必修四平面向量的概念及线性运算讲义.docx
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必修四平面向量的概念及线性运算讲义
必修四平面向量的概念及线性运算讲义
平面向量的概念及线性运算 一、向量的有关概念 向量的有关概念 1、向量的定义:
既有______又有______的量叫做向量。
2、表示方法:
用________来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的 方向表示向量的方向。
用a,b,……或用AB,CD,……表示。
3、模:
向量的______叫向量的模,记作________或_______。
几种特殊的向量 1、零向量:
长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向是________,它与任...意非零向量都共线。
........2、单位向量:
长度为____单位长度的向量叫做单位向量,常用e,i,j……表示。
与a平行的单位向量e=__________。
3、平行向量:
方向______或______的______向量;平行向量又叫____________,任一 组平行向量都可以移到同一直线上.规定:
0与任一向量______。
4、相等向量:
_______且________的两个向量,记a=b。
5、相反向量:
_______且________的两个向量,记a=-b。
例1:
下列说法中正确的是___________。
1 向量就是有向线段;零向量没有方向;若向量a与向量b平行,则向量a与向量b的方向相同或相反;两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;若向量AB与向量CD是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上。
【解析】:
变式练习1:
下列说法中正确的_____________。
单位向量都相等;︱a︱与︱b︱是否相等,与向量a与向量b的方向无关;若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;若向量a与向量b共线,向量b与向量c共线,则向量a与向量c共线;两向量a、若︱a︱=︱b︱,则a=b或ab相等的充要条件是︱a︱=︱b︱且a∥b; =-b;向量a与向量b平行,则向量a与向量b的方向相同或相反;【解析】:
变式练习2:
下列说法中正确的_________。
若向量a与向量b同向,且︱a︱>︱b︱,则a>b;于零向量方向不确定,故零向量不能与任意向量平行;若向量AB与向量CD是共线向量,则A、B、C、D在一条直线上;起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。
【解析】:
二、向量的线性运算及几何意义 向量运算定义法则(或几何意义)运算律a+b=b+a加法求两个向量和的运算(a+b)+c=a+(b+c) 2 求a与b的相反向量减法-b的和的运算叫做a与b的差?
a?
?
?
a 当?
>0时,?
a的方向与a的方向相同;当?
<a-b=a+(-b)数乘求实数?
与向量a的积的运算0时,?
a的方向与a的方向相反。
当?
?
0或a?
0时,?
(?
a)?
(?
?
)a(?
?
?
)a?
?
a?
?
b?
(a?
b)?
?
a?
?
b ?
a?
0。
结论:
设a、b为任意向量,?
、?
为任意实数,则有:
?
(?
a)?
(?
?
)a (?
?
?
)a?
?
a?
?
b ?
(a?
b)?
?
a?
?
