高等几何第三版 朱德祥参考答案.docx
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高等几何第三版朱德祥参考答案
第一章仿射几何的基本概念
1、证明线段的中点是仿射不变性,角的平分线不是仿射不变性。
证明:
设T为仿射变换,根据平面仿射几何的基本定理,T可使等腰△ABC(AB=AC)与一般△A'B'C'相对应,设点D为线段BC的中点,则AD⊥BC,且β=γ,T(D)=D'
(图1)。
∵T保留简比不变,
即(BCD)=(B'C'D')=-1,
∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC中,β=γ。
设T(β)=β',T(γ)=γ',
但一般△A'B'C'中,过A'的中线A'D'并不平分∠A',
即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC中,设D是BC的中点,则ADᅩBC,由于
T(△ABC)=△A'B'C'(一般三角形),D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中,中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题
2、两条直线垂直是不是仿射不变性?
答:
两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明:
设仿射变换T将△ABC变为△A'B'C',D、E、F分别是BC、CA,AB边的中点。
由于仿射变换保留简比不变,所以D'=T(D),E'=T(E),F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B'
的中点,因此A'D',B'E',C'F'是△A'B'C'的三条中线(图2)。
设G是△ABC的重心,且G'=T(G)
∵G∈AD,由结合性得G'∈A'D';
又∵(AGD)=(A'G'D')即
∴G'是△A'B'C'的重心。
4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
证明:
设在仿射对应下梯形ABCD(AB⁄⁄CD)与四边形A'B'C'D'相对应,
由于仿射对应保持平行性不变,因此A'B'⁄⁄C'D',所以A'B'C'D'为梯形。
5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。
证明:
设T为仿射变换,A1B1C1D1与A2B2C2D2为两个全等矩形,其面积分别以S1=S2。
由于T保留平行性,所以:
T(A1B1C1D1)=平行四边形A'1B'1C'1D'1,面积记为:
S'1
T(A2B2C2D2)=平行四边形A'2B'2C'2D'2,面积记为:
S'2,
且S'1=KS1,S'2=KS2,
∴A'1B'1C'1D'1与A'2B'2C'2D'2是等积的平行四边形。
6、经过A(-3,2)和B(6,1)两点的直线被直线X+3y-6=0截于P点,求简比(ABP)
解:
设P点的坐标为(x0,yo)
(分割比),
且P在直线x+3y-6=0上,
解得λ=1,即P是AB中点,且(ABP)=-1。
7、证明直线Ax+By+C=0将两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的联线段分成
的比是
证明设分点为P(x0,y0),则分割比λ=,
P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,
Ax1+By1+C+λ(Ax2+By2+C)=0
8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。
证明:
若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线a'上的两段
A'B'和C'D'对应图(3)
得证。
9、证明图形的对称中心是仿射不变性,图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性?
证明:
设仿射变换T将中心对称图形F变为图形F',点O是F的对称中心,
A,B为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。
设T(O)=O',T(A)=A'T(B)=B'。
∵T(F)=F',由结合性,点A',B'在图形F'上;
由简比不变性,(ABO)=(A'B'O')。
所以F'是中心对称图形,从而图形的对称中心是仿射不变性。
如果点A、B关于直线l(平面π)对称,则线段AB⊥1(AB⊥π)。
但仿射变换不保留角的度量,所以当T(A)=A',T(B)=B',
T
(1)=1'(T(π)=π')时,线段A'B'不一定垂直线1'(平面π')。
10、在仿射坐标系下,直线方程是一次的。
证明:
设在笛氏坐标系下直线方程为:
Ax+By+C=0
(1)
(x,y)为笛氏坐标,(x',y')为仿射坐标。
笛氏到仿射的变换式为:
设其逆变换为:
将(3)式代入
(1),得
A(a1x'+a2y'+a0)+B(b1x'+b2y'+b0)+C=0,
即:
(Aa1+Bb1)x'+(Aa2+Bb2)y'+Aa0+Bb0+C=0,
记为:
是x',y'的一次式。
其中=Aa1+Bb1,=Aa2+Bb2,=Aa0+Bb0+C0
且不全为0,若不然,Aa1+Bb1=0,Aa2+Bb2=0
11、利用仿射变换式,试求在仿射变换下,三角形的面积是怎样改变的?
(从而明确1.2定理5所指常数的意义)。
解:
ΔA1A2A3和ΔA'1A'2A'3的面积分别以S,S'表示,
=
这结果与§1.2系2一致,三角形(从而多边形或曲线形)的面积经仿射变换后乘以一个常数k,此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值,仿射变换式不同,这常数也不同。
12、在等腰梯形中,两底中心,两对角线交点,两腰(所在直线)交点,这四点显然共线(在对称轴上),试用仿射变换于此图形,得出什么推广了的命题?
