对数函数导学案 2.docx
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对数函数导学案2
对数函数及其性质
(1)(教学设计)
对数函数及其性质
(1)
教学任务分析
⑴使学生了解对数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;
⑵理解对数函数的概念和意义,能画出具体对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性和特殊点;
⑶在学习的过程中进一步体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般、数形结合的方法等.对数函数的概念和性质.
教学重点
与难点
重点
难点
用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质.
教学基本流程
教学情境设计
问题设计意图师生互动课后反思
6在§2.2.1的例⑴
组讨考、分T:
中,对每一个碳14含量P组织学生思论所提出的问题,注意引导学生关系通过对应,的取值用函数的观点分题释解这个问从函数定义出发析碳14含量模型变量中变量之间的关系.之间的对应关系,为引都有唯一的,:
独立思考、小组讨论,推S出对数函数做准备.举代表解释这个问题中变量间的关与与之对应,那么时间.系为什么能构成函数之间的对应碳14的含量能否构成函数?
注意引导学生把:
提出问题,T数提炼数函出对的形式,解析式概括到⑵该函数有什么特征?
型模.的取值范围注意提示a独立思考,归纳概括其特S:
)a且≠1.征..给出对数函数的定义
尝试解决教科书独立思考,S:
的对⑶你能根据指数函数利用数函数页练习对数型定71的定义解决教科书第页义求函数71第页例的和教科书第773
73页练习2例7和教科书第吗?
定义域.
,并且小组讨论、交流.2:
课堂巡视,个别辅导,针T对学生的共同问题集中解决.
问题
设计意图
师生互动
课后反思
⑷请你判断下列函数函对数中关系式那些是数?
①;的对数函数用利;②:
独立思考并口述判断结果.S定义判断对数型函数,多媒体投影结果或板书学:
T念深对加对数函数概③;.生判断结果.的理解;④⑤;.⑥引导学生回顾学要研究函T:
数的那些性质,类比研究指数函数性质的方法,讨论研究对数函数性⑷你能类比前面讨论质的方法,强调数形结合,强调函函数性质的思路及研究指函数对给出研究数图象在研究函数性质中的作用,数函数性质的方法,提出研数性质的思路.注意从具体到一般的思想方法的应数究对数函性质的方法用,渗透概括能力的培养吗?
.提出研究对数函S:
独立思考,.数性质的基本方法和思路⑸如何画出对数函数S:
独立画图,同学间交流.
这画法描会用点个别辅导,T:
课堂巡视,展示的图和化的较好的部分学生的图象(或展两个函数的图象.示自己利用几何画板画得图象).象吗?
⑹从画出的图象中你
的图能发现函数页表投影展示教科书第70T:
数对出两个总结.-2.23.以及图2-3,2.2-1,22-2,轴对称函数图象关于x的图象象和函数表述自己S:
观察图象及表格,时其解析式的特点,并用否利什么.关系?
可有的发现数画对利用轴对称性:
概括出根据对称性画对数TS函数的图象.出象画的图函数图象的方法.的图象?
课后反思师生互动问题设计意图
引导学生选取若干个不同的T:
出数底a且画的图象(或利用几何画的图象,改变底板画出⑺你能利用对数函数的对获得数函数的取值),并指导学生观察图数a的图象归纳出对数函数的性质..象,概括出指数函数的性质性质吗?
通过选取若干个不同的底S:
出a数且画的图象,观察图象,得出性质,相互交流,形成对对数函数性质的认识.
结合图象得出对数函数的性质如下表:
图象
定(0,+∞)(0,+∞)义域值RR
域取若,则;若,则;
值若.若,则.,则性恒质过过定点(1,0),即x=1时,y=0.一定点增在(+∞,)上是减函数(底数0,+∞)上是增函数(底数0在(越大,在第一象限越靠近在第轴,y在第一象限越靠近越小,x轴,在减x四象限越靠近.轴).轴)y第四象限越靠近性
奇
偶轴对称.非奇非偶函数.函数与的图象关于性渐.y轴,即x=0近线最无.值思考、小组讨论,推举代表⑻通过本节课的学习,S:
叙述,其他同学补充本么认归纳整理节课.有对你对数函数什根据学生回答的情况进行评T:
.所学知识识?
教科书是怎样研究对数函数的?
.价和补充组第课后作业6,7题.2.2A习题的增且利用单调函数的定义讨论指数函数⑼课后探究减性.
