高三数学推荐复习全套资料第八章.docx
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高三数学推荐复习全套资料第八章
§8.2 平面的性质、空间两条直线的位置关系
1.平面的基本性质
公理1:
如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2:
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的________.
公理3:
过________________的三点,有且只有一个平面.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b′∥b,把a
与b′所成的____________叫做异面直线a,b所成的角.
②范围:
____________.
3.直线与平面的位置关系有______、______、________三种情况.
4.平面与平面的位置关系有______、______两种情况.
5.平行公理(公理4)
平行于______________的两条直线互相平行.
6.定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
[难点正本 疑点清源]
1.公理的作用
公理1的作用是判断直线是否在某个平面内;公理2的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据;公理3及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.
2.正确理解异面直线的定义:
异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
1.在下列命题中,所有正确命题的序号是______________________________________.
①平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点;
②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;
③经过两条相交直线,有且只有一个平面;
④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合;
⑤四边形确定一个平面.
2.给出三个命题:
①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
②若两条直线与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;
③若两条直线与第三条直线平行,这两条直线互相平行;
④若两条直线均与一个平面平行,则这两条直线互相平行.
其中不正确命题的序号是________.
3.正方体各面所在平面将空间分成________部分.
4.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为___.
题型一 平面的基本性质
例1
如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
探究提高 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.
(1)证明三线共点的依据是公理2.
(2)证明三线共点的思路是:
先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点,把问题化归到证明点在直线上的问题.
实际上,点共线、线共点的问题都可以化归为点在直线上的问题来处理.
如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊
AD,BE綊
FA,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
题型二 空间直线位置关系的判断
例2
.如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问:
(1)AM和CN是否是异面直线?
说明理由;
(2)D1B和CC1是否是异面直线?
说明理由.
探究提高 判断两条直线是异面直线的方法:
1.利用反证法:
反证——归谬——结论,这样的模式进行.利用定义来处理;
2.利用书本上异面直线的判定:
平面内一点与平面外一点的连线和平面内不过该点的直线是异面直线.
下列四个命题:
①若直线a、b是异面直线,b、c是异面直线,则a、c是异面直线;
②若直线a、b相交,b、c相交,则a、c相交;
③若a∥b,则a、b与c所成的角相等;
④若a⊥b,b⊥c,则a∥c.
其中真命题的个数是________.
题型二 空间两条直线的位置关系
例3
已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD
上的点.
(1)求证:
BC与AD是异面直线;
(2)求证:
EG与FH相交
在长方体ABCD—A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1)上.
(1)过P点在空间作一直线l,使l∥直线BD,应该如何作图?
并说明理由;
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈
,
这样的直线有几条,应该如何作图?
21.构造衬托平面研究直线
相交问题
试题:
(5分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.
审题视角 找三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一个平面内,作与三条直线都相交的直线.因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面.进而研究公共交线问题.
答案 无数
解析 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.
另解:
在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连结PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.
批阅笔记
(1)本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考
查难度一般都不会太大.
(1)误区警示:
本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失分
较多.这说明学生还是缺少空间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解.
方法与技巧
1.主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理2可知这些点在交线上,因此共线.
2.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理:
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.
(2)反证法:
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
失误与防范
1.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线,而不是分别在两个平面内.一定要理解定义.
2.求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是(0°,90°].
课时规范训练
(时间:
60分钟)
A组 专项基础训练题组
一、填空题
1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的
____________条件.
2.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确
的命题是________(填序号).
①P∈a,P∈α⇒a⊂α;
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
3.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的
______________条件.
4.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,
有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确结论的序号为 .
5.下列命题中不正确的是________.(填序号)
①没有公共点的两条直线是异面直线;
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;
③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;
④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.
6.在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异
面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
二、解答题
8.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、DC的延长线交于K,求证:
M、N、K三点共线.
B组 专项能力提升题组
一、填空题
1.在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点:
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三
个面为直角三角形,一个面为等腰三角形的四面体;④每个面都是等腰三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
其中正确结论的序号是______________.
2.给出命题:
①在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;
②设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
③已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;
④a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.
其中正确命题序号是________.
3.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是________.(填序号)
①若AC与BD共面,则AD与BC共面;
②若AC与BD是异面直线,则AD与BC也是异面直线;
③若AB=AC,DB=DC,则AD=BC;
④若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC.
4.如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行;
②BD与MN为异面直线;
③GH与MN成60°角;
④DE与MN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
5.如图为棱长是1的正方体的表面展开图,在原正方体中,给出下列三个命题:
①点M到AB的距离为
;
②三棱锥C—DNE的体积是
;
③AB与EF所成的角是
.
其中正确命题的序号是__________.
6.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影可能是
①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;
③同一条直线;④一条直线及其外一点.
则在上面的结论中,正确结论的编号是________.
二、解答题
7.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D
与平面ACD1的交点.求证:
D1、H、O三点共线.
答案
要点梳理
1.两点 一条直线 不在同一条直线上
2.
(1)平行 相交 任何
(2)①锐角或直角 ②
3.平行 相交 在平面内 4.平行 相交5.同一条直线
基础自测
1.②③④ 2.①②④ 3.27 4.5
题型分类·深度剖析
例1
证明
(1)连结EF,CD1,A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点,
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C,
∴EF∥CD1,
∴E、C、D1、F四点共面.
(2)∵EF∥CD1,EF ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点. 变式训练1 (1)证明 由已知FG=GA,FH=HD, 可得GH綊 AD.又BC綊 AD, ∴GH綊BC, ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)解 由BE綊 AF,G为FA中点知, BE綊FG, ∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG. 由 (1)知BG綊CH,∴EF∥CH, ∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面. 例2 解 (1)不是异面直线. 理由: 连接MN、A1C1、AC, ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊D1D,而D1D綊C1C, ∴A1A綊C1C,∴A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC,得到MN∥AC, ∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线. (2)是异面直线. 理由: 假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内, 则B∈平面CC1D1,C∈平面CC1D1. ∴BC⊂平面CC1D1,∴B∈平面CC1D1D, 这与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾. ∴假设不成立,故D1B与CC1是异面直线. 变式训练 21 例3 证明 (1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B、C、A、D∈α. ∴四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾. ∴BC与AD是异面直线. (2)如图,连结AC,BD, 则EF∥AC,HG∥AC, 因此EF∥HG;同理EH∥FG, 则EFGH为平行四边形. 又EG、FH是▱EFGH的对角线, ∴EG与HF相交. 变式训练3 解 (1)连结B1D1,BD,在平面A1C1内过P作直线l, 使l∥B1D1,则l即为所求作的直线. ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线BD. 如图 (1) (1) (2)在平面A1C1内作直线m,使直线m与B1D1相交成α角,∵BD∥B1D1,∴直线m与直线BD也成α角,即直线m为所求作的直线,如图 (2).由图知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角α∈ . (2) 当α= 时,这样的直线m有且只有一条,当α≠ 时,这样的直线m有两条. 课时规范训练 A组 1.充分不必要 2.③④ 3.充分不必要4.③④ 5. 6.①② 7.②④ 8.证明 ∵M∈PQ,直线PQ⊂面PQR,M∈BC,直线BC⊂面BCD, ∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点, 即M在面PQR与面BCD的交线l上. 同理可证: N、K也在l上.∴M、N、K三点共线. B组 1.①③④⑤ 2.② 3.③ 4.②③④5.①②③6.①②④ 7.证明 连结BD,B1D1,则BD∩AC=O, ∵BB1綊DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形,又H∈B1D, B1D⊂平面BB1D1D, 则H∈平面BB1D1D, ∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1. 即D1、H、O三点共线.
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