44 函数yAsinωx+φ的图象及应用.docx
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44函数yAsinωx+φ的图象及应用
§4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f==
ωx+φ
φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示.
x
ωx+φ
0
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)作函数y=sin(x-)在一个周期内的图象时,确定的五点是(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)这五个点.( × )
(2)将函数y=3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin(2x+).( × )
(3)函数y=sin(x-)的图象是由y=sin(x+)的图象向右移个单位长度得到的.( √ )
(4)函数y=sin(-2x)的递减区间是(--kπ,--kπ),k∈Z.( × )
(5)函数f(x)=sin2x的最小正周期和最小值分别为π,0.( √ )
(6)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( √ )
1.(2014·四川)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
答案 A
解析 y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=sin2(x+)的图象,即函数y=sin(2x+1)的图象.
2.(2013·四川)
函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.2,-
B.2,-
C.4,-
D.4,
答案 A
解析 ∵T=-,∴T=π,∴ω=2,
∴2×+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ-,k∈Z,
又φ∈,∴φ=-,故选A.
3.设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )
A.B.3
C.6D.9
答案 C
解析 由题意可知,nT=(n∈N*),
∴n·=(n∈N*),
∴ω=6n(n∈N*),∴当n=1时,ω取得最小值6.
4.设函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则下列说法正确的是________.(填序号)
①f(x)的图象过点(0,);
②f(x)在[,]上是减函数;
③f(x)的一个对称中心是(,0);
④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=3sinωx的图象.
答案 ①③
解析 ∵周期为π,∴=π⇒ω=2,
∴f(x)=3sin(2x+φ),f(π)=3sin(+φ),
则sin(+φ)=1或-1.
又φ∈(-,),+φ∈(,π),
∴+φ=⇒φ=,
∴f(x)=3sin(2x+).
①:
令x=0⇒f(x)=,正确.
②:
令2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z
⇒kπ+ 令k=0⇒ 即f(x)在(,π)上单调递减,而在(,)上单调递增,错误. ③: 令x=⇒f(x)=3sinπ=0,正确. ④: 应平移个单位长度,错误. 题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例1 设函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到的. 解 (1)f(x)=sinωx+cosωx =2(sinωx+cosωx)=2sin(ωx+), 又∵T=π,∴=π,即ω=2. ∴f(x)=2sin(2x+). ∴函数f(x)=sinωx+cosωx的振幅为2,初相为. (2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX. 列表,并描点画出图象: x - X 0 π 2π y=sinX 0 1 0 -1 0 y=2sin 0 2 0 -2 0 (3)方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象. 方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图象;再将y=sin2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin2=sin的图象;再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin的图象. 思维升华 (1)五点法作简图: 用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)图象变换: 由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径: “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. (1)把函数y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位长度,那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A.x=-B.x=- C.x=D.x= (2)(2014·辽宁)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间[,]上单调递减 B.在区间[,]上单调递增 C.在区间[-,]上单调递减 D.在区间[-,]上单调递增 答案 (1)A (2)B 解析 (1)将y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+);再将图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin[2(x-)+]=sin(2x-),故x=-是其图象的一条对称轴方程. (2)y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度得到y=3sin[2(x-)+]=3sin(2x-π). 令2kπ-≤2x-π≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+ π,k∈Z,则y=3sin(2x-π)的增区间为[kπ+,kπ+π],k∈Z. 令k=0得其中一个增区间为[,π],故B正确. 画出y=3sin(2x-π)在[-,]上的简图,如图,可知y=3sin(2x-π)在[-,]上不具有单调性,故C,D错误. 题型二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2 (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<)的最小正周期是π,且f(0)=,则( ) A.ω=,φ=B.ω=,φ= C.ω=2,φ=D.ω=2,φ= (2) 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<,ω>0)的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为____________. 答案 (1)D (2)f(x)=2sin 解析 (1)∵f(x)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π, ∴T==π,ω=2.∵f(0)=2sinφ=, 即sinφ=(|φ|<),∴φ=. (2)观察图象可知: A=2且点(0,1)在图象上, ∴1=2sin(ω·0+φ),即sinφ=.∵|φ|<,∴φ=. 又∵π是函数的一个零点,且是图象递增穿过x轴形成的零点,∴ω+=2π,∴ω=2. ∴f(x)=2sin. 