(1)
好玩的计算尺与背后的对数故事转发评论
2009-08-1820:
44
此书第一卷第三部分“分析”中首先就给出了对数的历史和演化过程。
其中提到了对数表。
由此我忽然想起一个对数表衍生出的工具:
计算尺。
2006年第6期的《环球科学》中曾有一篇文章《300年辉煌:
计算尺传奇》,正是通过这篇文章,我第一次知道了还有这么神奇的工具。
在计算器发明前,能作为计算的辅助工具的,并不只有算盘。
而且计算尺使得工程人员和科学家能以非常快的速度计算乘、除、开方、正余弦、双曲三角函数等,其很多功能是算盘所不具备的。
计算尺的原理决定了它强大的功能,以及与算盘有着本质上的不同。
计算尺的诞生可以追溯到对数的第一次应用。
1614年,苏格兰数学、物理学家约翰·纳皮尔在他的《对数原理》一书中收录了其制作的世界第一份对数表。
但直到他逝世后的1619年,计算此对数表的方法才被公开。
与此同时,瑞士人约布斯特·比尔吉独立的发明了与纳皮尔类似的方法,也计算出对数表,并于1620年出版。
1620年,为了方便的使用对数表,英国数学家埃德蒙·甘特把对数以一种特别的位置关系刻在了尺子上;大约1622年的时候,英国圣公会牧师威廉·奥特雷德把两根木制对数标尺并排放在一起,创造出了世界上第一把计算尺。
有了奥特雷德的发明,人们就可以告别对数表,只须拉拉计算尺,对一下两个因数的位置,便可得到乘法的结果。
这一发明使得计算“抛开了数字”。
此后300年间,针对不同的专业需求,人们给计算尺添加了不同的功能,极大提高了计算效率。
《环球科学》中提到的可在网站上下载的“自制计算尺”的图样已失效,不过好在杂志上也印刷了一份,复印后按照说明剪裁一下,一个小巧的计算尺就到手了。
试验过它的各种用法后,我不禁惊叹于计算尺精巧的设计和对原理巧妙的利用。
可以想见这种工具在计算器前时代起着如何重要的作用。
如果有人对计算尺感兴趣,可以在baidu或google上搜一下上面的那篇文章,还可找到部分内容。
其中有计算尺的使用示例和详细介绍,我就不再多说了。
下面记录一些更有意义的历史过程:
对数相关内容的推导。
首先是对数表的计算:
即,这样底,b的逐次整数幂相互很靠近。
1.0001<1>设底b为接近1的一个小数,比如
等差递增,;y以1设,y的值每次增加1,即数<2>基于上述的考虑(“b的逐次整数幂”),于是。
再由而对应的x,可得增加。
加,对上一个y加值,此后通过不停地对上一个x1,计<3>只要能确定一组初始的x和y算下去即可得到一张大致的对数表(注意此处得到的x值序列并非等差数列)。
比如:
基于指数函数的知识,可设x=1时,y=0。
然后
y=1x=1+0.0001=1.0001=0.0001
y=2
y=3
y=4
……
,,由此也可看到,随着x和y的增大,也即是逐渐变小逐渐变大。
不变,所以的,而
<4>为进一步提高计算出的对数表的精度,可回溯至第2步,取,则,于是
。
此加,对上一个y加0.1,计算下去即可得到一张精度后通过不停地对上一个x可取更小的小数。
更高的对数表。
如需要,
在计算对数表时,底的选取并不是一个重要的因素。
所以可以换一种方法来思考对数的求值问题。
时的情况,<1>。
然后重新定义由上面改写为。
同时新的乘以,,此后的y变为之前的yxy,。
,并有
直至最终的值开始每次增加x由1<2>由之前内容可知,,欲求对应的对数的值,可将的值即为所要求的值y开始并每次增加一个相应的时,,同时y由0,当x的值到达。
平面上画一条双曲线引入另一平面直角坐标系,横轴为轴。
在轴,纵轴为,<3>代表一个定值)、围成的曲边梯形的面积。
此然后求由(此处、、处使用积分的思路,不过,这里以等面积来划分小矩形,每个小矩形的面积都为值不同,所以、的值也不固定,即,划分的。
因为每个小矩形的小矩形不等宽。
最终求出的曲边梯形的面积为。
的对数得出的式子实际是相同的。
所以求和<3>的问题就转化为求由<4>可以看到,<2>围成的曲边梯形的面积上来了。
设、,当、、加到1由时,的相加次数趋于无穷大。
此时曲边梯形面积可表示为时此对数函数也可表示成积分的形式。
。
所以
确定的底
,并让。
将其改写为由上面,,所以<1>改写为此时,并将。
这与上面设实际是一回事,此时对数函数可用另一坐标系下的双曲线下的面积来表示。
<2>
,同时令。
即,也改写为,就有。
结合上一步,当以e为底时,。
设,即。
e可写为就是自然常数。
?
标签:
计算尺、对数
?
分类:
数学与自然科学
2009-08-1820:
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对数是由英国人纳皮尔(Napier,1550~1617)创立的,而对数(Logarithm)一词也是他所创造的。
这个词是由一个希腊语(打不出,转成拉丁文logos,意思是表示思想的文字或符号,也可说成“计算”或“比率”)及另一个希腊语(数,抱歉,我不知道拉丁文怎么写)结合而成的。
纳皮尔在表示对数时套用logarithm整个词,并未作简化。
至1624年,开普勒才把词简化为“Log”,奥特雷得在1647年也用简化过了的“Log”。
1632年,卡瓦列里成了首个采用符号log的人。
1821年,柯分用“l”及“L”分别表示自然对数和任意大于1的底的对数。
1893年,皮亚诺用“logx”及“Logx”分别表示以e为底的对数和以10为底的对数。
同年,斯特林厄姆用“blog”、“ln”及“logk.”分别表示以b为底的对数、自然对数和以复数模k为底的对数。
1902年,施托尔茨等人以“alog.b”表示以a为底的b的对数,此后经过逐渐改进演变,就成了现代数学上的表示形式。
对数于十七世纪中叶由穆尼格引入中国。
十七世纪初,薛凤祚的《历学会通》有“比例数表”(1653年,也称“比例对数表”),称真数为“原数”,称对数为“比例数”。
《数理精蕴》中则称作对数比例:
“对数比例乃西士若往·纳白尔所作,以借数与真数对列成表,故名对数表”。
此后在我国便都约定俗成,称作对数了。
对数的故事
你在对数新课里讲过对数发明的故事吗?
1614年,
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