b ||a|-|b||≤ |a+b| ≤|a|+|b| 当a与b异向共线时 当a与b同向共线时【和的模小于等模的和,大于等模的差的绝对值】 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 例2:
化简:
AB+BC+CA=________________。
AB+MB+BO+BC+OM=___________。
AB+CA-CB=________________。
AB-CD+BD-AC=________________。
NQ+MN-MP+QP=________________。
例3:
根据右图所示填空a+b= ; E 3 DedfgAcCbaB c+d= ;a+d+b= ;DE+CD+AC=______; AB+BC+CD+DE=________________。
DCBEFA变式练习1:
如图所示,在正六边形ABCDEF中,BA+ CD+EF= A:
0 B:
BE C:
AD D:
CF【解析】:
D 变式练习2:
如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AC 与BD交于点O,则OA+BC+AB=()A:
CD【解析】B B:
OCC:
DA D:
CO 变式练习3:
在平行四边形ABCD中,若︱BC+BA︱=︱BC+AB︱,则四边形ABCD 是() A:
菱形B:
正方形解析:
图知|| |=| C:
矩形D:
梯形|=||=| |,|.所以| |=| |,故四边形 ABCD为矩形. 变式练习4:
若O是△ABC所在平面内一点,且满足︱OB-OC︱=︱OB-OA+OC-OA︱,试判断△ABC的形状。
【解析】:
∵又|∴| |=||=| |, |, , ∴以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,∴此平行四边形为矩形, 4 ∴AB⊥AC,∴△ABC是直角三角形. 例4:
如右图:
在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且AB=a,AD=b,则BE=___。
【解析】:
BE=- DEABC1a+b2 例5:
在三角形OAB中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使得DB= 1OB,DC与OA交点E,设OA3=a,OB=b,用a,b表示OC,DC。
【解析一】:
∵点A是BC的中点∴BA=AC∵OA=OB+BAOA=OC+CA∴2OA=OB+BA+OC+CA 1∴OC=2OA-OB=2a-b2225∴DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b 333∴OA= 【解析二】:
∵点A是BC的中点∴BA=AC=a-b∴OC=OA+AC=a+a-b=2a-b∴DC=OC-OD=OC- 225OB=2a-b-b=2a-b333 变式练习1:
在平行四边形ABCD中,设AB=a, AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,用a、b表示MN。
【解析】:
MN= 1(b-a)4变式练习2:
在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是 5 DECAFB
BC的一个三等分点,那么EF等于 1111AB-AD B:
AB+AD23421112C:
AB+DA D:
AB-AD 2223A:
【解析】:
D 三、向量共线定理 对于向量a与b共线,当且仅当有唯一一个实数...........?
,使得b=?
a。
注意:
、向量证明a与b共线,只需证明存在实数?
,使得b=?
a即可。
、如果a=b=0,数?
仍然存在,此时?
并不唯一,是任意数值。
特别地:
两条线段平行与两条线段共线是不一样的,而两个平行向量就是共线向量。
要证明三点共线需要说两点①三点确定的向量共线;②两向量有公共点。
................................... 例6:
已知任意两非零向量a、b,试作OA?
a?
b,OB?
a?
2b,OC?
a?
3b,证明:
A、B、C三点共线。
【解析】:
∵AB=OB-OA=(a?
2b)-(a?
b)=b,BC=OC-OB=(a?
3b)-(a?
2b)=b,∴AB=BC∴所以A、B、C三点共线。
综上:
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意向量a、b及任意实数?
、?
,恒有?
(?
1a?
?
2b)?
?
?
1a?
?
?
2b。
变式练习1:
试证起点相同的三个向量a、b、3a-2b的 终点在一条直线上。
【解析】:
如图,设OA=a,OB=b,OC=3a-2b,则 AC=OC-OA=2a-2b,AB=OB-OA=b-a, ∴AC=-2AB,又因为AB与AC有共同的起点A,故A、B、C三点共线。
变式练习2:
设a、b是不共线的两个非零向量,若OA=2a-b,OB=3a+b, 若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的OC=a-3b,求证:
A、B、C三点共线;值。
6 【解析】:
AB=a+b,BC=-2a-4b,-2AB=BC ∵8a+kb与ka+2b共线,故存在实数?
,使得8a+kb=?
(ka+2b),得8a+kb=?
ka+2?
b,即?
?
?
k?
8?
?
?
2?
?
?
?
2得?
或?
∴k=±4 k?
42?
?
kk?
?
4?
?
?
