别是切线的性质与判定,利用圆的性质求线段长、角度或阴影部分的面积等.复习时应加以重视,在掌握解题方法的前提下,也要加大练习量.
【例】(2017·云南T23·12分)已知AB是⊙O的直径,PB是⊙O的切线,C是⊙O上的点,AC∥OP,M是直径AB上的动点.A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)设OP=AC,求∠CPO的正弦值;
(3)设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.
解:
(1)证明:
连接OC.
∵AC∥OP,
∴∠CAO=∠POB,∠ACO=∠COP.
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO.
∴∠POB=∠POC.2分
在△POB和△POC中,
∴△POB≌△POC(SAS).∴∠PBO=∠PCO.
∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°.
∴∠OCP=90°,即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径,
∴PC是⊙O的切线.4分
(2)连接BC.
∵AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,
∴∠ACB=90°.
在△ACB和△OCP中,
由
(1)知∠CAB=∠ACO=∠COP,∠ACB=∠OCP=90°.
∴△ACB∽△OCP.∴=.
设⊙O的半径为r,则AB=2r,OC=r,
∵OP=AC,∴AC=OP.
∴=,解得OP=r.6分
在Rt△OCP中,sin∠CPO===.
∴∠CPO的正弦值等于.8分
(3)∵A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f,
∴A到直线CM的距离为d,B到直线CM的距离为f.
在△ACB中,∵∠ACB=90°,AC=9,AB=15,
∴BC===12.
设△ABC的面积为S,△AMC的面积为S1,△BMC的面积为S2,则S=S1+S2,
即CM·d+CM·f=AC·BC=×9×12=54.
∴d+f=.9分
过点C作CH⊥AB,垂足为H,则
S=AC·BC=AB·CH,
∴CH===.
当M运动到H点时,CM最小,即CM的最小值为;10分
当M自H向A点运动时,由CM=,得CM逐渐增大,最大时为CA.
当M自H向B点运动时,由CM=,得CM也逐渐增大,最大时为CB.
∵AC=9,BC=12,
∴CM的最大值为BC,即CM的最大值为12.11分
∴≤CM≤12.∴9≤≤15.
∴d+f的取值范围为9≤d+f≤15.12分
1.解决圆的相关问题,正确作出辅助线是解题的关键.
2.已知一条直线是圆的切线,则连接过切点的半径可得垂直.
3.证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种:
(1)当直线和圆有一公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”;
(2)当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”.
4.求阴影部分的面积经常使用割补法等转化的方法将阴影部分转化为几个容易求出面积的图形(如扇形、三角形等)的和差.
类型1 与圆的基本性质有关的证明与计算
1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,OF⊥AC于点F.
(1)请探索OF和BC的关系,并说明理由;
(2)若∠D=30°,BC=1时,求圆中阴影部分的面积.(结果保留π)
解:
(1)OF∥BC,OF=BC.
理由:
由垂径定理,得AF=CF.
∵AO=BO,
∴OF是△ABC的中位线.
∴OF∥BC,OF=BC.
(2)连接OC.由
(1)知OF=.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠D=30°,∴∠A=30°.
∴AB=2BC=2.∴AC=.
∴S△AOC=AC·OF=.
∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=30°.
∴∠AOC=120°.
∴S扇形AOC==.
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=-.
2.(2018·昆明一中模拟)已知:
如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.
(1)求证:
∠DAC=∠DBA;
(2)求证:
P是线段AF的中点;
(3)若⊙O的半径为5,AD=6,求tan∠ABD的值.
解:
(1)证明:
∵BD平分∠CBA,
∴∠CBD=∠DBA.
∵=,
∴∠DAC=∠CBD.
∴∠DAC=∠DBA.
(2)证明:
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵DE⊥AB于点E,
∴∠DEB=90°.
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°.
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP.
∴PD=PA.
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,
且∠DAP=∠ADE,
∴∠PDF=∠PFD.
∴PD=PF.
∴PA=PF,即P是AF的中点.
(3)由题意可知AB=10,且AD=6.
∴DB=8.
在Rt△ABD中,
tan∠ABD===,
即tan∠ABD=.
类型2 与圆的切线有关的证明与计算
3.(2018·曲靖罗平县三模)如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
证明:
(1)连接OC.
∵CD=AC,
∴∠CAD=∠D.
又∵∠ACD=120°,
∴∠CAD=(180°-∠ACD)=30°.
∵OC=OA,∴∠A=∠ACO=30°.∴∠COD=60°.
又∵∠D=30°,
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°.
∵OC为⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)由
(1)知∠COD=60°.
∴S扇形OBC==π.
