16届江苏省南通市高三高考最后一练数学试题.docx
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16届江苏省南通市高三高考最后一练数学试题
2016届江苏省南通市高三高考最后一练数学试题
2016届江苏省南通市高三高考最后一练数学试题 一、填空题 1、已知集合A?
{1,2,3},B?
{m,3,6},A?
B?
{2,3},则实数m的值为 .2、设复数z?
a?
bi(a,b?
R,i是虚数单位),若z(2?
i)?
i,则a?
b的值为 .3、下图是一个算法流程图,当输入的x的值为?
2时,则输出的y的值为 . 4、用2种不同的颜色给右图中的3个圆随机涂色,每个圆只涂1种颜色,则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为 . 5、用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本,将480名学生随机地编号为1~480,按编号顺序平均分为20个组.若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为 . ?
2x?
y?
1?
6、设不等式组?
x?
y?
2,表示的平面区域为D,P(x,y)是区域D内任意一点,则3x?
y的最大值 ?
y?
0?
为 . 7、已知一个正四棱锥的底面边长为2,侧棱与底面所成的角为60?
,则该棱锥的体积为 .8、在平面直角坐标系xOy中,角?
的终边经过点P(?
2,t),且sin?
?
cos?
?
x5,则实数t的值为 .59、已知一元二次不等式f(x)?
0的解集为(?
?
1)?
(2,?
?
),则不等式f(3)?
0的解集为 .10、在平面直角坐标系xOy中,已知圆(x?
a)?
(y?
b)?
1(a,b?
R)截直线x?
2y?
1?
0所得的弦长为 2245,则ab的最大值为 .5页 1第 11、设直线l是曲线y?
4x3?
3lnx的切线,则直线l的斜率的最小值为 .12、在平行四边形ABCD中,已知AB?
2,AC?
则AP?
AQ的值为 . 13、在平面直角坐标系xOy中,已知A(cos?
sin?
),B(cos?
sin?
)是直线y?
3x?
2上的两点,则 7,AD?
1.若点P,Q满足AC?
3AP,BD?
4PQ, tan(?
?
?
)的值为 . 14、已知函数f(x)?
|x?
a|?
为 . 3?
a?
2有且仅有三个零点,且它们成等差数列,则实数a的取值集合x二、解答题 15、 在?
ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A?
B,cosC?
求cos2A的值;若c?
15,求a的值. 16、 如图,在四棱锥P?
ABCD中,?
ACD是正三角形,BD垂直平分AC,垂足为M,?
ABC?
120?
, 53,cos(A?
B)?
.135PA?
AB?
1,PD?
2,N为PD的中点. 求证:
AD?
平面PAB;求证:
CN//平面PAB. 17、 某市2015年新建住房面积为500万m2,其中安置房面积为200万m2.计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%,且安置房面积比上一年增加50万m2.记2015年为第1年.该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万m2?
是否存在连续两年,每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变?
并说明理. 页 2第 18、 x2y21在平面直角坐标系xOy中,已知A,B分别是椭圆2?
2?
1(a?
b?
0)的上、下顶点,点M(0,)为线段 2abAO的中点,AB?
2a. 求椭圆的方程; 设N(t,2),直线NA,NB分别交椭圆于点P,Q,直线NA,NB,PQ的斜率分别为k1,k2,k3.①求证:
P,M,Q三点共线;②求证:
k1k3?
k2k3?
k1k2为定值. 19、 已知数列{an}的首项为2,前n项的和为Sn,且求a2的值;设bn?
112.?
?
anan?
14Sn?
1an,求数列{bn}的通项公式; an?
1?
an?
2若am,ap,ar(m,p,r?
N,m?
p?
r)成等比数列,试比较p与mr的大小,并证明. 20、 已知函数f(x)?
e?
ex,g(x)?
2ax?
a,其中e为自然对数的底数,a?
R.求证:
f(x)?
0; 若存在x0?
R,使f(x0)?
g(x0),求a的取值范围;若对任意的x?
(?
?
?
1),f(x)?
g(x)恒成立,求a的最小值. 页 3第 x21、选做题 A.【选修4—1:
几何证明选讲】 如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,BC?
BD,BA的延长线交CD的延长线于点E.求证:
AE是四边形ABCD的外角?
DAF的平分线. B.【选修4—2:
矩阵与变换】 ?
x?
?
x’?
?
x?
2y?
?
1已知变换T:
?
?
?
?
?
?
?
,试写出变换T对应的矩阵A,并求出其逆矩阵A.?
?
y?
?
y’?
?
y?
C.【选修4—4:
坐标系与参数方程】 3?
22?
x?
?
t?
?
x?
m2在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为?
,曲线C的参数方程为?
3?
y?
3t?
?
y?
2m?
.若直线l与曲线C相交于A,B两点,求线段AB的长. D.【选修4—5:
不等式选讲】 已知关于x的不等式x2?
ax?
b?
