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离散数学公式

基本等值式

1.双重否定律A┐┐A

2.幂等律AA∨A,AA∧A

3.交换律A∨BB∨A，A∧BB∧A

4.结合律（A∨B）∨CA∨（B∨C）（A∧B）∧CA∧（B∧C）

5.分配律        A∨（B∧C）（A∨B）∧（A∨C）（∨对∧的分配律）

A∧（B∨C）（A∧B）∨（A∧C）（∧对∨的分配律）

6.德·摩根律     ┐（A∨B）┐A∧┐B┐（A∧B）┐A∨┐B

7.吸收律        A∨（A∧B）A，A∧（A∨B）A

8.零律     A∨11,A∧00

9.同一律        A∨0A，A∧1A

10.排中律       A∨┐A1

11.矛盾律  A∧┐A0

12.蕴涵等值式   A→B┐A∨B

13.等价等值式   AB（A→B）∧（B→A）

14.假言易位     A→B┐B→┐A

15.等价否定等值式      AB┐A┐B

16.归谬论      （A→B）∧（A→┐B）┐A

求给定公式范式的步骤

（1）消去联结词→、（若存在）。

（2）否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利用德摩根律）。

（3）利用分配律：

利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。

推理定律--重言蕴含式

（1）A（A∨B）                        附加律

（2）（A∧B）A                          化简律

（3） （A→B）∧AB                          假言推理

（4）（A→B）∧┐B┐A                     拒取式

（5）（A∨B）∧┐BA                        析取三段论

（6） （A→B）∧（B→C）（A→C）              假言三段论

（7） （AB）∧（BC）（AC）等价三段论

（8） （A→B）∧（C→D）∧（A∨C）（B∨D）        构造性二难

 （A→B）∧（┐A→B）∧（A∨┐A）B     构造性二难（特殊形式）

（9）（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D）（┐A∨┐C）破坏性二难

设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有

（1）xA（x）A（a1）∧A（a2）∧…∧A（an）

（2）xA（x）A（a1）∨A（a2）∨…∨A（an）  

设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，则

（1）┐xA（x）x┐A（x）

（2）┐xA（x）x┐A（x）

设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则

（1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B

x（A（x）∧B）xA（x）∧B

x（A（x）→B）xA（x）→B

x（B→A（x））B→xA（x）

（2）x（A（x）∨B）xA（x）∨B

x（A（x）∧B）xA（x）∧B

x（A（x）→B）xA（x）→B

x（B→A（x））B→xA（x）

设A（x），B（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，则

（1）x（A（x）∧B（x））xA（x）∧xB（x）

（2）x（A（x）∨B（x））xA（x）∨xB（x）

全称量词“”对“∨”无分配律。

存在量词“”对“∧”无分配律。

UI规则。

UG规则。

EG规则。

EI规则。

A∪B＝{x|x∈A∨x∈B}、

A∩B＝{x|x∈A∧x∈B}

A－B＝{x|x∈A∧xB}

幂集P（A）＝{x|xA}

对称差集AB＝（A－B）∪（B－A）

AB＝（A∪B）－（A∩B）

绝对补集～A＝{x|xA}

广义并∪A＝{x|z（z∈A∧x∈z）}广义交∩A＝{x|z（z∈A→x∈z）}

设A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}}B＝{{a}}C＝{a,{c,d}}

则∪A＝{a,b,c,d,e,f}

∪B＝{a}

