人教A版12空间向量的基本定理基础练习题.docx
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人教A版12空间向量的基本定理基础练习题
人教A版1.2空间向量的基本定理基础练习题
一、单选题
1.空间四个点O,A,B,C,为空间的一个基底,则下列说法正确的是()
A.O,A,B,C四点不共线B.O,A,B,C四点共面,但不共线
C.O,A,B,C四点中任意三点不共线D.O,A,B,C四点不共面
2.如图所示,在平行六面体中,设,,,是的中点,试用,,表示()
A.B.C.D.
3.如图,平行六面体中,AC与BD的交点为点M,,,,则下列向量中与相等的向量是()
A.B.C.D.
4.已知向量是空间向量的一组基底,向量是空间向量的另外一组基底,若一向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为()
A.B.C.D.
5.设向量是空间的一个基底,则—定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是()
A.B.C.D.或
6.若是空间的一个基底,则下列各组中不能构成空间的一个基底的是().
A.,,B.,,
C.,,D.,,
7.如图,在四面体中,点是棱上的点,且,点是棱的中点.若,其中为实数,则的值是()
A.B.C.D.
8.已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且,设向量,,则()
A.B.
C.D.
二、填空题
9.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若=,=,=,则=_____.
10.在正方体中,点O是的中点,且,则的值为________.
11.已知向量{,,}是空间的一个单位正交基底,向量{+,-,}是空间的另一个基底,若向量在基底{+,-,}下的坐标为(,,3),则在基底{,,}下的坐标为______.
12.已知是空间的一个基底,若,则________.
13.在正三棱柱中,M为的重心,若,则_________.
14.如图,在平行六面体中,为与的交点,若,,,用,,表示,则________.
三、解答题
15.已知平面,四边形为正方形,G为的重心,,试用基底表示.
16.如图,在三棱锥中,G是的重心(三条中线的交点),P是空间任意一点.
(1)用向量表示向量,并证明你的结论;
(2)设,请写出点P在的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).
参考答案
1.D
【分析】
用空间向量的定义进行判断,不共面的三个向量可以作为空间的一个基底.
【详解】
由空间基底的定义,三个向量不共面,
但选项A,B,C三种情形都有可能使共面,
只有D才能使这三个向量不共面.
故选:
D.
【点睛】
本题考查基底的概念,属于基础题.
2.A
【分析】
根据空间向量的线性表示,用,,表示出即可.
【详解】
解:
是的中点,
.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了空间向量的线性表示与应用问题,是基础题目.
3.C
【分析】
根据向量基本原理和向量的线性运算,即可求解.
【详解】
.
故选:
C
【点睛】
本题考查向量的表示,属于基础题.
4.B
【分析】
设向量在基底下的坐标为,则由已知可得,从而可求出的值
【详解】
设向量在基底下的坐标为,
则,
所以解得
故在基底下的坐标为.
故选:
B
【点睛】
此题考查空间向量基本定理的应用,属于基础题
5.C
【解析】
因为向量是空间的一个基底,所以三个向量不共面,而向量与或共面,故排除选项A、B、D.故选C.
点睛:
本题考查空间向量的基底;构成空间向量的基底的三个向量要求不共面,本题中即判定选项中的向量与向量不能共面.
6.D
【分析】
由于是空间的一个基底,则可得,,不共面,然后根据空间向量的共面定理,一组不共面的向量构成空间的一个基底,对选项中的向量进行判断即可
【详解】
因为是空间的一个基底,所以,,不共面.
对于A,B,C选项,每组都是不共面的向量,能构成空间的一个基底;
对于D:
,,满足,
所以这三个向量是共面向量,故不能构成空间的一个基底.
故选:
D.
【点睛】
此题考查了空间向量共面的判断与应用,属于基础题.
7.C
【分析】
将用表示,对比系数即可.
【详解】
因为,所以,故.
故选:
C.
【点睛】
本题考查空间向量的线性运算,一定要结合图形,灵活运用三角形法则和平行四边形法则,本题是一道基础题.
8.C
【分析】
连接ON,先求出,再进一步化简即得解.
【详解】
如图所示,连接ON,
∵,,
所以,,,
∴
.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查向量的线性运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
9.
【分析】
直接利用空间向量的加法和减法法则分析求解.
【详解】
)=(+)=+)
=+=.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查空间向量的加法和减法法则,考查空间向量的线性运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10.
【分析】
在正文体中易得,再结合,利用待定系数法求解.
【详解】
在正方体中得,
又因为
所以
所以.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了空间向量的表示,还考查了数形结合的思想方法,属于基础题.
11.(1,2,3).
【分析】
把用已知基底表示后化简即可。
【详解】
由题意,
∴在基底{,,}下的坐标为。
故答案为:
。
【点睛】
本题考查空间向量的基本定理,属于基础题。
12.0
【分析】
根据空间向量基本定理确定各系数均为0.
【详解】
∵是空间的一个基底,∴,,为不共面向量.
又∵,∴,∴.
故答案为:
0.
【点睛】
本题考查空间向量基本定理,即设是空间的一个基底,则对空间任一向量存在唯一的实数对,使得.
13.
【分析】
根据空间向量的线性运算法则计算.
【详解】
如图,连接并延长,交于点D,
∵在正三棱柱中,M为的重心,,
∴
.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查空间向量基本定理,可选任意不共面的三个向量为基底,其他任意向量都可用基底表示.考查了向量的线性运算法则.
14.
【分析】
,,作为空间向量的基底,用向量线性运算法则可得.
【详解】
.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查空间向量基本定理,掌握空间向量线性运算法则是解题基础.
15.;;.
【分析】
利用空间向量加法、减法和数乘运算,用基底表示出.
【详解】
如图所示,延长交于E,则E为的中点.
.
.
.
【点睛】
本小题主要考查空间向量加法、减法和数乘的运算,属于基础题.
16.
(1);证明见解析;
(2),且.
【分析】
(1)再结合,,即可将用向量表示.
(2)点P在的内部,所以四点共面,利用共面向量定理的推论即可得.
【详解】
解析
(1).
证明如下:
.
(2)若,点P在的内部(不包括边界),
的充分必要条件是:
,且.
【点睛】
本题主要考查了空间向量基本定理,用一组基底表示向量,也考查了共面向量定理的推论,属于基础题.
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- 人教 12 空间 向量 基本 定理 基础 练习题