各地初三毕业升学考试数学压轴题精选.docx
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各地初三毕业升学考试数学压轴题精选
2012年各地初三毕业升学考试数学压轴题精选
【31.2012娄底】
24.已知二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)探究:
在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?
如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.
考点:
二次函数综合题。
分析:
(1)欲求抛物线的解析式,关键是求得m的值.根据题中所给关系式,利用一元二次方程根与系数的关系,可以求得m的值,从而问题得到解决.注意:
解答中求得两个m的值,需要进行检验,把不符合题意的m值舍去;
(2)利用平行四边形的性质构造全等三角形,根据全等关系求得P点的纵坐标,进而得到P点的横坐标,从而求得P点坐标.
解答:
解:
(1)∵二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1
令y=0,即x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0①,则有:
x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m.
∴===,
化简得到:
m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1.
当m=﹣2时,方程①为:
x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣4ac=﹣12<0,此时抛物线与x轴没有交点,不符合题意,舍去;
当m=1时,方程①为:
x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣4ac=9>0,此时抛物线与x轴有两个不同的交点,符合题意.
∴m=1,
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.
(2)假设在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形.
如图所示,连接PA.PB.AC.BC,过点P作PD⊥x轴于D点.
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,
∴A(﹣2,0),B(1,0),C(0,2),∴OB=1,OC=2.
∵PACB为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC,
∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB.
在Rt△PAD与Rt△CBO中,
∵,
∴Rt△PAD≌Rt△CBO,
∴PD=OC=2,即yP=2,
∴直线解析式为y=x+3,
∴xP=﹣1,
∴P(﹣1,2).
所以在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形,P点坐标为(﹣1,2).
点评:
本题是代数几何综合题,考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点、一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等方面的知识,涉及的考点较多,有一定的难度.
【32.2012福州】
22.(满分14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3)如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在
(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).
考点:
二次函数综合题.
分析:
(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可;
(2)根据已知条件可求出OB的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为:
y=x-m.由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标;
(3)综合利用几何变换和相似关系求解.
方法一:
翻折变换,将△NOB沿x轴翻折;
方法二:
旋转变换,将△NOB绕原点顺时针旋转90°.
特别注意求出P点坐标之后,该点关于直线y=-x的对称点也满足题意,即满足题意的P点有两个,避免漏解.
解答:
解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4).
∴9a+3b=016a+4b=4,解得:
a=1b=-3.
∴抛物线的解析式是y=x2-3x.
(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),
得:
4=4k1,解得k1=1.
∴直线OB的解析式为y=x.
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:
y=x-m.
∵点D在抛物线y=x2-3x上.
∴可设D(x,x2-3x).
又点D在直线y=x-m上,
∴x2-3x=x-m,即x2-4x+m=0.
∵抛物线与直线只有一个公共点,
∴△=16-4m=0,解得:
m=4.
此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2,
∴D点坐标为(2,-2).
(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3).
设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B(4,4),
∴4k2+3=4,解得:
k2=14.
∴直线A'B的解析式是y=14x+3.
∵∠NBO=∠ABO,
∴点N在直线A'B上,
∴设点N(n,14n+3),又点N在抛物线y=x2-3x上,
∴14n+3=n2-3n,
解得:
n1=-34,n2=4(不合题意,会去),
∴点N的坐标为(-34,4516).
方法一:
如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则N1(-34,-4516),B1(4,-4),
∴O、D、B1都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,
∴△P1OD∽△N1OB1,
∴OP1ON1=ODOB1=12,
∴点P1的坐标为(-38,-4532).
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(4532,38).
综上所述,点P的坐标是(-38,-4532)或(4532,38).
方法二:
如图2,将△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,
则N2(4516,34),B2(4,-4),
∴O、D、B2都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,
∴△P1OD∽△N2OB2,
∴OP1ON2=ODOB2=12,
∴点P1的坐标为(4532,38).
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(-38,-4532).
综上所述,点P的坐标是(-38,-4532)或(4532,38).
点评:
本题是基于二次函数的代数几何综合题,综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点.本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉,难度很大,对学生能力要求极高,具有良好的区分度,是一道非常好的中考压轴题.
【33.2012南昌】
27.如图,已知二次函数L1:
y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:
y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?
如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
考点:
二次函数综合题。
专题:
综合题。
分析:
(1)抛物线y=ax2+bx+c中:
a的值决定了抛物线的开口方向,a>0时,抛物线的开口向上;a<0时,抛物线的开口向下.
抛物线的对称轴方程:
x=﹣;顶点坐标:
(﹣,).
(2)①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得,因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析.