∪C＝a∪{c,d}

∪＝

∩A＝{a}

∩B＝{a}

∩C＝a∩{c,d}

集合恒等式

幂等律A∪A＝AA∩A＝A

结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）

交换律A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A

分配律A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

同一律A∪＝AA∩E＝A

零律A∪E＝EA∩＝

排中律A∪～A＝E

矛盾律A∩～A＝

吸收律A∪（A∩B）＝AA∩（A∪B）＝A

德摩根律A－（B∪C）＝（A－B）∩（A－C）A－（B∩C）＝（A－B）∪（A－C）

～（B∪C）＝～B∩～C～（B∩C）＝～B∪～C

～＝E～E＝

双重否定律～（～A）＝A

集合运算性质的一些重要结果

A∩BA，A∩BB

AA∪B，BA∪B

A－BA

A－B＝A∩～B

A∪B＝BABA∩B＝AA－B＝

AB＝BA

（AB）C＝A（BC）

A＝A

AA＝

AB＝ACB＝C

对偶（dual）式：

一个集合表达式，如果只含有∩、∪、～、、E、＝、、，那么同时把∩与∪互换，把与E互换，把与互换，得到式子称为原式的对偶式。

有序对具有以下性质：

（1）当x≠y时，≠。

（2）＝的充分必要条件是x＝u且y＝v。

笛卡儿积的符号化表示为A×B＝{|x∈A∧y∈B}

如果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=mn。

笛卡儿积的运算性质

（1）对任意集合A，根据定义有

A×＝,×A＝

（2）一般的说，笛卡儿积运算不满足交换律，即

A×B≠B×A（当A≠∧B≠∧A≠B时）

（3）笛卡儿积运算不满足结合律，即

（A×B）×C≠A×（B×C）（当A≠∧B≠∧C≠时）

（4）笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即

A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）（B∪C）×A=（B×A）∪（C×A）

A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）（B∩C）×A=（B×A）∩（C×A）

（5）AC∧BDA×BC×D

常用的关系

对任意集合A，定义

全域关系EA={|x∈A∧y∈A}=A×A

恒等关系IA={|x∈A}

空关系

小于或等于关系：

LA={|x,y∈A∧x≤y}，其中AR。

整除关系：

DB={|x,y∈B∧x整除y}，其中AZ*，Z*是非零整数集

包含关系：

R＝{|x,y∈A∧xy}，其中A是集合族。

关系矩阵和关系图

设A={1,2,3,4}，R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}，

则R的关系矩阵和关系图分别是

定义域domR＝{x|y（∈R）}

值域ranR＝{y|x（∈R）}

域fldR＝domR∪ranR

例求R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}的定义域、值域和域。

解答domR＝{1,2,4}ranR＝{2,3,4}fldR＝{1,2,3,4}

逆R-1＝{|∈R}

右复合FG＝{|t（∈F∧∈G）}

限制R↑A={|xRy∧x∈A}

像R[A]=ran（R↑A）

例设R＝{<1,2>，<1,3>，<2,2>，<2,4>，<3,2>}

R↑{1}＝{<1,2>，<1,3>}R↑＝R↑{2,3}＝{<2,2>，<2,4>}，<3,2>}

R[{1}]＝{2,3}R[]＝R[{3}]＝{2}

设F是任意的关系，则

（1）（F-1）-1＝F

（2）domF-1＝ranF，ranF-1＝domF

设F，G，H是任意的关系，则

（1）（FG）H＝F（GH）

（2）（FG）-1＝G-1F-1

设R为A上的关系，则RIA＝IAR＝R

设F，G，H是任意的关系，则

（1）F（G∪H）＝FG∪FH

（2）（G∪H）F＝GF∪HF

（3）F（G∩H）FG∩FH

（4）（G∩H）FGF∩HF

设F为关系，A,B为集合，则

（1）F↑（A∪B）＝F↑A∪F↑B

（2）F[A∪B]＝F[A]∪F[B]

（3）F↑（A∩B）＝F↑A∩F↑B

（4）F[A∩B]F[A]∩F[B]

