第36课时 全等三角形含答案.docx
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第36课时全等三角形含答案
第36课时全等三角形
◆考点聚焦
1.探索并掌握两个三角形全等的特征和识别.
2.了解定义、命题、逆命题和定理的含义,会区分命题的条件和结论.
3.完成基本作图(等线段、等角、角的平分线、线段的垂直平分线);会利基本作图作三角形及过不在同一直线上的三点作圆.
◆备考兵法
1.证边角相等可转化为证三角形全等,即“要证边相等,转化证全等.”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具,若它们所在的三角形不全等,可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明.在选用ASA或SAS时,一定要看清是否有夹角和夹边;要结合图形挖掘其中相等的边和角(如公共边、公共角和对顶角等),若题目中出现线段的和差问题,往往选择截长或补短法.
2.本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式,而是在运动变化中(如平移、旋转、折叠等)寻求全等.对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等,命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形(如特殊平行四边形)中,或与其他图形变换相结合,有时也还与作图题相结合;解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形,寻找全等的条件.
◆识记巩固
1.三角形全等的识别方法:
两个三角形中对应相等的边或角
全等识别法
一般三角形
三条边
两边及其夹角
两角及其夹边
两角及一角的对边
直角三角形
斜边及一条直角边
注意:
要证全等必须满足至少一组边对应相等.
2.三角形全等的证题思路:
3.全等三角形的特征:
全等三角形的对应边_______,对应角______;图形经过_______,_______,_______等几何变换后与原图形全等.
4.________________叫做命题.正确的命题称为_______,错误的命题称为_______.
5.在几何中,限定用________和_______来画图,称为尺规作图,新课标要求掌握四种基本作图(画线段、画角、画角平分线、画垂直平分线).
6.全等三角形中常见的基本图形:
识记巩固参考答案:
1.SSSSASASAAASHL3.相等相等对称平移旋转4.可以判断正确与错误的语句真命题假命题5.直尺圆规
◆典例解析
例1考虑下面四个命题:
①有一个角是100°的两个等腰三角形相似;
②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等;
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
④对角线相等的梯形是等腰梯形.
其中正确命题的序号是()
A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④
解析很明显①和④是正确的,关键是判断②和③的正确性,②不易判断,先考虑③的正确性;对角线互相垂直且相等的四边形还有可能是等腰梯形,因此③是错误的,排除A,B,D,故选C.
答案C
点拨判断命题真假的一般方法是:
若一个命题是真命题,必须通过证明才能确定;若一个命题是假命题,则只需举出一个反例即可.在复习时,要注意积累一些解选择题的方法,如本题用排除法,只需判断③错误,即可选出正确答案.
例2(2008,新疆乌鲁木齐)在一次数学课上,王老师在黑板上画出下图,并写下了四个等式:
①AB=DC;②BE=CE;③∠B=∠C;④∠BAE=∠CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED是等腰三角形.
请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由.(写出一种即可)
已知:
求证:
△AED是等腰三角形.
证明:
解析本例是一道开放性问题,考查全等三角形的识别,填法多样,一般先看从题中已知的四个条件中取出两个共有六种取法,再看有几种正确.正确的填法可以是已知:
①③(或①④,或②③,或②④)(任选一个即可).若选①③,证明如下:
证明:
在△ABE和△DCE中,
∵
∴△ABE≌△DCE,
∴AE=DE,即△AED是等腰三角形.
点评几何演绎推理论证该如何考?
一直是大家所关注的.本题颇有新意,提供了一种较新的考查方式,让学生自主构造问题,自行设计命题并加以论证,给学生创造了一个自主探究的机会,具有一定的挑战性.这种考查的形式在近几种的中考试题中频繁出现,复习时值得重视.
例3已知Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)根据要求作图(尺规作图,保留作图痕迹,不写画法).
①作∠BAC的平分线AD交BC于点D;
②作线段AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,垂足为H;
③连结ED.
(2)在
(1)的基础上写出一对全等三角形:
△_____≌△______,并加以证明.
