最新导数计算公式.docx
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最新导数计算公式
导数计算公式
导数公式
一、基本初等函数的导数公式
已知函数:
(1)y=f(x)=c;
(2)y=f(x)=x;(3)y=f(x)=x2;(4)y=f(x)=
;(5)y=f(x)=
.
问题:
上述函数的导数是什么?
提示:
(1)∵
=
=
=0,∴y′=
=0.
2)(x)′=1,(3)(x2)′=2x,(4)
′=-
,(5)(
)′=
.
函数
(2)(3)(5)均可表示为y=xα(α∈Q*)的形式,其导数有何规律?
提示:
∵
(2)(x)′=1·x1-1,(3)(x2)′=2·x2-1,(5)(
)′=(x
)′=
x
=
,∴(xα)′=αxα-1.
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f′(x)=cosx
f(x)=cos x
f′(x)=-sinx
f(x)=ax
f′(x)=axlna
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
f′(x)=
f(x)=lnx
f′(x)=
二、导数运算法则
已知f(x)=x,g(x)=
.
问题1:
f(x),g(x)的导数分别是什么?
问题2:
试求Q(x)=x+
,H(x)=x-
的导数.
提示:
∵Δy=(x+Δx)+
-
=Δx+
,
∴
=1-
,∴Q′(x)=
=
=1-
.同理H′(x)=1+
.
问题3:
Q(x),H(x)的导数与f(x),g(x)的导数有何关系?
提示:
Q(x)的导数等于f(x),g(x)导数的和,H(x)的导数等于f(x),g(x)导数的差.
导数运算法则
1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
2.[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
3.
′=
(g(x)≠0)
题型一利用导数公式直接求导
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=10x;
(2)y=lgx;(3)
;
(4)y=
;(5)
.
[解]
(1)y′=(10x)′=10xln10;
(2)y′=(lgx)′=
;
(3)y′=
=-
;(4)y′=(
)′=
;(5)∵y=
2-1=sin2
+2sin
cos
+cos2
-1=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx.
练习求下列函数的导数:
(1)y=
x;
(2)y=
x;(3)y=lg5;(4)y=3lg
;(5)y=2cos2
-1.
解:
(1)y′=
′=
xln
=-
=-e-x;
(2)y′=
′=
xln
=
=-10-xln10;(3)∵y=lg5是常数函数,∴y′=(lg5)′=0;
(4)∵y=3lg
=lgx,∴y′=(lgx)′=
;(5)∵y=2cos2
-1=cosx,
∴y′=(cosx)′=-sinx.
题型二利用导数的运算法则求函数的导数
[例2] 求下列函数的导数:
(1)y=x3·ex;
(2)y=x-sin
cos
;(3)y=x2+log3x;(4)y=
.
[解]
(1)y′=(x3)′ex+x3(ex)′=3x2ex+x3ex=x2(3+x)ex.
(2)∵y=x-
sinx,∴y′=x′-
(sinx)′=1-
cosx.
(3)y′=(x2+log3x)′=(x2)′+(log3x)′=2x+
.
(4)y′=
=
=
.
练习求下列函数的导数:
(1)y=
;
(2)y=xsinx+
;(3)y=
+
;(4)y=lgx-
.
解:
(1)y′=
′=
=
=-
.
(2)y′=(xsinx)′+(
)′=sinx+xcosx+
.
(3)∵y=
+
=
=
-2,∴y′=
′=
=
.
(4)y′=
′=(lgx)′-
′=
+
.
题型三导数几何意义的应用
[例3]
(1)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为________.
(2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:
y=x3-10x+13上,且在第一象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________.
[解析]
(1)y′=-5ex,∴所求曲线的切线斜率k=y′|x=0=-5e0=-5,
∴切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为y′=3x2-10,所以3x
-10=2,解得x0=±2.又点P在第一象限内,所以x0=2,又点P在曲线C上,所以y0=23-10×2+13=1,所以点P的坐标为(2,1).
(1)5x+y+2=0
(2)(2,1)
练习若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=________.
