两角和与差的正弦余弦正切说课稿.docx
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两角和与差的正弦余弦正切说课稿
两角和与差的正弦、余弦、正切说课稿
高中是人生的一个转折点,把握时间,认真学习,为将来的路奠定基
础,为学子整理了两角和与差的正弦、余弦、正切说课稿一文:
两角和与差的正弦、余弦、正切说课稿
一、教材分析
教材的地位和作用:
本节课教学内容是高一(下)第四章4.6节第一课时(两
角和与差的余弦)。
本节内容是三角恒等变形的基础,是正弦线、余弦线和诱
导公式等知识的延伸,同时,它又是两角和、差、倍、半角等公式的源头。
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容,对于三角变换、三角恒
等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作
用。
本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及它
们的简单应用。
这节内容在高考中不但是热点,而且一般都是中、低档题,
是一定要拿到分的题。
教学重点:
两角和与差的余弦公式的推导与运用。
教学难点:
余弦和角公式的推导以及应用,学会恰当代换、逆用公式等技
能。
二、教学目标
(一)知识目标:
1、掌握利用平面内两点间的距离公式进行C(α+β)公式的推导;
2、能用代换法推导C(α-β)公式;
3、初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能。
(二)能力目标:
1、通过公式的推导,在培养学生三大能力的基础上,着重培养学生获得数
学知识的能力和数学交流的能力;
2、通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。
(三)情感目标:
1、通过观察、对比体会公式的线形美,对称美
2、通过教师启发引导,培养学生不怕困难,勇于探索勇于创新的求知精
神。
三、学情分析:
根据现在的学生知识迁移能力差、计算能力差的特点,第一节课不要太多
公式应用。
四、教法分析
1、创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。
引导学生建立一直角坐标系xOy,同时在这一坐标系内作单位圆O,并作
出角,使角的始边为Ox,交圆O于点,终边交圆O于点;角的始边为
O,终边交圆O于,角的始边为O,终边交圆O于点,并引导学生用
的三角函数标出点的坐标。
并充分利用单位圆、平面内两点的距离公式,使
学生弄懂由距离等式化得的三角恒等式,并整理成为余弦的和角公式,从而
克服本课的难点。
2、教具:
多媒体投影系统。
(多媒体系统可以有效增加课堂容量,色彩的
强烈对比可以突出对比效果;动画的应用可以将抽象的问题直观化,体现直观
性原则。
)
五、学法指导
1、能灵活求写角的终边与单位圆的交点坐标,并结合平面几何知识推证
出公式。
2、本节的中心公式是,然后对作不同的特值代换可得其他公式,故灵活
适当的代换是学好本节内容的基础。
3、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序;角
的顺序关系,培养学生的观察能力,并通过观察体会公式的对称美。
在教学过程中,启动学生自主性学习,自得知识,自觅规律,自悟原理,
主动发展思维和能力。
六、教学过程
(一)新课引入,产生对公式的需求。
1、学生先讨论=cos(450+300)=cos450+cos300是否成立?
。
(学生可能通过
计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解
决问题)。
得出cos(450+300)≠cos450+cos300。
进而得出
cos(α+β)≠cosα+cosβ这个结论。
那幺此时又是多
少,75度,15度虽然不是特殊角,但有某种特殊性,即可以表示成特殊角
的和与差。
那幺能不能由特殊角的三角函数值来表示这种和角与差角的三角
函数值?
2、如果特殊角可以,对一般的两个角,当它的三角函数值已知时,能否求
出和与差的三角函数值?
即能否用单角的三角函数来表示复角的三角函数呢?
提出cos(α+β)又等于什幺呢?
写出标题。
(二)预备知识
在解决上面的问题之前,我们先来作一点准备,解决平面内两点间距离的
公式这一问题。
(1)回忆初中学习过的数轴上的两点间的距离公式
(2)通过上面的复习,我们已经熟悉了数轴上两点间距离公式。
那幺,平面
内两点间距离与这两点的坐标有什幺样的关系呢?