0的解集为(1,2),其中a,b?
R,求函数 f(x)?
(a?
1)x?
3?
(b?
1)4?
x的最大值. 【必做题】 22、 已知正六棱锥S?
ABCDEF的底面边长为2,高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形,设随机变量X表示所得三角形的面积.求概率P(X?
3)的值; 求X的分布列,并求其数学期望E(X). 23、 页 4第 已知(2?
1)?
m2xm?
ym,其中m,xm,ym?
N?
. 求证:
ym为奇数; 定义:
[x]表示不超过实数x的最大整数.已知数列{an}的通项公式为an?
[2n].求证:
存在{an}的无穷子数列{bn},使得对任意的正整数n,均有bn除以4的余数为1. 高三练习卷参考答案 一、填空题:
1、22、 23113、?
74、5、756、67、8、4 34595?
33311911、9 12、13、?
314、{?
} 582369、[0,log32]10、 二、解答题:
15、解:
在?
ABC中,A?
B?
C?
?
,所以A?
B?
?
?
C,所以 cos(A?
B)?
cos(?
?
C)?
?
cosC?
?
25.132因为0?
A?
B?
?
,sin(A?
B)?
cos(A?
B)?
1, 2所以sin(A?
B)?
1?
cos(A?
B)?
1?
(?
5212)?
.131332432,得sin(A?
B)?
1?
cos(A?
B)?
1?
()?
. 555因为A?
B,所以0?
A?
B?
?
,cos(A?
B)?
所以cos2A?
cos[(A?
B)?
(A?
B)]?
cos(A?
B)cos(A?
B)?
sin(A?
B)sin(A?
B) ?
(?
5312463)?
?
?
?
?
.13513565cos2A?
1?
2sin2A?
?
86364,得sin2A?
,因为0?
A?
?
,所以sinA?
,656565因为c?
15,正弦定理 csinAac?
得:
a?
?
sinCsinAsinC15?
12865?
265. 16、因为BD垂直平分AC,所以BA?
BC,在?
ABC中,因为?
ABC?
120?
,所以?
BAC?
30?
, 页 5第
因为AB,AP?
平面PAB,AB?
AP?
A, 所以AD?
平面PAB. 取AD的中点H,连结CH,NH 因为N为PD的中点,所以HN//PA,因为PA?
平面PAB,HN?
平面PAB,所以HN//平面PAB. ?
ACD是正三角形,H为AD的中点,所以CH?
AD,知,BA?
AD,所以CH//BA,因为BA?
平面PAB,CH?
平面PAB,所以CH//平面PAB. 因为CH,HN?
平面CNH,CH?
HN?
H,所以平面CNH//平面PAB.因为CN?
平面CNH,所以CN//平面PAB. 取PA的中点S,过C作CT//AD交AB的延长线于T,连结ST,SN.因为N为PD的中点,所以SN//AD,且SN?
1AD,因为CT//AD,所以CT//SN.2知,AB?
AD,所以CT?
AT,在直角?
CBT中,BC?
1,?
CBT?
60?
得CT?
3.21AD,所以CT?
SN.2所以四边形SNCT是平行四边形,所以CN//TS. 因为TS?
平面PAB,CN?
平面PAB,所以CN//平面PAB. 知AD?
3,所以CT?
17、设n年内所建安置房面积之和首次不低于3000万m2,依题意,每年新建安置房是以200为首项,50为公差的等差数列,从而n年内所建安置房面积之和为[200n?
n(n?
1)?
50]m2,则2200n?
n(n?
1)?
50?
3000,整理得n2?
7n?
120?
0,解得n?
8.2答:
8年内所建住房面积之和首次不低于3000万m2. 依题意,每年新建住房面积是以500为首项,200为首项,为公比的等比数列,设第m年所建安 页 6第 置房面积占新建住房面积的比为p(m), 则p(m)?
200?
50(m?
1)m?
3m?
3m?
4,得,,解得m?
7.?
?
p(m)?
p(m?
1)m?
1m?
1m?
1m500?
(1?
)10?
?
?
答:
第7年和第8年,所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变. x2118、解:
题意知,2b?
4(b?
)?
2a,解得a?
2,b?
1,所以椭圆的方程为?
y2?
1. 22证:
①N(t,2),A(0,1),B(0,?
1),则直线NA的方程为y?
13x?
1,直线NB的方程为y?
x?
1, tt4t?
1x?
?
?
?
4tt2?
2?
t2?
2?
y?
x?
1?
得?
,故P(?
2,2)t2 t?
2t?
2t?
2?
x2?
2y2?
2?
y?
?
?
t2?
2?
12t?
x?
3?
?
12t18?
t2?
t2?
18?
y?
x?
1?
得?
,故Q(2,2)t2t?