解析:
f′(x)=-asinx,g′(x)=2x+b,
∵曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,
∴f(0)=a=g(0)=1,且f′(0)=0=g′(0)=b,∴a+b=1.答案:
1
[典例] 已知a∈R,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程.
[解] 由已知得f′(x)=3x2-6x+3a,故f′
(1)=3-6+3a=3a-3,
且f
(1)=1-3+3a-3a+3=1.故所求切线方程为y-1=(3a-3)(x-1),
即3(a-1)x-y+4-3a=0.
一、已知斜率,求切线方程.
此类问题可以设出切点,利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点,进而求出切线方程.
例:
求与直线x+4y+1=0垂直的曲线f(x)=2x2-1的切线方程.
解:
所求切线与直线x+4y+1=0垂直,所以所求切线的斜率k=4.
设切点坐标为(x0,y0),则f′(x0)=4x0=4,即x0=1.所以切点坐标为(1,1).
故所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.
二、已知过曲线上一点,求切线方程.
过曲线上一点的切线,该点不一定是切点,故应先设出切点,再利用该点在切线上来确定切点,进而求出切线方程.
例:
求过曲线f(x)=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程.
解:
设切点坐标为(x0,y0),
因为f′(x)=3x2-2,
所以f′(x0)=3x
-2,且y0=f(x0)=x
-2x0.
所以切线方程为y-y0=(3x
-2)(x-x0),
即y-(x
-2x0)=(3x
-2)(x-x0).
因为切线过点(1,-1),
故-1-(x
-2x0)=(3x
-2)·(1-x0)
即2x
-3x
+1=0,
解得x0=1或x0=-
,
故所求切线方程为x-y-2=0或5x+4y-1=0.
三、已知过曲线外一点,求切线方程.
这一题型要设出切点,再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点,从而求出切线方程.
例:
已知函数f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求切线方程.
解:
由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)=x3-3x上,设切点坐标为M(x0,y0).
则f′(x0)=3x
-3,
故切线方程为y-y0=3(x
-1)(x-x0).
又点A(0,16)在切线上,
所以16-(x
-3x0)=3(x
-1)(0-x0),
化简得x
=-8,解得x0=-2,即切点为M(-2,-2),
故切线方程为9x-y+16=0.
课后练习
1.给出下列结论:
①(cosx)′=sinx; ②
′=cos
;
③若y=
,则y′=-
;④
′=
.
其中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析:
(cosx)′=-sinx,所以①错误;sin
=
,而
′=0,所以②错误;
′=
=
=-2x-3,所以③错误;
′=-
=
=
x
=
,
所以④正确.答案:
B
2.函数y=sinx·cosx的导数是( )
A.y′=cos2x+sin2xB.y′=cos2x-sin2x
C.y′=2cosx·sinxD.y′=cosx·sinx
解析:
y′=(sinx·cosx)′=cosx·cosx+sinx·(-sinx)=cos2x-sin2x.
3.若f(x)=(2x+a)2,且f′
(2)=20,则a=________.
解析:
f(x)=4x2+4ax+a2,∵f′(x)=8x+4a,∴f′
(2)=16+4a=20,∴a=1.答案:
1
4.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=________.
解析:
y′=4x3+2ax,因为曲线在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,所以y′|x=-1=-4-2a=8,解得a=-6.答案:
-6
5.求下列函数的导数:
(1)y=x
;
(2)y=
;
(3)y=(4x-x)(ex+1).
解:
(1)∵y=x
=x3+1+
,∴y′=3x2-
.
(2)y′=
=
.
(3)法一:
∵y=(4x-x)(ex+1)=4xex+4x-xex-x,∴y′=(4xex+4x-xex-x)′=(4x)′ex+4x(ex)′+(4x)′-[x′ex+x(ex)′]-x′=ex4xln4+4xex+4xln4-ex-xex-1=ex(4xln4+4x-1-x)+4xln4-1.
法二:
y′=(4x-x)′(ex+1)+(4x-x)(ex+1)′=(4xln4-1)(ex+1)+(4x-x)ex=ex(4xln4+4x-1-x)+4xln4-1.
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