关系的幂运算

设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：

（1）R0＝{|x∈A}＝IA

（2）Rn+1＝RnR

幂运算的性质

设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t,使得Rs=Rt。

设R是A上的关系，m,n∈N，则

（1）RmRn＝Rm+n

（2）（Rm）n＝Rmn

设R是A上的关系，若存在自然数s,t（s

（1）对任何k∈N有Rs+k=Rt+k

（2）对任何k,i∈N有Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s

（3）令S={R0，R1，…，Rt-1}，则对于任意的q∈N有Rq∈S

自反x（x∈A→∈R），

反自反x（x∈A→R），

对称xy（x,y∈A∧∈R→∈R）

反对称xy（x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y），

传递xyz（x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R）

关系性质的等价描述

设R为A上的关系，则

（1）R在A上自反当且仅当IAR

（2）R在A上反自反当且仅当R∩IA＝

（3）R在A上对称当且仅当R＝R-1

（4）R在A上反对称当且仅当R∩R-1IA

（5）R在A上传递当且仅当RRR

（1）若R1，R2是自反的和对称的，则R1∪R2也是自反的和对称的。

（2）若R1和R2是传递的，则R1∩R2也是传递的。

关系性质的特点

自反性

反自反性

对称性

反对称性

传递性

集合表达式

IAR

R∩IA＝

R＝R-1

R∩R-1IA

RRR

关系矩阵

主对角线元素全是1

主对角线元素全是0

矩阵是对称矩阵

若rij＝1，且i≠j，则rji＝0

对M2中1所在位置，M中相应的位置都是1

关系图

每个顶点都有环

每个顶点都没有环

如果两个顶点之间有边，一定是一对方向相反的边（无单边）

如果两点之间有边，一定是一条有向边（无双向边）

如果顶点xi到xj有边，xj到xk有边，则从xi到xk也有边

关系的性质和运算之间的关系

自反性

反自反性

对称性

反对称性

传递性

R1-1

√

√

√

√

√

R1∩R2

√

√

√

√

√

R1∪R2

√

√

√

×

×

R1－R2

×

√

√

√

×

R1R2

√

×

×

×

×

闭包的构造方法

设R为A上的关系，则有

（1）自反闭包r（R）＝R∪R0

（2）对称闭包s（R）＝R∪R-1

（3）t（R）＝R∪R2∪R3∪…

关系性质与闭包运算之间的联系

设R是非空集合A上的关系，

（1）若R是自反的，则s（R）与t（R）也是自反的。

（2）若R是对称的，则r（R）与t（R）也是对称的。

（3）若R是传递的，则r（R）是传递的。

等价类的性质

设R是非空集合A上的等价关系，则

（1）x∈A，[x]是A的非空子集。

（2）x,y∈A，如果xRy，则[x]＝[y]。

（3）x,y∈A，如果R，则[x]与[y]不交。

（4）∪{[x]|x∈A}＝A。

偏序集中的特殊元素

设为偏序集，BA，y∈B。

（1）若x（x∈B→y≤x）成立，则称y为B的最小元。

（2）若x（x∈B→x≤y）成立，则称y为B的最大元。

（3）若x（x∈B∧x≤y→x＝y）成立，则称y为B的极小元。

（4）若x（x∈B∧y≤x→x＝y）成立，则称y为B的极大元

B

最大元

最小元

极大元

极小元

{2,3,6,12,24,36}

 无

无 

24，36 

2,3 

{6,12}

 12

6 

 12

 6

{2,3,6}

 6

无 

6 

2,3 

{6}

 6

6 

6

6 

B

上界

下界

上确界

下确界

{2,3,6,12,24,36}

 无

 无

 无

无 

{6,12}

 12,24,36

2,3,6 

12 

 6

{2,3,6}

 6,12,24,36

无 

6 

无 

{6}

 6,12,24,36,

2,3,6,

6 

6 

函数相等

由定义可知，两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件：

（1）domF＝domG

（2）x∈domF＝domG，都有F（x）＝G（x）

所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”，符号化表示为BA＝{f|f：

A→B}。

例：

设A＝{1,2,3}，B＝{a,b}，求BA。

BA＝{f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7}。

其中

f0＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>}f1＝{<1,a>,<2,a>,<3,b>}

f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,a>}f3＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>}

f4＝{<1,b>,<2,a>,<3,a>}f5＝{<1,b>,<2,a>,<3,b>}

f6＝{<1,b>,<2,b>,<3,a>}f7＝{<1,b>,<2,b>,<3,b>}

设f:

A→B，

（1）若ranf＝B，则称f:

A→B是满射（surjection）的。

（2）若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f（x）＝y，则称f:

A→B是单射（injection）的。

（3）若f既是满射又是单射的，则称f:

A→B是双射（bijection）

单射双射函数满射

例：

判断下面函数是否为单射、满射、双射的，为什么?

