普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试题含答案56351.docx
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普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试题含答案56351
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练
数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知M,N均为R的子集,且ðRM⊆N,则M⋃(ðRN)=()
A.∅B.MC.ND.R
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图,结合Venn图即可确定集合的运算结果.
【详解】解法一:
ðRM⊆N,∴M⊇ðRN,据此可得∴M(ðRN)=M.
故选:
B.
解法二:
如图所示,设矩形ABCD表示全集R,
矩形区域ABHE表示集合M,则矩形区域CDEH表示集合ðRM,矩形区域CDFG表示集合N,满足ðRM⊆N,
结合图形可得:
M(ðRN)=M.
故选:
B.
2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后,再把卡片随机分给这3位同学,每人1张,则恰有1位学生
分到写有自己学号卡片的概率为()
11
A.B.
63
12
C.D.
23
【答案】C
【解析】
【分析】由题意列出所有可能的结果,然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】设三位同学分别为A,B,C,他们的学号分别为1,2,3,
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类,如(1,3,2)表示A同学拿到1号,B同学拿到3号,C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为:
(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),共6种,其中满足题意的结果有(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1),共3种,
31
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为:
p==.
62
故选:
C.
【点睛】方法点睛:
有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.
(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏.
(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.
3.关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:
甲:
x=1是该方程的根;乙:
x=3是该方程的根;丙:
该方程两根之和为2;丁:
该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是()
A.甲B.乙C.丙D.丁
【答案】A
【解析】
【分析】
对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论,分析各种情况下方程x2+ax+b=0的两根,进而可得出结论.
【详解】若甲是假命题,则乙丙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一根为3,由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号,合乎题意;若乙是假命题,则甲丙丁是真命题,则x=1是方程x2+ax+b=0的一根,由于两根之和为2,则另一根也为1,两根同号,不合乎题意;
若丙是假命题,则甲乙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根同号,不合乎题意;
若丁是假命题,则甲乙丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根之和为4,不合乎题意.
综上所述,甲命题为假命题.
故选:
A.
【点睛】关键点点睛:
本题考查命题真假的判断,解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论,结合已知条件求出方程的两根,再结合各命题的真假进行判断.
22
+
4.椭圆xy
=1(m>0)的焦点为F、F,上顶点为A,若∠FAF
=π,则m=()
m2+1m2
12123
A.1B.
C.D.2
【答案】C
【解析】
【分析】
分析出F1AF2为等边三角形,可得出a=2c,进而可得出关于m的等式,即可解得m的值.
22
【详解】在椭圆xy
m2+1m2
=1(m>0)中,a=
m2+1,b=m,c=
=1,
如下图所示:
22
因为椭圆xy
=1(m>0)的上顶点为点A,焦点为F、F,所以AF
=AF
=a,
m2+1m2
p
1212
Q∠F1AF2=
,∴△F1AF2为等边三角形,则AF1
3
=F1F2,即
m2+1=a=2c=2,
因此,m=3.
故选:
C.
5.已知单位向量a,b满足a⋅b=0,若向量c=
7a+
2b,则sin〈a,c〉=()
A.73
B.
23
C.
79
D.
29
【答案】B
【解析】
【分析】
a⋅c
本题借助cos〈a,c〉=
将c=
a⋅c
7a+
2b代入化简即可.
rr
【详解】因为a,b是单位向量,所以a=b=1.
2
22
因为c=
7a+
2b,所以c=
7a+
2b=
(7a+
2b)=
7a+2b
=3.
a⋅c
a⋅(
7a+
2b)
2
7a+
2a⋅b
所以cos〈a,c〉=
===7=7
a⋅ca⋅ca⋅cc3
所以sin〈a,c〉=
=2.
3
故选:
B.
6.(1+x)2+(1+x
A.60
)3++(1+x)9的展开
B.80
式中x2的系数是(
C.84
)
D.120
【答案】D
【解析】
【分析】
2349
(1+x)2+(1+x)3++(1+x)9的展开式中x2的系数是C2+C2+C2++C2,借助组合公式:
m-1mm
Cn+Cn
=Cn+1,逐一计算即可.
2349
【详解】(1+x)2+(1+x)3++(1+x)9的展开式中x2的系数是C2+C2+C2++C2
因为m-1mm23
22323
Cn+Cn
=Cn+1且C2
=C3,所以C2+C3
=C3+C3
=C4,
所以222233
C2+C3+C4
=C4+C4=C5,
23499910
以此类推,C2+C2+C2++C2=C3+C2=C3
=10⨯9⨯8=120.
3⨯2⨯1
故选:
D.
nnn+1
【点睛】本题关键点在于使用组合公式:
Cm-1+Cm=Cm
,以达到简化运算的作用.
7.已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC
的方程为()
A.x+2y+1=0
B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0
D.x+3y+2=0
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用点A(2,2)求抛物线方程,利用相切关系求切线AB,AC,再分别联立直线和抛物线求出点B,C,即求出直线BC方程.
【详解】A(2,2)在抛物线y2=2px上,故22=2p⨯2,即p=1,抛物线方程为y2=2x,
设过点A(2,2)与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的方程为:
y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,则
圆心(2,0)到切线的距离d=
2k-0+2-2k
=1,解得k=±
3,如图,直线AB:
y-2=
3(x-2),
直线AC:
y-2=-
3(x-2).
⎧⎪y-2=
联立⎨
⎪⎩y2=2x
3(x-2)
,得3x2
+(43-14)x+16-83=0,
故16-83
8-43
23-6
xAxB=
,由xA=2得xB=
3
,故yB=,
33
⎧⎪y-2=
联立⎨
⎪⎩y2=2x
3(x-2)
,得3x2
-(43+14)x+16+83=0,
故16+83
8+43
-23-6
xAxC=
,由xA=2得xC=
3
,故yC=,
33
故yB+yC
=23-6+-23-6=-4,又由B,C在抛物线上可知,
33
k=yB-yC=
yB-yC
=2
=2
=-1
直线BC的斜率为BC
xB-xC
1212
y
2yB-2C
yB+yC
-42,
故直线BC的方程为y-=-
1⎛
ççx-
8-43⎫
⎪⎪,即3x+6y+4=0.
32⎝3⎭
故选:
B.
【点睛】方法点睛:
求圆的切线的方程的求法:
(1)几何法:
设直线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数,即得方程;
(2)代数法:
设直线的方程,联立直线与圆的方程,使判别式等于零解出参数,即可得方程.
8.已知a<5且ae5=5ea,
b<4且be4=4eb,
c<3且ce3=3ec,则()
A.c
B.
b C. a D. a 【答案】D 【解析】 【分析】 令f(x)= e,x>0,利用导数研究其单调性后可得a,b,c的大小. x x 【详解】因为ae5=5ea, a<5,故a>0,同理b>0,c>0, 令f(x)= exex(x-1) x>0,则f'(x)=, xx2 当0 因为ae5=5ea, a<5,故e 5 a =,即f(5)=f(a),而0 a
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- 普通高等学校 招生 全国 统一 考试 模拟 演练 数学试题 答案 56351