思维升华 根据y=Asin(ωx+φ)+k的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: ①A的确定: 根据图象的最高点和最低点,即A=; ②k的确定: 根据图象的最高点和最低点,即k=; ③ω的确定: 结合图象,先求出周期T,然后由T=(ω>0)来确定ω; ④φ的确定: 由函数y=Asin(ωx+φ)+k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-(即令ωx+φ=0,x=-)确定φ. 如图为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段. (1)求其解析式; (2)若将y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程. 解 (1)由图象知A=, 以M为第一个零点,N为第二个零点. 列方程组 解得 ∴所求解析式为y=sin. (2)f(x)=sin =sin, 令2x-=+kπ(k∈Z),则x=π+(k∈Z), ∴f(x)的对称轴方程为x=π+(k∈Z). 题型三 函数y=Asin(ωx+φ)的性质 例3 (2014·重庆改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值; (2)当x∈[0,]时,求函数y=f(x)的最大值和最小值. 解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2. 又因f(x)的图象关于直线x=对称,所以 2·+φ=kπ+,k∈Z, 由-≤φ<得k=0 所以φ=-=-. 综上,ω=2,φ=-. (2)由 (1)知f(x)=sin(2x-), 当x∈[0,]时,-≤2x-≤π, ∴当2x-=,即x=时,f(x)最大=; 当2x-=-,即x=0时,f(x)最小=-. 思维升华 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 (1)奇偶性: φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数; φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数. (2)周期性: y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为T=. (3)单调性: 根据y=sint和t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究,由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调增区间;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调减区间. (4)对称性: 利用y=sinx的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)来解,令ωx+φ=kπ(k∈Z),求得其对称中心. 利用y=sinx的对称轴为x=kπ+(k∈Z)来解,令ωx+φ=kπ+(k∈Z)得其对称轴. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω,A>0,0<φ<)的最大值为2,最小正周期为π,直线x=是其图象的一条对称轴. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=f(x-)-f(x+)的单调递增区间. 解 (1)∵最小正周期为π. ∴=π. 即ω=2. 又∵直线x=是函数图象的一条对称轴, ∴2×+φ=kπ+,k∈Z, 即φ=kπ+,k∈Z. 又∵φ∈(0,),∴φ=. 又∵A=2, ∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+). (2)g(x)=f(x-)-f(x+) =2sin[2(x-)+]-2sin[2(x+)+] =2sin2x-2sin(2x+)=2sin(2x-). 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z可得 kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z. 即函数g(x)的单调递增区间是 [kπ-,kπ+π],k∈Z. 三角函数图象与性质的综合问题 典例: (12分)已知函数f(x)=2sin(+)·cos(+)-sin(x+π). (1)求f(x)的最小正周期. (2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值. 思维点拨 (1)先将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求周期; (2)将f(x)解析式中的x换成x-,得g(x),然后利用整体思想求最值. 规范解答 解 (1)f(x)=2sin(+)·cos(+)-sin(x+π)=cosx+sinx[3分] =2sin(x+),[5分] 于是T==2π.[6分] (2)由已知得g(x)=f(x-)=2sin(x+),[8分] ∵x∈[0,π],∴x+∈[,], ∴sin(x+)∈[-,1],[10分] ∴g(x)=2sin(x+)∈[-1,2][11分] 故函数g(x)在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.[12分] 答题模板 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步: (化简)将f(x)化为asinx+bcosx的形式. 第二步: (用辅助角公式)构造f(x)=·(sinx·+cosx·). 第三步: (求性质)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质. 第四步: (反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 温馨提醒 (1)在第 (1)问的解法中,使用辅助角公式 asinα+bcosα=sin(α+φ)(其中tanφ=),或asinα+bcosα=cos(α-φ)(其中tanφ=),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注. (2)求g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图象进行求解. 方法与技巧 1.五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向; (2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言,而不是看角ωx+φ的变化. 2.由图象确定函数解析式 由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定A、ω、φ的题型,常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 3.对称问题 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离). 失误与防范 1.由函数y=sinx的图象经过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,如: 先伸缩,再平移时,要把x前面的系数提取出来. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看做一个整体.若ω<0,要先根据诱导公式进行转化. 3.函数y=Asin(ωx+φ)在x∈[m,n]上的最值可先求t=ωx+φ的范围,再结合图象得出y=Asint的值域. A组 专项基础训练 (时间: 45分钟) 1.(2013·山东)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( ) A.B.C.0D.- 答案 B 解析 把函数y=sin(2x+φ)沿x轴向左平移个单位后得到函数y=sin2=sin为偶函数,则φ的一个可能取值是. 2.(2013·浙江)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是( ) A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,2 答案 A 解析 f(x)=sinxcosx+cos2x =sin2x+cos2x =sin. 所以最小正周期为π,振幅为1. 故选A. 3. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,且|φ|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)的一个单调递增区间是( ) A.[-,] B.[-,-] C.[-,] D.[-,] 答案 D 解析 由函数的图象可得T=π-π, ∴T=π,则ω=2. 又图象过点(π,2),∴2sin(2×π+φ)=2, ∴φ=-+2kπ,k∈Z, ∵|φ|<. ∴取k=0,即得f(x)=2sin(2x-), 其单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,取k=0,即得选项D. 4. 电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的图象如右图所示,则当t=秒时,电流强度是( ) A.-5安B.5安 C.5安D.10安 答案 A 解析 由图象知A=10,=-=, ∴ω==100π.∴I=10sin(100πt+φ). 为五点中的第二个点, ∴100π×+φ=. ∴φ=.∴I=10sin, 当t=秒时,I=-5安. 5.已知函数f(x)=2sinωx在区间[-,]上的最小值为-2,则ω的取值范围是( ) A.(-∞,-]∪[6,+∞) B.(-∞,-]∪[,+∞) C.(-∞,-2]∪[6,+∞) D.(-∞,-2]∪[,+∞) 答案 D 解析 当ω>0时,-ω≤ωx≤ω, 由题意知-ω≤-,即ω≥; 当ω<0时,ω≤ωx≤-ω, 由题意知ω≤-,∴ω≤-2. 综上可知,ω的取值范围是(-∞,-2]∪[,+∞). 6. 设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f()的值为________. 答案 解析 取K,L中点N,则MN=, 因此A=. 由T=2得ω=π. ∵函数为偶函数,0<φ<π,∴φ=, ∴f(x)=cosπx, ∴f()=cos=. 7.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12,A>0)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5 解析 由题意得 ∴ ∴y=23+5cos, 当x=10时,y=23+5×=20.5. 8.已知函数f(x)=cosxsinx(x∈R),给出下列四个命题: ①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是2π; ③f(x)在区间[-,]上是增函数; ④f(x)的图象关于直线x=对称. 其中真命题是________. 答案 ③④ 解析 f(x)=sin2x,当x1=0,x2=时, f(x1)=-f(x2),但x1≠-x2,故①是假命题; f(x)的最小正周期为π,故②是假命题; 当x∈[-,]时,2x∈[-,],故③是真命题; 因为f()=sinπ=-, 故f(x)的图象关于直线x=π对称,故④是真命题. 9.已知函数f(x)=cosx·cos(x-). (1)求f()的值; (2)求使f(x)<成立的x的取值集合. 解 (1)f()=cos·cos=-cos·cos =-()2=-. (2)f(x)=cosxcos(x-)=cosx·(cosx+sinx) =cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x =cos(2x-)+. f(x)<等价于cos(2x-)+<, 即cos(2x-)<0, 于是2kπ+<2x-<2kπ+,k∈Z. 解得kπ+ 故使f(x)<成立的x的取值集合为{x|kπ+ 10.(2014·福建)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-. (1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值; (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解 方法一 (1)因为0<α<,sinα=, 所以cosα=. 所以f(α)=×(+)-=. (2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x- =sin2x+- =sin2x+cos2x =sin(2x+), 所以T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得 kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. 方法二 f(x)=sinxcosx+cos2x- =sin2x+- =sin2x+cos2x =sin(2x+). (1)因为0<α<,sinα=,所以α=, 从而f(α)=sin(2α+)=sin=. (2)T==π. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得 kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. B组 专项能力提升 (时间: 20分钟) 11.将函数y=sin(x+φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′,若F′的一个对称中心为,则φ的一个可能取值是( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 图像F′对应的函数y=sin, 则++φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z, 当k=1时,φ=,故选D. 12.已知A,B,C,D是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A(-,0),B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则ω,φ的值为( ) A.ω=2,φ=B.ω=2,φ= C.ω=,φ=D.ω=,φ= 答案 A 解析 因为在x轴上的投影为,又点A(-,0),所以函数的四分之一个最小正周期为+=.即函数的最小正周期为π,故ω==2. 又点A(-,0)是处于递增区间上的零点,所以2×(-)+φ=2kπ(k∈Z),则φ=2kπ+(k∈Z).又因为0<φ<,所以φ=.故选A. 13.(2014·湖南)已知函数f(x)=sin(x-φ),且 ,则函数f(x)的图象的一条对称轴是( ) A.x=B.x= C.x=D.x= 答案 A 解析 ∵ =-cos(x-φ) =0, ∴-cos(-φ)+cosφ=0. ∴cos(-φ)-cosφ=0. ∴sinφ-cosφ=0. ∴sin(φ-)=0. ∴φ-=k1π(k1∈Z). ∴φ=k1π+(k1∈Z). ∴f(x)=sin(x-k1π-)(k1∈Z). 由x-k1π-=k2π+(k1,k2∈Z)得x=(k1+k2)π+π(k1,k2∈Z), ∴f(x)的对称轴方程为x=(k1+k2)π+π(k1,k2∈Z). 故x=为函数f(x)的一条对称轴. 14.(2014·湖北)某实验室一天的温度(单位: ℃)随时间t(单位: h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温? 解 (1)因为f(t)=10-2(cost+sint) =10-2sin(t+), 又0≤t<24,所以≤t+<, -1≤sin(t+)≤1. 当t=2时,sin(t+)=1; 当t=14时,sin(t+)=-1. 于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8. 故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃. (2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温. 由 (1)得f(t)=10-2sin(t+), 故有10-2sin(t+)>11, 即sin(t+)<-. 又0≤t<24,因此 即10 故在10时至18时实验室需要降温. 15.已知函数f(x)=sinωx·cosωx
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- 44 函数yAsinx+的图象及应用 函数 yAsin 图象 应用
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