海淀区九年级数学一模考试.docx

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海淀区九年级数学一模考试

海淀区九年级一模考试

数学2009.5

考生须知

1．本试卷共5页，共五道大题，25个小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律添涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。

4．考试结束，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的.

1．-

的相反数是

A．-2B．2C．-

D．

2．2009年北京启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设，预计北京市轨道交通投资

将达到51800000000元人民币.将51800000000用科学记数法表示正确的是

A．51.8×109B．5.18×1010C．0.518×1011D．518×108

3．如图，已知AB∥CD，点E在CD上，BC平分∠ABE，

若∠C=25°，则∠ABE的度数是

A．12.5°B．25°

C．50°D．60°

4.在樱桃采摘园，五位游客每人各采摘了一袋樱桃，质量分别为（单位：

千克）：

5，2，3，5，5，则这组数据的平均数和中位数分别为

A．4，3B．3，5C．4，5D．5，5

5．若两圆的半径分别为

和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是

A．内含B．内切C．相交D．外切

6．袋子中有5个红球，3个蓝球，它们只有颜色上的区别.从袋子中随机取出一个球，

取出蓝球的概率是

A．

B．

C．

D．

7．把代数式

分解因式，下列结果中正确的是

A．

B．

C．

D．

8．右图是画有一条对角线的平行四边形

纸片ABCD，用此纸片可以围成一个

无上下底面的三棱柱纸筒,则所围成

的三棱柱纸筒可能是

ABCD

二、填空题（本题共16分,每小题4分）

9．若实数x,y满足

，则代数式xy-x2的值为.

10．已知反比例函数y=

的图象经过点（2，3）,则k=.

11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为

1，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边上的

高为．

12．如图，在平面直角坐标系xoy中,A（-3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1,2,3,4,…）的顶点在直线AB上，其对称轴与

x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，

…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标

为;抛物线C8的顶点坐标为.

三、解答题（本题共30分,每小题5分）

13．计算：

.

①

②

14．解不等式组：

15．已知：

如图，点B、E、F、C在同一条直线上，

AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠CED．

求证：

AF＝DC．

16.计算：

.

17．已知直线l与直线y=-2x+m交于点（2，0）,且与直线y=3x平行，求m的值及直线l的解析式.

18.如图，在梯形ABCD中,AB//DC,∠D=90,∠ACD=30,

AB=12,BC=10,求AD的长.

四、解答题（本题共20分,第19题5分，第20题6分，第21题5分，第22题4分）

19．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.

（1）求证：

AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.

20.某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从

中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为94%.根

据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你根据所给信息，解答下

列问题：

（1）D型号种子数是粒；

（2）请你将图2的统计图补充完整；

（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；如果所选型号进行推广的种

子共有200000粒，估计能有多少粒种子会发芽.

图1图2

21.甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点200本图书与乙同学清

点300本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点10本，求甲同

学平均每分钟清点图书的数量．

22．我们给出如下定义：

如果四边形中一对顶点到另一对

顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个

四边形的一对等高点.例如：

如图1,平行四边形ABCD

中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是

平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D

也是平行四边形ABCD的一对等高点.图1

（1）如图2，已知平行四边形ABCD,请你在图2中画出一个只有一对等高点的四

边形ABCE（要求：

画出必要的辅助线）；

（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别

探究图3、图4中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系（S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,

△CBP,△CDP,△ADP的面积）：

①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；

②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是.

图2图3图4

五、解答题（本题共22分,第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．已知:

关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc

（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

（2）求代数式

的值；

（3）求证:

关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有两个不相等的实数根.

24．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.

原问题：

如图1，已知△ABC,∠ACB=90,∠ABC=45，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC，∠ADB=∠BEC=90，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.

小慧同学的思路是：

过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问

题得解.

小东同学说:

我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30,∠ADB=∠BEC=60.

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；

（2）如图2，若∠ABC=30，∠ADB=∠BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变，你在

（1）中

得到的结论是否发生变化？

请写出你的猜想并加以证明.

图1图2图3

25．已知抛物线经过点A（0,4）、B（1,4）、C（3,2），与x轴正半轴交于点D.