②联系直线和抛物线L2的解析式,先求出点E、F的坐标,进而可表示出EF的长,若该长度为定值,则线段EF的长不会发生变化.
解答:
解:
(1)抛物线y=x2﹣4x+3中,a=1、b=﹣4、c=3;
∴﹣=﹣=2,==﹣1;
∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,﹣1).
(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:
对称轴为x=2或定点的横坐标为2,
都经过A(1,0),B(3,0)两点;
②线段EF的长度不会发生变化.
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,
∴kx2﹣4kx+3k=8k,
∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8,
解得:
x1=﹣1,x2=5,∴EF=x2﹣x1=6,
∴线段EF的长度不会发生变化.
点评:
该题主要考查的是函数的基础知识,有:
二次函数的性质、函数图象交点坐标的解法等,难度不大,但需要熟练掌握.
【34.2012•恩施州】
24.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
考点:
二次函数综合题。
分析:
(1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式;
(2)根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′,当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小;
(3)需要分类讨论:
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3)和②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x﹣1),然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标;
(4)方法一:
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,如图1.设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3).根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2;最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣(x﹣)2+,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;
方法二:
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2.设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3).根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣(x﹣)2+,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;
解答:
解:
(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,
,
解得,
故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得
,
解得
故直线AC为y=x+1;
(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由
(1)得D(1,4),
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,
当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
则m=﹣×=;
(3)由
(1)、
(2)得D(1,4),B(1,2)
∵点E在直线AC上,
设E(x,x+1),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,
则F(x,x+3),
∵F在抛物线上,
∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得,x=0或x=1(舍去)
∴E(0,1);
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,
则F(x,x﹣1)
由F在抛物线上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=或x=
∴E(,)或(,)
综上,满足条件的点E为E(0,1)、(,)或(,);
(4)方法一:
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,如图1
设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)
∴PQ=(﹣x2+2x+3)﹣(x﹣1)
=﹣x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG
=(﹣x2+x+2)×3
=﹣(x﹣)2+
∴面积的最大值为.
方法二:
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2,
设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=(x+1)(﹣x2+2x+3)+(﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣×3×3
=﹣x2+x+3
=﹣(x﹣)2+
∴△APC的面积的最大值为.
点评:
本题考查了二次函数综合题.解答(3)题时,要对点E所在的位置进行分类讨论,以防漏解.
【35.2012•兰州】
28.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在
(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?
若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
考点:
二次函数综合题。
分析:
(1)根据抛物线y=经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出b,c即可;
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可.
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=时,求出y即可;
(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到ON=,进而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可.
解答:
解:
(1)∵抛物线y=经过点B(0,4)
∴c=4,
∵顶点在直线x=上,
∴;
∴所求函数关系式为;
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,
∴AB=,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,y=,
当x=2时,y=,
∴点C和点D都在所求抛物线上;
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,
则,
解得:
,
∴,
当x=时,y=,
∴P(),
(4)∵MN∥BD,
∴△OMN∽△OBD,
∴即得ON=,
设对称轴交x于点F,
则(PF+OM)•OF=(+t)×,
∵,
()×=,
S=(-),
=-(0
S存在最大值.
由S=-(t-)2+,
∴当S=时,S取最大值是,
此时,点M的坐标为(0,).
点评:
此题主要考查了二次函数的综合应用,以及菱形性质和待定系数法求解析式,求图形面积最值,利用二次函数的最值求出是解题关键.
【36.2012南通】
28.(本小题满分14分)
如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于点B(-0,0)和C,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y=12x2+bx+c向上平移72个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
【考点】二次函数综合题.
【专题】分类讨论.
【分析】
(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数,只需将A、B两点坐标代入即可得解.
(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式,进而用m表示出该函数的顶点坐标,将其代入直线AB、AC的解析式中,即可确定P在△ABC内时m的取值范围.
(3)先在OA上取点N,使得∠ONB=∠ACB,那么只需令∠NBA=∠OMB即可,显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例,先证△ABN、△AMB相似,然后通过相关比例线段求出AM的长.
【解答】解:
(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=12x2+bx+c中,得:
0+c=-412×4-2b+c=0,
解得:
b=-1c=-4
∴抛物线的解析式:
y=12x2-x-4.
(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:
y=12(x+m)2-(x+m)-4+72,
即:
y=12x2+(m-1)x+12m2-m-12;
它的顶点坐标P:
(1-m,-1);
由
(1)的抛物线解析式可得:
C(4,0);
那么直线AB:
y=-2x-4;直线AC:
y=x-4;
当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:
m=52;
当点P在直线AC上时,(1-m)-4=-1,解得:
m=-2;
∴当点P在△ABC内时,-2
又∵m>0,
∴符合条件的m的取值范围:
0
(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:
OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形;
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°;
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠ONB=∠OMB;
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得:
AB2=AN•AM1;
易得:
AB2=(-2)2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2;
∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6;
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,
∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2.