（1）f：

R→R，f（x）=-x2+2x-1

（2）f：

Z+→R，f（x）=lnx，Z+为正整数集

（3）f：

R→Z，f（x）=x（4）f：

R→R，f（x）=2x+1。

解

（1）f在x=1取得极大值0。

既不是单射也不是满射的。

（2）f是单调上升的，是单射的，但不满射。

ranf={ln1,ln2,…}。

（3）f是满射的，但不是单射的，例如f（1.5）=f（1.2）=1。

（4）f是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且ranf=R。

例：

（1）给定无向图G＝，其中V＝{v1,v2,v3,v4,v5}，

E={（v1,v1）,（v1,v2）,（v2,v3）,（v2,v3）,（v2,v5）,（v1,v5）,（v4,v5）}.

（2）给定有向图D=，其中V＝{a,b,c,d}，

E＝{,,,,,,}。

　画出G与D的图形。

邻域：

NG（v1）＝{v2，v5}后继元集：

Г+D（d）＝{c}

闭邻域：

NG（v1）＝{v1，v2，v5}先驱元集：

Г-D（d）＝{a，c}

关联集：

IG（v1）＝{e1，e2，e3}邻域：

ND（d）＝{a，c}

闭邻域：

ND（d）＝{a，c，d}

d（v1）＝4（注意，环提供2度），出度：

d+（a）＝4，入度：

d-（a）＝1

△＝4，δ＝1，（环e1提供出度1，提供入度1），

v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。

d（a）＝4+1＝5。

△＝5，δ＝3，

△+＝4（在a点达到）

度数列为4,4,2,1,3。

δ+＝0（在b点达到）

△-＝3（在b点达到）

δ-＝1（在a和c点达到）

按字母顺序，度数列：

5,3,3,3

出度列：

4,0,2,1入度列：

1,3,1,2

设G＝是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：

（1）G是树。

（2）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。

（3）G中无回路且m＝n1。

（4）G是连通的且m＝n1。

（5）G是连通的且G中任何边均为桥。

（6）G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。

例题已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树。

解答设有x片树叶，于是结点总数

n＝1+2+x＝3+x

由握手定理和树的性质m＝n1可知，

2m＝2（n1）＝2×（2+x）

＝1×3+2×2+x

解出x＝3，故T有3片树叶。

故T的度数应为1、1、1、2、2、3。

求最小生成树的算法（避圈法（Kruskal））

（1）设n阶无向连通带权图G＝有m条边。

不妨设G中没有环（否则，可以将所有的环先删去），将m条边按权从小到大排序：

e1,e2,…,em。

（2）取e1在T中。

（3）依次检查e2,…,em，若ej（j≥2）与已在T中的边不构成回路，取ej也在T中，否则弃去ej。

（4）算法停止时得到的T为G的最小生成树为止。

例：

求下图所示两个图中的最小生成树。

W（T1）＝6W（T2）＝12

T是n（n≥2）阶有向树，

（1）T为根树—T中有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1

（2）树根——入度为0的顶点

（3）树叶——入度为1，出度为0的顶点

（4）内点——入度为1，出度不为0的顶点

（5）分支点——树根与内点的总称

（6）顶点v的层数——从树根到v的通路长度

（7）树高——T中层数最大顶点的层数

根树的画法：

树根放上方，省去所有有向边上的箭头。

树叶——8片内点——6个分支点——7个高度——5

求带权为1、1、2、3、4、5的最优树。

W（T）=38

中序行遍法：

ba（fdg）ce前序行遍法：

ab（c（dfg）e）

后序行遍法：

b（（fgd）ec）a