解析
(1)按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD,作线段AD的垂直平分线,并连结相关线段.
(2)由AD平分∠BAC,
可以得到∠BAD=∠DAC.
由EF垂直平分线段AD,
可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°,EA=ED,
从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH,再加上公共边,
从而有△AEH≌△AFH≌△DEH.
以上三组中任选一组即可.
点拨本题的最大特点是将基本作图与证明结合起来,就目前的情况来看,“作图→证明”“作图→计算”“作图→变换”是考查基本作图的常见命题模式.作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一,作图的图形中含有很多相等的线段和角,蕴含着全等三角形.
例4在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图1,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:
△DEF为等腰直角三角形;
(2)如图2,若E,F分别是AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么△DEF是否仍为等腰直角三角形?
证明你的结论.
图1图2
解析
(1)连结AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=AD,
∴∠B=∠DAC=45°.
又BE=AF,
∴△BDE≌△ADF(SAS),
∴ED=FD,∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.
(2)连结AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC.
∴∠DAC=∠ABD=45°,
∴∠DAF=∠DBE=135°.
又AF=BE,
∴△DAF≌△DBE(SAS),
∴FD=ED,∠FDA=∠EDB,
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF仍为等腰直角三角形.
例5在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G,一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到如图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察,测量DE,DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在
(2)在基础上沿AC方向继续平移到如图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否仍然成立?
(不用说明理由)
图1图2图3
解析
(1)BF=CG.
证明:
在△ABF和△ACG中,
∵∠F=∠G=90°,∠FAB=∠GAC,AB=AC,
∴△ABF≌△ACG(AAS),
∴BF=CG.
(2)DE+DF=CG.
证明:
过点D作DH⊥CG于点H(如图2).
∵DE⊥BA于点E,∠G=90°,DH⊥CG.
∴四边形EDHG为矩形,
∴DE=HG,DH∥BG,
∴∠GBC=∠HDC.
∵AB=AC,
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC.
又∵∠F=∠DHC=90°,CD=DC,
∴△FDC≌△HCD(AAS),
∴DF=CH.
∴GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG.
(3)仍然成立.
点评本题从直接证明三角形全等,到探究新的情况下如何构建新的全等三角形证明待定的数量关系,再到不同位置关系下的归纳猜想,三个问题由浅入深考查学生的不同层次的数学能力.本题还可以利用面积来进行证明,比如
(2)中连结AD.
◆中考热身
1.(2008,湖南永州)下列命题是假命题的是()
A.两点之间,线段最短
B.过不在同一直线上的三点有且只有一个圆
C.一组对应边相等的两个等边三角形全等
D.对角线相等的四边形是矩形
2.(2008,贵州遵义)如图,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于()
A.60°B.50°C.45°D.30°
3.(2008,黑龙江佳木斯)如图,∠BAC=∠ABD,请你添加一个条件:
__________,使OC=OD(只添一个即可).
4.(2008,湖北宜昌)如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD,设点E是BC的中点,点F是BD的中点.
(1)请你在图中作出点E和点F;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明)
(2)连结AE,AF,若∠ABC=∠ABD,请你证明△ABE≌△ABF.
◆迎考精练
一、基础过关训练
1.下列判断中错误的是()
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
2.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:
①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E,其中能使△ABC≌△AED的条件有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D,E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A沿顺时针旋转90°后,得到△AFB,连结EF.下列结论:
①AED≌△AEF;②ABE∽△ACD;③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2,其中正确的是()
A.②④B.①④C.②③D.①③
4.如图,已知AE=CF,∠A=∠C,要使△ADF≌△CBE,还需添加一个条件__________(只需写一个).
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
(1)图中有几对全等的三角形?
请一一列出;
(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.
6.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,点B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母).
(2)证明:
DC⊥BE.
7.如图,把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E处,BE与AD交于点F.
(1)求证:
△ABF≌△EDF;
(2)若将折叠的图形恢复原状,点F与BC边上的点M正好重合,连结DM,试判断四边形BMDF的形状,并说明理由.
