7A文初中数学联赛组合与数论专题.docx
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7A文初中数学联赛组合与数论专题
课程简介:
全国初中数学联赛是群众性的数学课外活动,是大众化、普及型的数学竞赛。
目前,每年有12万名学生参加。
为了让更多学生发挥自己的聪明才智,充分发掘他们竞赛学习上的潜力,调动学习数学的积极性,中小学教育网特聘请了数学联赛专家,开设了初中数学联赛课程。
课程内容:
涵盖初中数学联赛知识点,主要涉及数论、组合、代数、平面几何等专题,同时还加入了最新的模拟题型,包括近年来最新的竞赛热点,难度达到初中联赛水平,并在此基础上略有提升,确保同学们在实际竞赛时能更加的游刃有余。
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组合与数论专题
1.求使得31024-1能被2n整除的最大的正整数n.
2.设p是素数,且p+10,P+20也均为素数,求出所有这样的素数p.
3.从1,2,…,2n中拿走n个连续的正整数,留下来的n个数的和是1615,求满足条件的所有正整数n.
4.求所有的正整数n,使得3n2+3n+7是一个立方数.
5.已知正整数G,y满足方程G2+84G+20XX=y2,求G+y的值.
6.求方程的正整数解(G,y)的组数.
7.设n为正整数,且3n+1与5n-1皆为完全平方数,求证:
(1)7n+13必为合数;
(2)8(17n2+3n)必为两个平方数的和.
8.是否存在一个二次函数f(G),使得对任意的正整数k,当时,都有成立?
请给出结论,并加以证明.
9.已知两个三边长都是整数的等腰三角形有相同的周长,相同的面积,且两底边长之比为8:
7,求公共周长的最小值.
10.将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上,且任意三个相邻的数之和不小于58.求所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值.
11.设α1,α2,…,α30是从1,2,…,20XX中取出的30个不同的两两互素的数,证明:
其中至少有15个是素数.
12.对正整数n,记f(n)为数3n2+n+1的十进制表示的数码和.
(1)求f(n)的最小值;
(2)是否存在一个正整数n,使得f(n)=100?
(1)S能否等于20XX?
证明你的结论;
(2)S能取到多少个不同的整数值?
14.把1到n(n>1)这n个正整数排成一行,使得任何相邻两数之和为完全平方数.问:
n的最小值是多少?
真题演练
第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
(A)10000(B)15000(C)15129(D)15250
2.满足方程(G+3)2+y2+(G-y)2=3的所有实数对(G,y)的个数为( ).
(A)1(B)2(C)3(D)4
3.已知直角三角形ABC中,∠C=90o,BC=6,CA=3,CD为∠C的角平分线,则CD的长为( ).
(A) (B)2 (C) (D)4
4.若前20XX个正整数的乘积1×2×…×20XX能被20XXk整除,则正整数k的最大值为( ).
(A)1(B)10(C)30(D)20XX
5.如图,平面直角坐标系内,正三角形ABC的顶点B,C的坐标分别为(1,0),(3,0),过坐标原点O的一条直线分别与边AB,AC交于点M,N,若OM=MN,则点M的坐标为( ).
6.如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,使得AE=2,BF=5,DG=3,AH=3,点O在线段HF上,使得四边形AEOH的面积为9,则四边形OFCG的面积是 .
(A)6(B)6.5(C)7(D)9
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.整数p,q满足p+q=20XX,且关于G的一元二次方程67G2+pG+q=0的两个根均为正整数,则p=.
2.已知实数a,b,c满足a≥b≥c,a+b+c=0,且a≠0.设G1,G2是方程aG2+bG+c=0的两个实数根,则平面直角坐标系内两点A(G1,G2),B(G2,G1)之间的距离的最大值为 .
3.如图,设ABCDE是正五边形,五角星ACEBD(阴影部分)的面积为1.设AC与BE的交点为P,BD与CE的交点为Q,则四边形APQD的面积等于 .
4.设a,b,c是整数,1≤a<b<c≤9,且能被9整除,则a+b+c的最小值是 ,最大值是 .
第二试
一、(本题满分20分)已知面积为4的△ABC的边长分别为BC=a,CA=b,AB=c,a>b,AD是∠A的角平分线,点C’是点C关于直线AD的对称点,若△C’’BD与△ABC相似,求△ABC周长的最小值。
二、(本题满分25分)设实数G,y,z满足G+y+z=0,且(G-y)2+(y-z)2+(z-G)2≤2,求G的最大值和最小值。
三、(本题满分25分)称具有a2+161b2形式的数为“好数”,其中a,b都是整数。
(1)证明:
100,20XX都是“好数”;
(2)证明:
存在正整数G,y,使得G161+y161是“好数”,而G+y不是“好数”。
1.设P(n)与S(n)分别表示正整数n的各个数码的乘积与和,求满足n=P(n)+S(n)的正整数n.
2.设n是正整数,记1×2×…×n为n!
(例如1!
=1,2!
=1×2,5!
=1×2×3×4×5),若存在整数a2,a3,a4,a5,a6满足,这里0≤ai
3.正整数1,2,…,20XX中,能表示为(其中m,n是正整数)的有多少个?
4.在各位数码各不相同的10位数中,是11111的倍数的数共有多少个?
5.在中,有多少个不同的整数(其中,[G]表示不超过G的最大整数)?
6.设正整数G,y满足20XXG2+G=20XXy2+y,求证:
G-y是完全平方数.
组合与数论专题(四)
7.正整数G,y,z,u满足
求G的最小值.
8.设a,b,c∈R+,求的最小值(这里[G]表示不超过G的最大整数.).
9.将集合S={1,2,l,36}分拆为k个互不相交的非空子集A1,A2,L,Ak的并,若对于每一个Ai=(i=1,2,L,k),其中任意两个不同的元素的和都不是完全平方数,求k的最小值.
10.从1,2,3,…,16这16个数中,最多能选出多少个数,使得被选出的数中,任意三个数都不是两两互质的.
11.设G,y为非负整数,使得G+2y是5的倍数,G+y是3的倍数,且2G+y≥99,求7G+5y的最小值.
12.在黑板先写下100!
(=1×2×3×…×100)这个数.甲与乙二人轮流依下列规则玩游戏.每一次轮到的人都将黑板上的数减掉一个不大于它的正整数,规定这个正整数的不同的质因子个数不得超过10个,若所得到结果为0,则其获胜.否则,擦去黑板上的数,将所得的结果写在黑板上,再轮到下一位.请问是先手甲还是后手乙有必胜的策略?
如何操作才能取得胜利?
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- 初中 数学 联赛 组合 数论 专题
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