在Rt△OCD中,CD=OC·tan60°=2,
∴SRt△OCD=OC·CD=×2×2=2.
∴图中阴影部分的面积为2-π.
4.(2018·昆明五华区二模)如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:
直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,BC=2,求cos∠CBF.
解:
(1)证明:
连接AE,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°.
∴AE⊥BC.
∵AB=AC,
∴BE=CE,AE平分∠BAC.
∴∠BAE=∠BAC.
∵∠CBF=∠CAB.
∴∠BAE=∠CBF.
∵∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠ABE+∠CBF=90°,
即∠ABF=90°.
∴AB⊥BF.
又∵AB为⊙O的直径.
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)在Rt△ABE中,BE=BC=,
AE===2,
∴cos∠BAE==.
∴cos∠CBF=.
5.(2014·曲靖)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,AC是⊙O的直径,AC,PB的延长线交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数;
(2)当∠1等于多少度时,OP=OD,并说明理由.
解:
(1)∵PA是⊙O的切线,∴∠PAO=90°.
∴∠BAP=90°-∠1=70°.
又∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB.
∴∠BAP=∠ABP=70°.
∴∠APB=180°-70°×2=40°.
(2)当∠1=30°时,OP=OD.
理由如下:
当∠1=30°时,
由
(1)知∠BAP=∠ABP=60°,
∴∠APB=180°-60°×2=60°.
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴∠OPB=∠APB=30°.
又∵∠D=∠ABP-∠1=60°-30°=30°,
∴∠OPB=∠D.
∴OP=OD.
6.(2018·昆明五华区一模)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,O是边AC上一点,以O为圆心,OA为半径的圆分别交AB,AC于点E,D,在BC的延长线上取点F,连接EF交AC于点G.
(1)若BF=EF,试判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若OA=2,∠A=30°,求弧DE的长.
解:
(1)直线EF与⊙O相切,理由:
连接OE,
∵OA=OE,
∴∠A=∠AEO.
∵BF=EF,∴∠B=∠BEF.
∵∠ACB=90°.
∴∠A+∠B=90°.
∴∠AEO+∠BEF=90°.
∴∠OEG=90°,
又∵OE为⊙O的半径,∴EF是⊙O的切线.
(2)∵AD是⊙O的直径,∴∠AED=90°.
∵∠A=30°,∴∠EOD=60°.
∵AO=2,∴OE=2.
∴==π.
7.(2018·云南模拟)如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PB,AB,∠PBA=∠C.
(1)求证:
PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为2,求BC的长.
解:
(1)证明:
连接OB.
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°.
∴∠C+∠BAC=90°.
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠OBA.
∵∠PBA=∠C,
∴∠PBA+∠OBA=90°,即PB⊥OB.
又∵OB为⊙O的半径,
∴PB是⊙O的切线.
(2)∵⊙O的半径为2,∴OB=2,AC=4.
∵OP∥BC,∴∠C=∠CBO=∠BOP.
又∵∠ABC=∠PBO=90°,
∴△ABC∽△PBO.
∴=,即=.解得BC=2.
8.(2018·曲靖一模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC边于点D,连接AD,过D作AC的垂线,交AC边于点E,交AB边的延长线于点F.
(1)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)若∠F=30°,BF=3,求的长.
解:
(1)证明:
连接OD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
即AD⊥BC.又∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC,
BD=CD=BC.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∴∠ODA=∠CAD.∴OD∥AC.
∵EF⊥AC,∴OD⊥EF.
又∵OD为⊙O的半径,∴EF是⊙O的切线.
(2)∵OD⊥DF,∴∠ODF=90°.
∵∠F=30°,∴OF=2OD,即OB+3=2OD=2OB.
∴OB=3.
∵∠AOD=∠ODF+∠F=90°+30°=120°,
∴==2π.
9.(2017·曲靖模拟1)如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.
(1)求证:
AC平分∠BAD;
(2)若CD=3,AC=3,求⊙O的半径长.
解:
(1)证明:
连接OC.
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO.
∵CD切⊙O于点C,
∴CO⊥CD.
又∵AD⊥CD,∴AD∥CO.
∴∠DAC=∠ACO.
∴∠DAC=∠CAO.
∴AC平分∠BAD.
(2)过点O作OE⊥AC于点E,
∵CD=3,AC=3,∴AD==6.
∵OE⊥AC,∴AE=AC=.
∵∠CAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=90°,
∴△AEO∽△ADC.∴=,即=.
∴AO=,即⊙O的半径长为.
10.(2018·天津)已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.
(1)如图1,若D为的中点,求∠ABC和∠ABD的大小;
(2)如图2,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.
解:
(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°
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