8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证:
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE.
9.如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连结点D,E,F,得到△DEF为等边三角形.
求证:
(1)△AEF△CDE;
(2)△ABC为等边三角形.
10.如图,AB是⊙O的弦,矩形ABCD的边CD与⊙O交于点E,F,AF和BE相交于点G,连结AE,BF.
(1)写出图中每一对全等的三角形(不再添加辅助线).
(2)选择你在
(1)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明.
二、能力提升训练
11.如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF,解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF,BD之间的位置关系为_____,数量关系为_______;
②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动.
试探究:
当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C,F重合除外)?
画出相应图形,并说明理由(画图不写作法);
(3)若AC=4
,BC=3.在
(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.
参考答案
中考热身
1.D2.A
3.不唯一,如∠C=∠D或∠ABC=∠BAD或AC=BD或∠OAD=∠OBC
4.
(1)作图略
(2)∵BC=BD,E,F分别是BC,BD的中点,∴BE=BF.
∵AB=AB,∠ABC=∠ABD,∴△ABE≌△ABF.
迎考精练
基础过关训练
1.B2.D3.B
4.不唯一,如∠D=∠B或∠AFD=∠CEB或AD=CB
5.
(1)有三对全等三角形,分别是△ABD≌△ACD,△AED≌△AFD,△BED≌△CFD.
(2)略
6.
(1)△ABE≌△ACD,证明如下:
∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形.
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°.
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD,∴△ABE≌△ACD.
(2)证明:
由
(1)△ABE≌△ACD知,
∠ACD=∠ABE=45°.
又∠ACB=45°.
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,∴DC⊥BE.
7.
(1)证明:
由折叠可知,CD=ED,∠E=∠C.
在矩形ABCD中,AB=CD,∠A=∠C,
∴AB=ED,∠A=∠E.
∵∠AFB=∠EFD,∴△AFB≌△EFD.
(2)四边形BMDF是菱形.
理由:
由折叠可知,BF=BM,DF=DM.
由
(1)知△AFB≌△EFD,∴BF=DF.
∴BM=BF=DF=DM.
∴四边形BMDF是菱形.
8.
(1)∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=∠DCF.
在△BFC和△DFC中,
∵BC=DC,∠BCF=∠DCF,FC=FC,
∴△BFC≌△DFC.
(2)连结BD.
∵△BFC≌△DFC,∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB.
∵DF∥AB,∴∠ABD=∠FDB.
又∵BC=DC,∴∠DBC=∠BDC,
∴∠BDA=∠BDC,又BD是公共边,
∴△BAD≌△BED,∴AD=DE.
9.
(1)∵BF=AC,AB=AE,∴FA=EC.
∵△DEF是等边三角形,∴EF=DE.
又∵AE=CD,∴△AEF≌△CDE.
(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC.
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF,
∴△DEF是等边三角形,∴∠DEF=60°,∴∠BCA=60°,
同理可得∠BAC=60°.
在△ABC中,AB=BC.
∴△ABC是等边三角形.
10.
(1)△AGE≌△BGF,△AEF≌△AFE,△AEB≌△BFA.
(2)略.
能力提升训练
11.
(1)①垂直相等
②当点D在BC的延长线上时,①的结论仍成立.
由正方形ADEF,得AD=AF,∠DAF=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC.
又AB=AC,∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC.
∴∠ABC=45°,∴∠ACF=45°.
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.
(2)当∠BCA=45°时,CF⊥BD(如图1).
理由:
过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG.
可证:
△GAD≌△CAF.
∴∠ACF=∠AGD=45°.
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD.
图1图2
(3)当具备∠BCA=45°时,过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q(如图2).
∵DE与CF交于点P时,∴此时点D位于线段CQ上,
∵∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4.
设CD=x,∴DQ=4-x.
容易说明△AQD∽△DCP,
∴
,∴
,
∴CP=-
+x=-
(x-2)2+1.
∵0 ∴当x=2时,CP有最大值1.
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