关于绍兴道路数学抽象及最短路径的一般解法研究.docx
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关于绍兴道路数学抽象及最短路径的一般解法研究
关于绍兴道路数学抽象及最短路径的一般解法研究
研究组成员:
李一飞胡晟杰金继辉潘皖滨
指导教师:
李瑾
研究方式:
实地调研小组讨论得出结论
关键问题:
用数学语言抽象城市道路
如何算出最短路径
成果形式:
论文
正文:
课题缘由:
城市在不断扩大的过程中,道路交通网也越来越复杂,人们比起公交车,也更倾向于驾车出行,于是制订路线便成了头等问题。
我们小组想用数学思想来求地图上任意两点间的最短路径。
小组讨论(概括):
金继辉:
关于抽象,我有想法,就像画地图那样,只不过图不需要画的太像,用线来表示路,然后标注每条路的长度。
胡晟杰:
每条路不太好,不一定非要按着地图上的方式来,我们可以把道路划分成N个段落,然后再每个段落上标注其长度。
李一飞:
抽象程度不够高,我们的最终目的是用程序框图来解决这些问题,我们没有办法让程序来理解这图,至少目前是不可能的,而且输入数据的时候也很麻烦,图的表达方式也难统一。
金继辉:
用矩阵。
李一飞:
!
!
!
金继辉:
这个不是我们学过的东西么,行和列分别表示节点,其对应的值表示两节点间的距离。
李一飞:
恩。
抽象就到这里吧,然后是最短路径?
潘皖滨:
可以随机的试验道路,找到最短的距离。
金继辉:
如果有这样子的图,
那就用从a1出发,a->b1->c1->d1算出距离后再试验a1->b1->c2->d1就像这样试完整个图。
胡胜杰:
这不是很简单么,一会会就好了。
李一飞:
……金继辉同学……你应该画一个有几百个节点的图……随机试验不太好,不过可以在短时间内找到一个可以接受的解,金继辉的方案适用于小数据量的图,比方说5个节点的,但是也只适用于图形化的数据,可我们现在只有一个表格,如果用表格如何实现呢?
金继辉:
那就先把表格转换成图?
李一飞:
……
潘皖滨:
关于最短路径,可以先找到一个比较小的子路径,然后把他们圈出来,之后想办法联系起来。
李一飞:
哦?
金继辉:
可没有那个图啊。
李一飞:
如果简单的把各个节点连接起来,可以得到一个抽象程度比较低的图。
但是这样子的图,我觉得和表格没有区别。
金继辉:
你跑题了……我们要的是这样子的图。
潘皖滨:
这样子……我可以画满一个足球场……如果你想……画满两个也可以……
李一飞:
里面有重复的,如果能剔除掉就可以得到想要的图了。
胡晟杰:
排列。
李一飞:
恩,第一部分解决了……呼……还有……是组合……
李一飞:
然后是最短路径了。
刚才有提到一点,随机算法的pass掉,但是潘皖滨说的最小值是有可行性的,可是如何区分大还是小?
潘皖滨:
取平均数,然后大于平均数的算大,小于平均数的算小……
金继辉:
如果只有5个节点,那么便有8种具有可行性的路径。
李一飞:
是排列,5个节点就是3个元素的排列即ABC,AC,BC,AC,A,B,C,和空集。
金继辉:
我是想说,我觉得在节点数很多的情况下,用试遍所有的情况来算最短路径,也不会用很多时间。
李一飞:
有6个节点时,去掉首末节点,其间还有4个节点,用0表示不经过该节点,用1表示经过该节点,则可能性有000000010010……1111便是2^4=16种,当有n个节点时,O(n)=2^(n-2),这是幂函数……
胡晟杰:
我们要挑战极限的情况,当n=34时就有43亿种排列,肯定是行不通的,潘皖滨说的最小值,也许有发展的余地。
或许每次都取最小值就能够达到最优解。
潘皖滨:
(感激……)
胡晟杰:
从路径的半中央找显然不太好。
潘皖滨:
……
胡晟杰:
从结尾?
总结:
道路抽象的思想:
用矩阵中的元素表达城市道路节点间的距离,其中行和列分别代表节点,对应的值代表节点间的距离。
用图示法来表达即用点表示道路的交点,用线表示道路,并在线上标注距离,以便于进行分析。
(节点可重复出现,同一节点之间的距离为0)
最短路径算法的思想:
将起点到终点之间的节点阶段化,再在每个阶段中寻求最优解以达到整体的最优化。
程序框图及说明:
求最短路径:
如上表格(矩阵),是一个已经抽象出来的道路图,其中总共有5个节点(A-E),同时每两个节点间都有道路相连,其中AB单元格对应的元素所代表的意义为:
从A节点到B节点的距离为7。
(经过无数次的实验,从A到的E的最短路程确定为ACDE=8或ADE=8)
二维矩阵算是最简便的抽象方法了,就像图像的解析式,但坏处是不够直观,因此还要把其中的节点用点表示出来,然后再逐个连线,并标注其距离。
从最上方的D开始标记,D到E的最短距离为3,就在D的下方写3。
然后标记C,从C到E有两条路,即CDE和CE,CDE的距离为5,CE的距离为17,最短距离为5,就在C下方写5依此类推,标记完成后如右图。
这样在A的最下的数字便是最短路径了,即8。
再由此方法和二维矩阵里的数据做比较。
从C行开始标记即元素CD。
然后找到D行,在D行中0的右边找最小的一个数字,加到元素CD上去。
从B行开始标记即元素BC。
然后找到C行,在C行中0的右边找最小的一个数字加到元素BC上去……依此类推。
最后的结果为:
A行中最小的数字便是最短路径的长度。
把上述文字抽象成一般算法便得到:
在N*N的矩阵中,从第N-2行的第N-1个元素开始标记,直到指导标记到第N-1个元素为止(包括第N-1个元素)。
标记第i行的第j个元素的方法为:
从第j行中0的右边找最小的数字,加到元素ij上。
最后,第一行中最小的数字便是最短路径的长度,最小数字的个数便是最短路径的个数。
程序框图如下:
pMap是1*N的矩阵,用乘法来将其模拟成二位矩阵,即访问ij的算式为i*iLen(矩阵宽度)+j。
回溯路径:
虽然课题是找到最短路径,但我们希望能在求出最短路径的同时找到最短的路径。
由最短路径的算法,不难看出,从节点A出发,下一个节点肯定是A行中最小元素所对应的列的节点,依次一次类推,通过求最短路径长度时所得到的pMap矩阵,便可以找到最短路径。
程序框图如下:
其中pMap为前一框图输出的pMap。
iLen为元素的个数。
(i++代表i=i+1)
课题补充:
至此,我们已经完成的固定起点终点的最短路径算法,但现实中起点以及终点往往要视现实情况而定,因此在此补充一个程序框图,用于变换输入的数据,既将指定的起点,终点分别移动到第一行和最后一行。
转换思想:
先将第一行和起始所在行,最后一行和终点所在行互换。
然后再将起始列与第一列,终止列与于最后一列互换。
若以C作为起点,D作为终点。
初始状态:
第一次交换后:
第二次交换后:
结束。
程序框图如下:
(其中iBegin为起点在pMap中所在的行
iEnd为终点在pMap中所在行
iLen为节点个数)
总结:
至此,我们小队的研究活动告一段落了。
与其品尝臭豆腐或黄酒,我们更喜欢一些有挑战性的课题。
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