应力波复习资料修改.docx

应力波复习资料修改.docx

《应力波复习资料修改.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应力波复习资料修改.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

应力波复习资料修改

复习内容:

概念：

应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；

主要内容：

一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。

X

X+dX

F（X+dx,t）,有

F（X,t）F（X,t）dX

F（XdX）

根据牛顿第二定律，有

v

oAodXF（X

dX）F（X,t）

解

在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图，截面X上作用有总力F（X,t）,截面X+dX上作用有总力

解之，有

v

0A0dXt

而F（X,t）A。

，故上式可以化为

（a）

对于一维应力纵波，（）

C

则d°C2d

代入（a）式,可得

（b）

c2

因为vu,

t

程：

——,代入（b）式，则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方

X

22

u2Uc

2C20

t2X2

用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系

v

（1）t（v

v0

xx

v2

v）c——0

xx

解:

对一阶偏微分方程组进行线性组合,

（vC2）——

X根据特征线求解方法，特征线特征方程为

①X入+②其中为待定系数,整理可得:

v）v

v0（a）

dx

（即

vc2

解之，得C，（为…’即特征线的微分方程为：

dx（v

c）dt

ddt

dt

值代入上式，可得特征线上的相容关系为

将其积分即可得到特征线方程。

由（a）式,整理有

—dv

—dv

c

v—

x

v

v-

x

（1）c2

解：

对一阶偏微分方程组进行线性组合

[v

（1）c2][（1

xt

根据特征线求解方法，特征线特征方程为

①X入+②，其中

为待定系数，整理可得:

vv

）v]0（a）

xt

2

（dx）v

（1）c（dt）

（1）

1

dv

dx

解之，得c,（和v（1

）C,即特征线的微分方程为：

dx

[v（1

）c]dt

将其积分即可得到特征线方程。

由（a）式,整理有

v

（1）c2

（1）

dv0

dtdt

值代入上式，可得特征线上的相容关系为：

d

dv

cd

对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+

[vc2]-rt

根据特征线求解方法，特征线特征方程为

，其中

v）」

为待定系数，整理可得:

—2

t

0（a）r

（dt）v

解之，得?

（缶vc,

即特征线的微分方程为：

dr

（vc）dt

将其积分即可得到特征线方程。

由（a）式,整理有

[v

c2]—

r

dv2v

dtr

d

dt

值代入上式，可得特征线上的相容关系为：

2v

d—dvdt

cr

1_

C2

1

0X

为待定系数，整理可得:

解：

对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②X入，其中

X

t

20

0X0Ct

（a）

根据特征线求解方法，特征线特征方程为

严）

-0

（dt）

1

1°C2

1dX

解之,得，（）C,

，即特征线的微分方程为：

Cdt

dX

Cdt

将其积分即可得到特征线方程。

由（a）式,整理有

1

1

（-

）-

2

c20

x

t

0C

xt

即d0

dt0C2dt

将值代入上式，可得特征线上的相容关系为：

11

d2dd

0C2oC

三、用特征线法求解波的传播。

设半无限长弹性杆初始状态为（X,0）,v（X,0）v,（X,0）,t=0时刻杆左端

X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为v（0,t）V0（）,用特征线法求解（X,t）平面上AOX

和Aot区域的物理量。

解：

严）

\g巧

/x

OA为经0（0,0）点作的右传波的特征线,将（X,t）平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的A0）区和弹性波已传到的Aot区。

对于弹性波，特征线和特征线上相容条件对应于：

dXC°dt

dvC0d

0C°dv

引入积分常数

Ki、K2后,可写成

右行波有:

Cot

Co

oCov

1

K1

X

左行波有：

v

Cot

Co

oCov

2

K2

（1）AOX区

在该区任一点P,作正向特征线沿着特征线PQ和PR分别有

PQ和负向特征线

PR,分别交0X轴于Q点和R点,

VPCoPVQ

VPCoPVR

Co

Co

0C0VP

0C0VP

0C0VQK1

0C0VRK2

vP

由

（1）

（2）可得:

1

2

2Co

（Vq

Vr）

Co（R

q）

（VrVq）Co（

P

由初始条件，有RQ,v（X,0）v,（X,0）,则可解得Vpv

p

由于P点位AO）区域中的任意点，因此该解适合用于整个AOX区。

⑵对于Aot区

该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点，负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点，沿着特征线BCBD和CE分别有

VB

C0B

vc

CoC

1

B

0C0VB

C0C0VC^1

Vb

C0B

Vd

CoD

2

B

0C0VB

D0C0VDk2；

Vc

CoC

Ve

C0E

3V

Co

C0C0VCE0C0VEk23

沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值，即有

DE

VdVe

DE

此外,Vc由边界条件已给出

即VcVo（

）

于是可解得

vVo（）

BC

Co

VbVc

Vo（）

可以看出，在时刻，施加于杆端部的扰动Vo（）和c以Co的速度沿杆传播，并且

X

Co

沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。

特征线BC的特征方程可表示为XCo（t）,则有

由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为

VVo（t为

Co

Co

X

vVo（t）

Co

X

oCoVvo（t）

Co

四、波形曲线和时程曲线

一线性硬化材料半无限长杆Xo，应力应变关系如图所示，其中

3

EiooGPa,E!

E/25,Y2ooMPa,。

4g/cm。

在杆的左端X0处施加如图所示

的载荷。

（1）画出Xt图；

（2）画出tO.4ms时刻的波形曲线;

（3）画出X0.5m位置的时程曲线

Y

解：

半无限长杆中弹性波波速:

103m/s

10m/s，

时间tY0.1ms。

（图上把关键

点的坐标表示清楚，Xt图、波形图和时程图尽量画在一起）

02031.52;X（m）

t=04ms时的滾形柱线

報S®宦曲旨M0眞C-—E

五、弹性波的相互作用

处理原则：

在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；

1相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示，作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.（做ab）

Lo

Vi0

V38m/s

4v20Vi0

L0

解：

作图说明：

两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同；在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。

（a）

A

B

6

t

7

v

N

6

⑷1

4

4

5

M

3

3

3

1

2

o

2Lo

3杆

2杆

N

6

5

5

4

4

1

3

2

4

1杆

Lo

125

Lo

由波系图和v状态图可得，2杆和3杆撞击结束时间t壬，对应于M点,此

后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。

而1杆由于应力波在右端面的反射,

由波系图和v状态图可得，两杆撞击结束时间为t

卷，对应于M点，此时两

杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间t昱°时（N点），两杆界面上质点

Co

保持静止，并未相互脱离。

而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向

态的撞击杆脱离，向右飞出

（b）

Lt

—X

速度，当t卷时，被撞杆的左端面得介质速度由

0跃为v0,与早已处于静止状

2（5）（7）

*X

36v

（a?

解:

：

60109

〔2.4103

5000m/s，CB

72

ACA1.210Kg.s/m，

3.6

107Kg.s/m

ACA

8.33m/s，vYB

YB

BCB

6.67m/s

杆内逐渐获得了正向速度。

当t4Lo时，1杆和2杆界面对应于N点，1杆的左端面

Co

的介质速度由v40提高至v0,而此时2杆右端面的介质速度刚好由v40下降为0，1杆和2杆脱离（之前，1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度）。