综上,AM的长为6或2.
【点评】考查了二次函数综合题,该函数综合题的难度较大,(3)题注意分类讨论,通过构建相似三角形是打开思路的关键所在.
【36.2012常德】
25、如图11,已知二次函数的图像过点A(-4,3),B(4,4).
(1)求二次函数的解析式:
(2)求证:
△ACB是直角三角形;
(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请
说明理由。
知识点考察:
①二次函数解析式的确定,
②勾股定理及其逆定理的应用,
③相似三角形的性质,
④坐标系中点的坐标的特征,
⑤抛物线与X轴的交点,⑥一元二次方程的解法,
⑦垂直的定义。
⑧二元一次方程组的解法。
能力考察:
①观察能力,②逻辑思维与推理能力,③书写表达能力,
④综合运用知识的能力,⑤分类讨论的能力。
⑥动点的探求能力
⑦准确的计算能力。
分析:
①求二次函数的解析式,也就是要求中a、b的值,
只要把A(-4,3),B(4,4)代人即可。
②求证△ACB是直角三角形,只要求出AC,BC,AB的长度,然后用
勾股定理及其逆定理去考察。
③是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?
先要选择一点P
然后自P点作垂线构成Rt△PHD,把两个三角形相似作条件,运用三角形
相似的性质去构建关于P点横坐标的方程。
解:
(1)将A(-4,3),B(4,4)代人中,整理得:
解得
∴二次函数的解析式为:
,
整理得:
(2)由整理
∴X1=-2,X2=∴C(-2,0)D
从而有:
AC2=4+9BC2=36+16AC2+BC2=13+52=65
AB2=64+1=65
∴AC2+BC2=AB2故△ACB是直角三角形
(3)设(X<0)
PH=HD=AC=BC=
①当△PHD∽△ACB时有:
即:
整理
∴(舍去)此时,
∴
②当△DHP∽△ACB时有:
即:
整理
∴(舍去)此时,
∴
综上所述,满足条件的点有两个即
点评:
这是一个二次函数开放性的综合题,解决问题的思路容易建立,切入点也好找,
但运算难度较大。
出题的老师看准了我们的学生在学习中存在的问题,那就是
每一个学生在计算时无论简单与复杂总是离不开计算器,所以遇到分数运算时
没有信心进行运算,最后还是放弃了。
因此在这里要提醒每一位学生在平时计
算的练习中多用心算和笔算,才能提高自己的运算能力。
【37.2012荆门】
24.如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;
(2)求证:
CB是△ABE外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0
解:
由题意,设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1).
将E(0,3)代入上式,解得:
a=﹣1.
∴y=﹣x2+2x+3.
则点B(1,4).
(2)证明:
如图1,过点B作BM⊥y于点M,则M(0,4).
在Rt△AOE中,OA=OE=3,
∴∠1=∠2=45°,AE==3.
在Rt△EMB中,EM=OM﹣OE=1=BM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,BE==.
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°.
∴AB是△ABE外接圆的直径.
在Rt△ABE中,tan∠BAE===tan∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE.
在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°.
∴∠CBA=90°,即CB⊥AB.
∴CB是△ABE外接圆的切线.
(3)解:
Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE=,sin∠BAE=,cos∠BAE=;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则△DEP必为直角三角形;
①DE为斜边时,P1在x轴上,此时P1与O重合;
由D(﹣1,0)、E(0,3),得OD=1、OE=3,即tan∠DEO==tan∠BAE,即∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件,因此O点是符合条件的P1点,坐标为(0,0).
②DE为短直角边时,P2在x轴上;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则∠DEP2=∠AEB=90°,sin∠DP2E=sin∠BAE=;
而DE==,则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10,OP2=DP2﹣OD=9
即:
P2(9,0);
③DE为长直角边时,点P3在y轴上;
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则∠EDP3=∠AEB=90°,cos∠DEP3=cos∠BAE=;
则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=,OP3=EP3﹣OE=;
综上,得:
P1(0,0),P2(9,0),P3(0,﹣).
(4)解:
设直线AB的解析式为y=kx+b.
将A(3,0),B(1,4)代入,得解得
∴y=﹣2x+6.
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F,当y=3时,得x=,∴F(,3).
情况一:
如图2,当0
则ON=AD=t,过点H作LK⊥x轴于点K,交EF于点L.
由△AHD∽△FHM,得,即.
解得HK=2t.
∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣(3﹣t)2﹣t
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