（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；

（3）在

（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC,与BE、CE分别交于

点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△EFG.设P（x,0）,△EFG与四边形FGCB

重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

数学参考答案及评分标准2009.5

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1．D2．B3．C4.C5．B6．B7．A8．C

二、填空题（本题共16分,每小题4分）

9．210．611．

12．（3，2）；（55，

）

三、解答题（本题共30分,每小题5分）

………………………………………………………4分

………………………………………………………5分

14.解：

解不等式①，得x>2;……………………………………………………2分

解不等式②，得x<3.……………………………………………………4分

所以原不等式组的解集为2

15．证明：

∵BE=CF,

∴BE+EF=CF+EF.

∴BF=EC.…………………1分

在△ABF和△DEC中，

…………………3分

∴△ABF≌△DEC.…………………………………………………………4分

∴AF＝DC.…………………………………………………………5分

16.解:

…………………………………………1分

…………………………………………………………3分

…………………………………………………………4分

．…………………………………………………………5分

17．解：

依题意，点（2，0）在直线y=-2x+m上，

∴0=-2×2+m.…………………………………………………………………1分

∴m=4.…………………………………………………………………………2分

由直线l与直线y=3x平行，可设直线l的解析式为y=3x+n.………………3分

∵点（2，0）在直线l上,

∴0=3×2+n.

∴n=-6.…………………………………………………………………4分

故直线l的解析式为y=3x-6.…………………………………………………5分

18.解:

过点B作BE⊥AC于E,则∠AEB=∠BEC=90.…………………………1分

∵AB//DC,

∴∠BAE=∠ACD=30.

又∵AB=12,

∴EB=

=6,AE=

.………………………………………2分

在Rt△BEC中,∠BEC=90,

∴EC=

…………………………………………3分

∴AC=AE+EC=

+8.……………………………………………………4分

在Rt△ADC中,∠D=90,∠ACD=30,

∴AD=

……………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分,第19题5分，第20题6分，第21题5分，第22题4分）

19．

（1）证明:

如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.

∴∠EAB+∠E=90°.……………………1分

∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，

∴∠EAB+∠BAD=90°.

∴AD是⊙O的切线.……………………2分

（2）解：

由

（1）可知∠ABE=90°.

∵AE=2AO=6,AB=4,

∴

.…………………………………………………3分

∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,

∴

…………………………………………………4分

∴

∴

.…………………………………………………5分

20．解：

（1）400.………………………………………………………1分

（2）C型号种子的发芽数为470粒.图略.……………………………………3分

（3）A型号种子的发芽率为

，

B型号种子的发芽率为

D型号种子的发芽率为

，C型号发芽率为94%．

应选D型号的种子进行推广．…………………………………………5分

200000×95%=190000（粒）.

估计能有190000粒种子会发芽.…………………………………………6分

21.解：

设甲同学平均每分钟清点图书

本，则乙同学平均每分钟清点图书（x+10）本，

依题意，得

．………………………………………………2分

解得x=20.……………………………………………………………………3分

经检验x=20是原方程的解，且符合题意．………………………………………4分

答：

甲同学平均每分钟清点图书20本．…………………………………………5分

22．解：

（1）比如：

或………………1分

（2）①S1+S4=S2+S3,S1+S3=S2+S4或S1S3=S2S4或

等.……………2分

②S1S3=S2S4或

等.……………………………………………4分

五、解答题（本题共22分,第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23.

（1）解：

由kx=x+2，得（k-1）x=2.

依题意k-1≠0.

∴

.……………………………………………………………1分

∵方程的根为正整数，k为整数,

∴k-1=1或k-1=2.

∴k1=2,k2=3.……………………………………………………………2分

（2）解：

依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），

∴0=a-b+kc,kc=b-a.

∴

=

…………………………3分

（3）证明：

方程②的判别式为Δ=（-b）2-4ac=b2-4ac.

由a≠0,c≠0,得ac≠0.

（i）若ac<0,则-4ac>0.故Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数

根.………………………………………………………………4分

（ii）证法一:

若ac>0,由

（2）知a-b+kc=0,故b=a+kc.