解:
设E,F,Q,P分别是等腰梯形ABCD下底,上底的中点,对角线交点,要腰所在直线交点,T为仿射变换,
则梯形ABCD梯形A'B'C'D',EE'为B'C'中点,FF'为A'D'中点。
∵(BDQ)=(B'D'Q'),(ACQ)=(A'C'Q'),
(BAP)=(B'A'P'),(CDP)=(C'D'P')
且E,Q,F,P共线,∴由结合性得E',Q',F',P'四点共线,但直线P'E'已不是对称轴(图4)。
由此得出,任意梯形上、下底中点,对角线交点,两腰所在直线交点凡四点共线。
13、求仿射变换的自对应点和自对应直线;
解:
求自对应点:
设x=x',y=y',因此得
解得自对应点的坐标为x=-6,y=-8。
求自对应直线,设任意直线l(u,v,w)在所给的变换下的像1'的方程为:
u'x'+v'y'+w'=0
u'(3x-y+4)+v'(4x-2y)+w'=0,或(3u'+4v')x-(u'+2v')y+4u'+w'=0。
若1为自对应直线,则u=λu',v=λv',w=λw',因此
因为u',v',w'不全为零,所以方程组
(1)有非零解。
故解得λ1=2,λ2=-1,λ3=1,
将λ1=2代入方程组
(1),得u'=4,v'=-1,w'=16。
将λ2=-1代入方程组
(1),得u'=1,v'=-1,w'=-2。
将λ3=1代入方程组
(1),得u'=0,v'=0,w'=1。
就本章内容而言,λ=1时,自对应直线不存在,故所求自对应直线为:
4x-y+16=0和x-y-2=0。
第二章欧氏平面的拓广
1、证明中心投影一般不保留共线三点的简比。
证:
设△SAC为等腰三角形(SA=SC),SB⊥AC,过A作一射线平行于SC交SB的延长线于B1,交SC于C∞(图5),则A,B1,C∞在中心S的投影下分别是A,B,C的像点,
∵(ABC)=,而(AB1C∞)=,
∴(ABC)≠(AB1C∞),即中心投影一般不保留共线三点的简比。
2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线?
(1)(1,1-1);
(2)(1,-1,0);(3)(0,1,0)。
解利用点线结合方程:
u1x1+u2x2+u3x3=0.
(1)∵u1=1,u2=1,u3=-1,∴x1+x2-x3=0,非齐次化为:
x+y-1=0.
(2)x1-x2=0或x-y=0。
(3)x2=0或y=0是x轴的方程。
3、求联接点(1,2,-1)与二直线(2,1,3),(1,-1,0)之交点的直线方程。
解先求二直线(2,1,3),(1,-1,0)的交点坐标:
x1:
x2:
x3=
再求两点(1,1,-1),(1,2,-1)的联线的坐标:
u1:
u2:
u3=所求直线方程为:
x1+x3=0或x+1=0
4、求直线(1,-1,2)与二点(3,4,-1),(5,-3,1)之联线的交点坐标。
解:
先求二点(3,4,-1),(5,-3,1)的联线坐标:
u1:
u2:
u3=
再求二直线(1,-1,2),(1,-8,-29)的交点坐标:
x1:
x2:
x3=
所求交点坐标为(45,31,-27)。
5、方程u1-u2+2u3=0代表什么?
u12-u22=0代表什么?
解:
方程u1-u2+2u3=0表点(1,-1,2)的方程
或表示以点(1,-1,2)为中心的线束方程。
∵u12-u22=(u1+u2)(u1-u2)=0,
∴u1+u2=0表示点(1,1,0)的方程;u1-u2=0表示点(1,-1,0)的方程。
∴u12-u22=0表示两点(1,1,0)和(1,-1,0)的方程。
6、将2x-y+1表示成3x+y-2,7x-y的线性组合,这种表达的几何依据何在?
解:
设2x-y+1=λ(3x+y-2)+μ(7x-y)=(3λ+7μ)x+(λ-μ)v-2λ,
得方程组
∴2x-y+1=(3x+y-2)+(7x-y)。
依据是若令它们为零,所得三直线共点。
7、将(2,1,1)表成(1,-1,1)和(1,0,0)的线性组合,这说明什么几何性质?
解:
设(2,1,1)=λ(1,-1,1)+μ(1,0,0)
(1)
则此方程组无解,
即找不到λ和μ满足
(1)式,这说明它们表示的三点(线)不共线(点)。
8、求直线x-2y+3=0上的无穷远点的坐标。
解:
x3=0是无穷远直线方程
∴
从而x1-2x2=0,取x1=2,得x2=1,所求无穷远点坐标为(2,1.0)。
9、下列概念,哪些是仿射的,哪些是欧氏的?
①非平行线段的相等;②不垂直的直线;
③四边形;④梯形;
⑤菱形;⑥平行移动;
⑦关于点的对称;⑧关于直线的对称;
⑨绕点的旋转;⑩面积的相等。
答:
①欧氏;②欧氏;③仿射;④仿射;⑤欧氏;
⑥仿射;⑦仿射;⑧欧氏;⑨欧氏;⑩仿射。
第三章一维射影几何
1、设A、B、C、D、E为直线上五点,证明(AB,CD)(AB,DE)(AB,EC)=1。
证明:
(AB,CD)(AB,DE)(AB,EC)
2、证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点。
证明:
设C为线段AB的中点,D∞为直线AB上的无穷远点,
(AB·CD∞)
3、直线上顺序四点A、B、C、D相邻两点距离相等,计算这四点形成的六个交比的值。
解:
(AB,CD)
(AB,DC)
(AC,BD)=1-(AB,CD)
(AC,DB)
(AD,BC)
(AD,CB)
4、求四点(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)顺这次序的交比。
解:
以(2,1,-1)和(1,-1,1)为基底。
则(2,1,-1)+μ1(1,-1,1)=(1,0,0)
;
(2,1,-1)+μ2(1,-1,1)=(1,5,-5)
所求交比为
5、设P1,P2,P4三点的坐标为(1,1,1),(1,-1,1),(1,0,1)且(P1P2,P3P4)=2,求点P3的坐标。
解:
以P1,P2为基底,则(1,1,1)+μ2(1,-1,1)∝(1,0,1)。
设μ1是基底P1,P2表示P3的参数,由已知条件(P1P2,P3P4)=,且μ2=1,
∴μ1=2,因此,P3的坐标为(1,1,1)+2(1,-1,1)=(3,-1,3)。
6、设A、B、C、D为共线四点,O为CD的中点,且OC2=OA·OB,证明(AB,CD)=-1
证明:
∵OC2=OA·OB,由合分比得
因此(∵OC=-OD)
,
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