2、已知两种材料质的弹性杆A和B的Young模量，密度和屈服极限分别为：

EA60GPa、A2.4g/cm3、YA100MPa、EB180GPa、B7.2g/cm3、

Yb240MPa,试对图中所示情况分别画出X-t图和v图，并确定其撞击结束时间、

两杆脱开时间。

以及分离之后各自的整体飞行速度。

f卜vL=0

1OCIcm

可见A、B两杆弹性波速相同，但波阻抗值不同，即两杆在波系图中特征线的斜率相同，而在v状态平面上v关系曲线斜率不相等。

v28m/s-

—►

v10

A

B

（MPa）

Jt（ms）

2.04.08.0v（m/s）

X（cm）

-4.0

如图示波系图及状态平面图，由于A、B两杆均为弹性杆，故在杆中传播的为弹性波。

A杆撞击B杆后由界面处向左传播一弹性波，对于被撞的B杆，向右传播一弹

性波，在碰撞面处两端应力相等，质点速度相等。

由图可知，当t2La20ms时，A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处，

Ca

使界面处质点速度小于零（-0.4m/s）,A将脱离B杆向左飞离，B杆左端变为自由端面，从而B杆左端应力卸为0,速度也减为0,两杆碰撞也结束了。

两杆分离后，A杆的速度为-0.4m/s，B杆的平均速度为2.0m/s。

根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件，波阵面上的守恒条件，求解方程及结

果为：

1区：

自然静止区

3、假定A和B均为线性硬化材料，已知其

材料常数分别为

EA60GPa、

20

2区：

V2

8m/s

3

BCBV3

372MPa

3区：

3

2

ACA（v3

V2）

v32m/s

40

40

4区：

4

3

ACa（v4

V3）

v44m/s

50

50

5区：

5

3

BCB（V5

V3）

V50

60

60

6区：

6

3

BCB（V6

V3）

v64m/s

B7.2g/cm3、YB240MPa。

试确

A2.4g/cm3、YA100MPa、EB180GPa、

定图A所示两种情况下使图中被撞击杆1屈服的最低打击速度v2为多大?

吟Vj=0

BA

S（bO£i

解：

CA

；60109

■2.4103

5000m/s，CB

5000m/s

aCa1.2107,bCb3.6107

aCA

8.33m/s,Vyb

Yb

bCb

6.67m/s

A、B两杆弹性波速相同，则两杆在波系图中的特征线的斜率相等。

B杆撞击A杆，如图

（1）所示，撞击杆

B屈服极限值较大，要使被撞击的

A杆屈服,

只需图3区解对应于Ya和Vya即可，

这是一种临界状态

X

3bCb（V3V2）

3Ya

可解得，使得被撞击杆的A杆屈服，最小打击速度为v211m/s

（c）A杆撞击A杆，两杆会同时达到屈服，仍如图

（1）所示，有

3ACA（V3V2）

3Ya

V3VYA

可解得：

v216.67m/s。

5、相同材料的弹性杆,A杆以va8ms的速度撞击初始静止靠在一起的B,C,D杆,如图所示，试作出Xt图，确定撞击结束时间，脱开时间及撞击后各杆的运动状态。

^4=3m/s=0p亡二口°

C

D

解:

作出Xt图和v如下图所示.

Xt图中各区域中的状态量可得：

1区:

B,C,D杆初始状态为0,v0,在波阵面未达到之前,为未扰动区域,应有

2区:

A杆初始状态0,v8m/s;对应v图上20,V28m/s

C0（v3v2）

Co（V3Vi）

3

4Co

4m/s

4区:

左行压缩波在A杆左端自由面反射，反射波经过后杆的状态

4040

43C°（V4V3）V40

5区:

右行压缩波在

D杆右端自由面反射，反射波经过后杆的状态

53C0（V5V3）V58

或者从V图也可以得到各杆最终的运动状态.撞击结束时间

4L

cl，a杆处于

4L

静止自然状态;B杆左端从tC0开始,应力卸载到零,速度也卸载到零

5L

;到t时B

C0

杆整体处于应力为零，速度为零的状态；D杆在t坐时整体处于应力为零，以8m/s的

51

速度向右飞出；C杆在t5-时整体处于应力为零,以8m/s的速度向右飞出.

Co

6、弹性波在自由端和固定端的反射；

7、弹性波在不同界面处的反射和透射；分析反射波、透射波和入射波之间的关系。

&冲击波形成的时间和地点。

9、弹塑性波的相互作用；加载，追赶卸载问题。

10、粘弹性材料Maxwell'Voigt模型的本构方程；应力松弛、蠕变、延迟回复；三元体本构方程；

11、一维应变状态；一维应变平面波的控制方程。

12、对线性硬化、递减硬化材料，当对半无限长杆左端施加不同载荷时，相应的X-t图、v图及图的绘制。