18t?
18?
x2?
2y2?
2?
y?
18?
t?
?
t2?
18?
t2?
21?
26?
t22t?
2?
所以直线PM的斜率kPM?
,4t8t?
2t?
218?
t21?
26?
t2t?
182?
直线PM的斜率kQM?
,12t8t2t?
18所以kPM?
kQM,故P,M,Q三点共线. 116?
t246?
t231②①知,k1?
k2?
k3?
,所以k1k3?
k2k3?
k1k2?
?
?
2?
?
,所以 t3t8tt8t2tk1k3?
k2k3?
k1k2为定值?
19、易得a2?
1.214.3a?
an2an?
1an1122,得n?
1,所以4Sn?
1?
①?
?
?
anan?
14Sn?
1an?
1an4Sn?
1an?
1?
an2an?
2an?
12an?
2an?
12an?
1an②,②-①,得2an?
1?
,因为an?
1?
0,所以?
an?
2?
an?
1an?
2?
an?
1an?
1?
an7第 所以4Sn?
1?
页 2?
an?
2anan?
1anan?
1an,所以1?
?
?
?
2,即?
?
1,即 an?
2?
an?
1an?
1?
anan?
2?
an?
1an?
1?
anan?
2?
an?
1an?
1?
anbn?
1?
bn?
1,所以数列{bn}是公差为1的等差数列. 因为b1?
1a13?
,所以数列{bn}的通项公式为bn?
n?
. 4a2?
a14(3)知, an?
1aan1a14n?
3,所以?
n,所以数列?
n?
,所以n?
1?
?
1?
1an?
1?
an44(n?
1)?
14n?
1an4n?
1n?
4an}是常数列.4n?
1a122?
,所以an?
(4n?
1).4?
1?
133{(方法一)am,ap,ar(m,p,r?
N,m?
p?
r)成等比数列,则4m?
1,4p?
1,4r?
1成等比数列,所以 22所以16p?
8p?
16mr?
4(m?
r)?
0,即4p?
2p?
4mr?
(m?
r)?
0(4p?
1)2?
(4m?
1)(4r?
1), ?
式即为4p2?
2p?
4mr?
(m?
r)?
4mr?
2mr,所以(2p?
)2?
(2mr?
)2,即 12122p?
11?
2mr?
,所以p?
mr,即p2?
mr.224p2?
2p?
r式即为m?
. 4r?
14p2?
2p?
r(4p2?
2p?
r)r?
(4r?
1)p2(p?
r)22mr?
p?
?
r?
p?
?
?
0, 4r?
14r?
14r?
12所以p?
mr. am,ap,ar(m,p,r?
N,m?
p?
r)成等比数列,则4m?
1,4p?
1,4r?
1成等比数列,记 ?
24m?
?
4p?
?
4r?
?
(1?
?
?
?
?
?
),则有?
?
1,?
?
1,?
?
1成等比数列,所以(?
?
1)2?
(?
?
1)(?
?
1), 即?
?
2?
?
?
?
?
(?
?
?
), 若?
?
?
?
,即p?
mr时,则?
?
?
?
2?
,所以?
?
?
?
?
,矛盾;若?
?
?
?
,则2?
?
(?
?
?
)?
?
?
?
?
?
0,所以?
?
2221(?
?
?
)?
1,所以2?
?
?
21(?
2?
?
)?
[?
?
?
(?
?
?
)]?
()?
(?
?
?
)?
?
[?
?
?
(?
?
?
)]?
(?
?
?
)2?
0,矛盾. 242222所以?
?
?
?
,即p?
mr. 20、解:
令f’(x)?
e?
e?
0,得x?
1,且当x?
1时,f’(x)?
0;当x?
1时,f’(x)?
0,所以 页 8第 x函数f(x)在(?
?
1)上单调递减,在(1,?
?
)上单调递增,所以函数f(x)在x?
1处取得最小值.因为 f
(1)?
0,所以f(x)?
0. 设F(x)?
ex?
ex?
2ax?
a,题设等价于函数F(x)有零点时的a的取值范围.①当a?
0时,F(x)?
?
3a?
0,F(?
1)?
e?
1?
e?
a?
0,所以F(x)有零点.②当?
e?
a?
0时,2若x?
0,e?
2a?
0,得F(x)?
ex?
(e?
2a)x?
a?
0;若x?
0,知,F(x)?
?
a(2x?
1)?
0,所以F(x)无零点.③当a?
?
零点. 综上,a的取值范围是a?
?
xe1?
a时,F(0)?
1?
a?
0,又存在x0?
?
0,F(x0)?
1?
(e?
2a)x0?
a?
0,所以F(x)有2e?
2ae或a?
0.2ex?
ex题意,a(2x?
1)?
e?
ex,因为x?
?
1,所以a?
. 2x?
1ex?
ex设G(x)?