例7:
已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2AC+CB=0,则 OC等于 A:
2OA-OBB:
-OA+2OBC:
2112OA+OBD:
-OA+OB3323【解析】:
A2AC=-CB=BC,故A是BC的中点。
变式练习1:
设D为△ABC所在平面内一点,且BC=3CD,则 1414A:
AD=-AB+AC B:
AD=AB-AC 33334141C:
AD=AB+AC D:
AD=AB-AC 3333【解析】BC=3CD,点D在BC的延长线上,且BC=3CD,选A ABCD变式练习2:
设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是任一非零向量,则在下列结论中:
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④︱a+b︱<︱a︱+︱b︱;⑤︱a+b︱=︱a︱+︱b︱。
正确结论的序号是_________。
【解析】①③⑤ 1变式练习3:
设P是△ABC内的一点,AP=(AB+AC),则△ABC的面积与△PBC 3的面积之比为()A:
2 B:
3 C:
1D:
63=2 . 【解析】:
设BC的中点为D,则 ∵)=, 如图,过A作AE⊥BC,交BC于点E,过P作PF⊥BC,交BC于点F, 7 则.∴=3. 答案:
B 课后综合练习 1、下列说法中正确的是( ) A:
a与b的和a+b与?
a同向、长度等于a与b的长度之和 B:
a与b的差a-b与a同向、长度等于a与b的长度之差C:
当a与b同向时,a+b与a同向、长度等于a与b长度之和D:
当a与b反向时,a-b与a同向、长度等于a与b的长度之差【解析】:
C 2、已知四边形ABCD是平行四边形,那么下列等式中恒成立的是 (A:
AC=DC+BC B:
AC=DC-ADC:
AC=CB+BA D:
AC=AB-AD【解析】:
A 3、下列各式中结果为0的有 ①BC+AB+CA ②OA+OC+BO+CO③AB-AC+BD-CD ④MN+NQ-MP+QPA:
①② B:
①③ C:
①③④ D:
①②③【解析】:
C4、下列四式中可以化简为AB的是 ①AC+CB ②AB-CB ③OA+OB ④-OA+OBA:
①④ B:
①② C:
②③ D:
③④【解析】:
A 5、已知,如右图ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中OA= 8 ) a,OB=b,OC=c,则EF= A:
a+b B:
b-a C:
c-b D:
b-c【解析】:
D 6、AC-AB等于() A:
ACB:
AB C:
BCD:
CB【解析】:
C7、在平行四边形ABCD中,AC-AD等于()A:
AB B:
BA C:
CD D:
DB【解析】:
A8、下列四式不能化简为PQ的是() A:
AB+(PA+PQ) B:
(AB+PC)+(BA-QC)C:
QC+CQ-QP D:
PA+AB+BQ【解析】:
A 9、若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是()A:
EF=OF+OE C:
EF=-OF+OE【解析】:
B 10、下列命题中是真命题的是 B:
EF=OF-OED:
EF=-OF-OE ①对任意两向量a、b均有:
︱a︱-︱b︱<︱a︱+︱b︱;②对任意两向量a、b、a-b与b-a是相反向量;③在三角形ABC中,AB+BC-AC=0;④在四边形ABCD中,(AB+BC)-(CD+DA)=0;⑤BC=AB-ACA:
①②③ B:
②④⑤C:
②③④ D:
②③【解析】:
D 11、设P是三角形ABC所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则 A:
PA+PB=0B:
PA+PC=0C:
PB+PC=0D:
PA+PB+PC=0【解析】:
BBC+BA=2BPP为AC中点 12、已知点O、A、B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且OP= A:
点P在线段AB上 B:
点P在线段AB的反向延长线上C:
点P在线段AB的延长线上 D:
点P不在直线AB上 3OA?
OB,则2【解析】:
B 2OP=3OA-OB2(OP-OA)=OA-OB2AP=BA 13、已知非零向量a,b满足︱a︱=7+1,︱b︱=7-1,且︱a-b︱=4,则︱ 9 a+b︱=________。
【解析】如图所示.设OA=a,OB=b,则|BA|=|a-b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB, 则|OC|=|a+b|.于(7+1)2+(7-1)2=42.故|OA|2+|OB|2=|BA|2,所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形,从而OA⊥OB,所以?
OACB是矩形, →→ 根据矩形的对角线相等有|OC|=|BA|=4,即|a+b|=4. →→→→→→→10
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