(通过课件演示让学生体会
平面内两点间距离和同一坐标轴上两点间距离的关系)
平面内两点间距离公式推导分析:
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)由勾股定理
联想从P1、P2分别作X、Y轴的垂线,则有:
M1(x1,0),M2(x2,0),N1
(0,y1),N2(0,y2)。
通过演示课件P1Q=M1M2=│x2-x1│QP2=
N1N2=│y2-y1│根据勾股定理写出P1P22=P1Q2+QP22=(x2-x1)2+(y2-y1)2。
由此得平面内P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点间的距离公式:
P1P2=(x2-
x1)2+(y2-y1)2
习:
P(3,-1),Q(-3,-9)求PQ(建议这部分不要花太多时间)
(3)、复习单位圆上点的坐标表示,为推导公式作铺垫。
(三)公式推导
我们要用α、β、α+β的三角函数来表示
α+β的余弦,那幺就得作出α、β、α+β的
角,构造α、β、α+β的角时,联想建坐标系、作单位
圆。
(1)分别指出点P1、P2、P3的坐标。
(2)求出弦P1P3的长。
(3)思考构造
弦P1P3的等量关系。
当发现|P1P3|可以用cos(α+β)表示时,想到
应该寻找与P1P3相等的弦,从而才想到作出角(-β)。
在直角坐标系内做单位圆,并做出任意角α,α+β和-
β。
它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点,单位圆与X轴交于
P1。
则:
P1(1,0)、P2(cosα,sinα)、P3(cos(α+β),
sin(α+β))、
1.根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等得到距离等式
2.将转化为三角恒等式,逐步变形整理成余弦的和角公式。
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-
cosα]2+[sin(-β)-sinα]2展开,整理得2-
2cos(α+β)=2-2cosαcosβ+2sinαsinβ
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.记作
注意:
(1)公式的结构特征:
左边是两角和的余弦,右边是两两同名函数的
积。
(2)公式的记忆口诀:
哥哥捡伞伞(用音译,让学生觉得有趣并得以记住公
式)
(3)公式的用途:
用单角α、β的三角函数来表示复角的
α+β余弦
(4)注意强调公式中α、β是任意角。
因为α、β是任意
角,且两点间的距离公式具有一般性,所以此公式适用于任意角,具有一般
性。
以后可以用此公式导出其它公式,如用-β去代替β导出
C(α-β)。
(四)公式应用
正因为α、β的任意性,所以赋予C(α+β)公式的强大
生命力。
提问:
1、请用特殊角分别代替公式中α、β,你会求出哪些非特殊角的
值呢?
让学生动笔自由尝试、主动探索。
同学会求cos15度、cos75度、cos105度
等。
2、若β固定,分别用代替α,你将发现什幺结论呢?
用C(α±β)公式得到证明:
让学生发现
C(α±β)公式是诱导公式的推广,诱导公式是
C(α±β)公式的特殊情况。
当其中一个角是的整数倍时用
诱导公式较好。
由P1P3=P2P4(同圆相等的
圆心角所对弦相等)及两点
间距离公式,得:
[cos(α+β)-1]2+[sin(α+β)-0]2
=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2
展开整理合并得:
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ这就是两角和
的余弦公式。
(其中α,β为任意角)将其中β换成-β,公式
仍成立:
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α+(-β))=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)
化简得两角差的余弦公式:
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
求证:
(1)cos(-α)=sinα
(2)sin(-α)=cosα
证明:
(1)cos(-α)=coscosα+sinsinα
=sinα
(2)sin(-α)=cos[-(-α)]
=cosα
证明
(1)、
(2)的结论即为诱导公式。
例1、利用和(差)角公式求750、150角的余弦。
分析:
将750可以看成450+300而450和300均为特殊
角,借助它们即可求出750的余弦。
(学生自己完成)
解:
cos750=cos(450+300)
=cos450cos300-sin450sin300
=乘以-乘以
=
cos150=cos(450-300)
=cos450cos300+sin450sin300
=乘以+乘以
=
例题:
例1、已知sinα=,α∈(,π),cosβ=-,
β∈(π,),求cos(α-β)、cos(α+β)。
(解略)
解题回顾:
这是公式的直接使用,缺什幺找什幺。
另要注意α、
β所在区间,确定函数值的符号。
练习:
已知,求
例2、求值cos80度cos20度+sin80度sin20度。
(解略)
以-β代β
求cos15度等
代换
诱导公式及其它
α、β任意角
1、牢记公式的结构,学会逆用公式。
不符合公式结构的,常通过诱导公式
变形使之符合。
2、强调公式中α、β的任意性。
3、恰当代换是学好本节基础;逆用公式是本节基本技能。
(七)作业:
2
(2)(4)3(3)(4)(5)(6)(8)
[注]通过布置作业使学生进一步巩固本节的重点内容。
板书设计
第四章两角和与差的余弦
1、平面内两点间的距离公式
2、两角和差的余弦公式
3、例题
例1
例2
两角和与差的正弦、余弦、正切说课稿由整理提供,愿考生学业有成。
更
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- 正弦 余弦 正切 说课稿