(x?
?
1),其值域为A, 2x?
1eee?
exe2?
0,所以G(x)?
?
e.于G(x)?
(?
)?
?
?
22x?
122x?
12xex?
2xex?
ex?
e1?
0又G’(x)?
,所以在上为减函数,所以,记区间G(x)?
G(?
1)?
?
e?
G(x)(?
?
?
1)(2x?
1)2e1e(?
e?
?
)?
B,则A?
B.① e2设函数H(x)?
G(x)?
m,m?
B,一方面,H(?
1)?
?
e?
另一方面,H(x)?
1m?
0;e11[ex?
ex?
m(2x?
1)]?
[(ex?
1)?
(e?
2m)x?
1?
m],2x?
12x?
1551存在?
?
1,H()?
?
[(ex?
1)?
m?
4]?
0 102m?
e2m?
e?
12m?
e5所以?
x1?
(,?
1),使H(x1)?
0,即G(x1)?
m,所以B?
A.② 2m?
e①,②知,A?
B, 页9第 从而a?
?
ee,即a的最小值为?
.2221、选做题 A、证明:
因为ABCD是圆的内接四边形,所以?
DAE?
?
BCD,?
FAE?
?
BAC?
?
BDC.因为BC?
BD,所以?
BCD?
?
BDC,所以?
DAE?
?
FAE,所以AE是四边形ABCD的外角?
DAF的平分线. ?
x?
?
x’?
?
1B、解:
?
?
?
?
?
?
?
?
y?
?
y’?
?
0d?
12?
?
x?
?
12?
?
y?
,得A?
?
01?
.1?
?
?
?
?
?
d?
ab?
?
12?
?
ab?
?
a?
2cb?
2d?
?
10?
?
1设A?
?
?
,则AA?
?
01?
?
cd?
?
?
c?
?
?
01?
, cdd?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?
2c?
1?
a?
1?
b?
2d?
0?
b?
?
2?
1?
2?
?
?
?
1所以?
,解得?
,所以A?
?
?
. c?
0c?
001?
?
?
?
?
?
?
d?
1?
d?
13?
22?
x?
?
t3?
?
x?
m22消去参数t,得y?
3(x?
),?
C、解:
?
消去参数m,得y?
6x.32?
y?
3t?
?
y?
2m?
3?
y?
3(x?
)?
联立方程组?
2,消x得y2?
23y?
9?
0,解得y1?
33,y2?
?
3, ?
y2?
6x?
所以A(,33),B(,?
3),所以AB?
921291(?
)2?
(33?
3)2?
8.22D、因为不等式x2?
ax?
b?
0的解集为(1,2),所以可得a?
3,b?
2. 又函数f(x)?
(a?
1)x?
3?
(b?
1)4?
x?
2x?
3?
4?
x, 柯西不等式可得(2x?
3?
4?
x)2?
(22?
12)[(x?
3)2?
(4?
x)2]?
5,当且仅当2x?
3?
4?
x,即x?
16?
[3,4]时取等号,5页10第
所以,当x?
必做题:
16时,函数f(x)取得最大值5.5322、解:
从7个顶点中随机选取3个点构成三角形,共有C7其中X?
3的三角形如?
ABF,?
35种取法, 这类三角形共有6个.因此P(X?
3)?
66.?
3C735题意,X的可能取值为3,2,6,23,33.其中X?
3的三角形如?
ABF,这类三角形共有6个; 其中X?
2的三角形有两类,如?
PAD,?
PAB,共有9个;其中X?
6的三角形如?
PBD,这类三角形共有6个; 其中X?
23的三角形如?
CDF,这类三角形共有12个;其中X?
33的三角形如?
BDF,这类三角形共有2个;因此P(X?
3)?
696122,P(X?
2)?
,P(X?
6)?
,P(X?
23)?
,P(X?
33)?
.3535353535所以随机变量X的规律分布列为:
X32623331235235P(X)669353535所以数学期望 E(X)?
3?
696122363?
66?
18.?
2?
?
6?
?
23?
?
33?
?
353535353535m?
123、证明:
(2?
1)?
(xm2?
ym)(2?
1)?
(xm?
ym)2?
(2xm?
ym) 得ym?
1?
2xm?
ym,即ym?
1与ym同奇偶,而当m?
1时,y1?
1为奇数,所以ym均为奇数. 22222二项式定理可得:
(2?
1)?
xm2?
ym,所以2xm,所以?
ym?
1,即2xm?
1?
ym?
ym422222ym?
2xmym?
ym(ym?
1)?
(ym?
1)2, m从而有ym?
222xmym?
ym?
1, 2令n?
xmym,则bn?
[2n]?
[2xmym]?
ym,知,ym为奇数,所以bn除以4的余数均为1. 页 11第 页12第
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- 16 江苏省 南通市 三高 最后 数学试题
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