人教版初中数学全等三角形证明题经典50题.docx

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人教版初中数学全等三角形证明题经典50题

人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案）

1.已知：

AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD?

解析：

延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE

即:

10-2<2AD<10+24

又AD是整数,则AD=5

2.已知：

D是AB中点，∠ACB=90°，求证：

3.已知：

BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：

∠1=∠2

证明：

连接BF和EF。

因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。

所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

所以∠EBF=∠BEF。

又因为∠ABC=∠AED。

所以∠ABE=∠AEB。

所以AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。

4.

已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

证明：

过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC

5.已知：

AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：

∠B=2∠C

A

证明：

在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C

6.已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB＝∠CEF＝90°因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF所以∠B＝∠CFE因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°所以∠D＝∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因为AC＝AC所以△ADC≌△AFC（SAS）所以AD＝AF所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：

BC=AB+DC。

证明:

在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,∠EFB=∠A;AB平行于CD,则:

∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：

AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：

∠F=∠C

证明：

AB//ED,AE//BD推出AE=BD,

又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF全等于三角形DCB，

所以:

∠C=∠F

14.已知：

AB=CD，∠A=∠D，求证：

∠B=∠C

证明：

设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：

△AED是等腰三角形。

所以：

AE=DE而AB=CD所以：

BE=CE（等量加等量，或等量减等量）所以：

△BEC是等腰三角形所以：

角B=角C.

15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：

PC-PB

证明：

作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）因为PC

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

证明：

∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C

∠ABE=90-∠1=2∠C

延长BE交AC于F

因为，∠1=∠2，BE⊥AE

所以，△ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求

DC

证明：

作AG∥BD交DE延长线于G

AGE全等BDE

AG=BD=5AGF∽CDF

AF=AG=5

所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC．

证明：

延长AD至H交BC于H;BD=DC;

所以:

∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;

所以:

AB=AC;

三角形ABD全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:

AD垂直BC

19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：

∠OAB=∠OBA

证明：

因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB

所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA

20．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：

AD+BC=AB．

证明：

做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：

∠C=2∠B

证明：

在AB上找点E，使AE=AC∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD∴△ADE≌△ADC。

DE=CD，∠AED=∠C∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B

22．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：

通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．

解答：

解：

（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；

（2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．

23．已知：

如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：

△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

证明：

（1）DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。

于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。

由AE=BE，所以△AED≌△EBC。

（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。

24．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：

BD=2CE．

证明：

延长BA、CE，两线相交于点F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF∴BD=2CE

25、如图：

DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

求证：

△AED≌△BFC。

26、如图：

AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：

AM是△ABC的中线。

证明：

∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.

27、如图：

在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

求证：

BD⊥AC。

证明：

三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC

28、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：

BF=CF

证明：

在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD

∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC

29、如图：

AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：

AF=DE。

证明：

因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证明：

∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF中BE=CF（已知）∠B=∠C（已证）EM=FM（已证）∴△BME全等与△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）

∴E，M，F在同一直线上

31．已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：

△ABE≌△CDF．

证明：

∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）

32.已知：

如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：

AE＝AF。

证明：

连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：

角ABC=角ADC在结合已知条件证得：

△ADE≌△ABF

得AE=AF

33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:

∠5=∠6．

证明：

因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以∠5=∠6

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：

△ABC≌△DEF．

证明：

因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等

35．已知：

如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：

BE=CD．

证明：

因为AB=AC，所以∠EBC=∠DCB因为BD⊥AC，CE⊥AB所以∠BEC=∠CDBBC=CB（公共边）则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE＝CD

36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：

DE=DF．

解析：

（AAS）证△ＡＤＥ≌△ADF

37.已知：

如图,AC

BC于C,DE

AC于E,AD

AB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？

证明：

角C=角E=90度

角B=角EAD=90度-角BAC

BC=AE

△ABC≌△DAE

AD=AB=5

38．如图：

AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。

求证：

MB=MC

证明：

∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C

又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形

∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC

39.如图，给出五个等量关系：

①

②

③

④

⑤

．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．

已知：

求证：

证明：

已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD，在四边形ADBC中，连AB所以△ADB全等于△BCA所以角D=角C

以4,5为条件，1为结论。

即：

在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求

证明：

AD=BC因为∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C，∠A=∠B，所以2（∠A+∠D）=360°，∠A+∠D=180°，所以AB//DC

40．在△ABC中，

，

，直线

经过点

，且

于

，

于

.

（1）当直线

绕点

旋转到图1的位置时，求证：

①

≌

；②

；

（2）当直线

绕点

旋转到图2的位置时，

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）证明：

∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立，证明：

在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；

41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证：

（1）EC=BF；

（2）EC⊥BF

（1）证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F

（2）延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F（已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF

42．如图：

BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

求证：

（1）AM=AN；

（2）AM⊥AN。

证明：

（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN

（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:

BC∥EF

连接BF、CE，

证明：

△ABF全等于△DEC（SAS），

然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF

从而求得BC平行于EF

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？

请说明理由

证明：

在AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN

所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180

所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,

所以三角形EBN全等三角形EBD

所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD

45、如图,已知:

AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:

BE∥CF．

证明：

∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE，∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF

46、已知：

如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，

．

求证：

．

证明：

∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴∠C=∠A，∴AB∥CD．

47、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

AB=CD

48、如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.

结论：

CE>DE。

当∠AEB越小，则DE越小。

证明：

过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。

RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB中∠DFB=∠DBF=（180°-∠FDB）/2>45°RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF<45°∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CEAF=DE∴CE>DE

49、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：

AE＝DE.

解析：

先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCB

在证明△ABE≌△DCE

得出AE=DE

50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：

∠ADC＝∠BDE．

证明：

作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG=∠DCG=45°∵∠ACB=90°AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90°∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=CB∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE∵∠DCG=∠BCD=BD∴△CDG≌△BDE∴∠ADC=∠BDE