Δ=b2-4ac=（a+kc）2-4ac=a2+2kac+（kc）2-4ac=a2-2kac+（kc）2+4kac-4ac

=（a-kc）2+4ac（k-1）.…………………………………………………5分

∵方程kx=x+2的根为正实数，

∴方程（k-1）x=2的根为正实数.

由x>0,2>0,得k-1>0.…………………………………………………6分

∴4ac（k-1）>0.

∵（a-kc）20,

∴Δ=（a-kc）2+4ac（k-1）>0.此时方程②有两个不相等的实数根.…………7分

证法二:

若ac>0,

∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,

∴Δ1=（-b）2-4akc=b2-4akc0.

（b2-4ac）-（b2-4akc）=4ac（k-1）.

由证法一知k-1>0,

∴b2-4ac>b2-4akc0.

∴Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根.…………………7分

综上,方程②有两个不相等的实数根.

24.解:

（1）DF=EF.………………………………………………………………1分

（2）猜想：

DF=FE.

证明：

过点D作DG⊥AB于G,则∠DGB=90.

∵DA=DB,∠ADB=60.

∴AG=BG,△DBA是等边三角形.

∴DB=BA.

∵∠ACB=90,∠ABC=30,

∴AC=

AB=BG.…………………………………………………………2分

∴△DBG≌△BAC.

∴DG=BC.……………………………………………………3分

∵BE=EC,∠BEC=60,

∴△EBC是等边三角形.

∴BC=BE,∠CBE=60.

∴DG=BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90.

∵∠DFG=∠EFB,∠DGF=∠EBF,

∴△DFG≌△EFB.

∴DF=EF.……………………………………………………4分

（3）猜想：

DF=FE.

证法一：

过点D作DH⊥AB于H,连接HC,HE,HE交CB于K,则∠DHB=90.

∵DA=DB,

∴AH=BH,∠1=∠HDB.

∵∠ACB=90,

∴HC=HB.

∵EB=EC,HE=HE,

∴△HBE≌△HCE.……………………………5分

∴∠2=∠3,∠4=∠BEH.

∴HK⊥BC.

∴∠BKE=90.……………………………6分

∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,

∴∠HDB=∠BEH=∠ABC.

∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90，

∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90.

∴DB//HE,DH//BE.

∴四边形DHEB是平行四边形.

∴DF=EF.………………………………………………………………………7分

证法二：

分别过点D、E作DH⊥AB于H,EK⊥BC于K,连接HK,则

∠DHB=∠EKB=90.

∵∠ACB=90,

∴EK//AC.

∵DA=DB,EB=EC,

∴AH=BH,∠1=∠HDB,

CK=BK,∠2=∠BEK.

∴HK//AC.

∴点H、K、E在同一条直线上.…………………5分

下同证法一.

25．解:

（1）依题意,设所求抛物线的解析式为

则

………………1分

∴所求抛物线的解析式为

.……………………………………2分

由

解得x1=4,x2=-3.

∴D（4,0）.…………………………………………………………………………3分

（2）如图,过点C作CN⊥x轴于N,过点E、B分别

作x轴、y轴的垂线，两线交于点M.

∴∠M=∠CNE=90°.

设E（a,0）,EB=EC.

∴BM2+EM2=CN2+EN2.

∴

.

解得a=-1.

∴E（-1,0）.……………………………4分

（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5.

从而直线BC与x轴的交点为H（5,0）.

如图，根据轴对称性可知S△EFG=S△EFG,

当点E在BC上时，点F是BE的中点.

∵FG//BC,

∴△EFP∽△EBH.

可证EP=PH.

∵E（-1,0）,H（5,0）,

∴P（2,0）.……………………………5分

（i）如图,分别过点B、C作BK⊥ED于K,

CJ⊥ED于J,

则

.

当-1

∵PF//BC,

∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC.

∴

∵P（x,0）,E（-1,0）,H（5,0）,

∴EP=x+1,EH=6.

∴

.…………………6分

（ii）如图，当2

QM//FG,分别交EB、EC于M、N.

可证S=S四边形MNGF,△ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC.

∴

∵P（x,0）,E（-1,0）,H（5,0）,

∴EH=6，PQ=PH=5-x,EP=x+1,

EQ=6-2（5-x）=2x-4.

∴

……………7分

同（i）可得

，

∴

.…………8分

综上，