湖北省黄石市第八中学届九年级上期期中检测数学试题.docx
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湖北省黄石市第八中学届九年级上期期中检测数学试题
湖北省黄石市第八中学2019届九年级上期期中检测数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.方程x2=4的解是( )
A.x1=4,x2=-4B.x1=x2=2C.x1=2,x2=-2D.x1=1,x2=4
2.把方程x2-12x+33=0化成(x+m)2=n的形式,则m,n的值是( )
A.6,3B.-6,-3C.-6,3D.6,-3
3.下列四个图形中,不是中心对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
4.将y=x2+4x+1化为y=a(x-h)2+k的形式,h,k的值分别为( )
A.2,-3B.-2,-3C.2,-5D.-2,-5
5.在同一坐标系中一次函数y=ax﹣b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.一个三角形的两边长为3和8,第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根,则这个三角形的周长是( )
A.20B.20或24C.9和13D.24
7.如图,△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且∠AOC的度数为100°,则∠DOB的度数是( )
A.40°B.30°C.38°D.15°
8.用配方法解方程3x2﹣6x+1=0,则方程可变形为( )
A.(x﹣3)2=
B.3(x﹣1)2=
C.(3x﹣1)2=1D.(x﹣1)2=
9.某商品原价800元,连续两次降价a%后售价为578元,下列所列方程正确的是()
A.800(1+a%)2=578B.800(1-a%)2=578C.800(1-2a%)=578D.800(1-a2%)=578
10.把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,物体的运动路线是一条抛物线,且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足:
h=v0t-
gt2(其中g是常数,取10米/秒2).某时,小明在距地面2米的O点,以10米/秒的初速度向上抛出一个小球,抛出2.1秒时,该小球距地面的高度是( )
A.1.05米B.-1.05米C.0.95米D.-0.95米
二、填空题
11.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k的最小整数值是________.
12.已知关于
的一元二次方程
有一个非零实数根
,则
的值为_____.
13.如图,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系,跨度AB=44米,∠A=45°,AC1=4米,点D2的坐标为(-13,-1.69),则桥架的拱高OH=________米.
14.已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,则m(m+1)2﹣m2(m+3)+4的值为________
15.如图,等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点O分斜边AB为BO:
OA=1:
,将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置,则∠AQC=.
16.已知函数
,若使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为_______.
三、解答题
17.按要求解方程.
(1)x2+3x+1=0(公式法)
(2)(x-3)2+4x(x-3)=0(因式分解法).
18.如图,正方形ABCD的边长为6,E,F分别是AB,BC边上的点,且
,将
绕点D逆时针旋转
,得到
.
求证:
.
当
时,求EF的长.
19.为打造“文化九中,书香校园”,阜阳九中积极开展“图书漂流”活动,旨在让全体师生共建共享,校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现,在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍,5月份人数比4月份增加10%,6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人.
(1)求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数;
(2)列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率.
20.如图,矩形ABCD的长AD=5cm,宽AB=3cm,长和宽都增加xcm,那么面积增加ycm2.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)当增加的面积y=20cm2时,求相应的x是多少?
21.设a,b,c是△ABC的三条边,关于x的方程
x2+
x+c-
a=0有两个相等的实数根,方程3cx+2b=2a的根为x=0.
(1)试判断△ABC的形状;
(2)若a,b为方程x2+mx-3m=0的两个根,求m的值.
22.在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2
的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.
23.已知∠MAN=135°,正方形ABCD绕点A旋转.
(1)当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部(顶点A除外)时,AM,AN分别与正方形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN.
①如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是;
②如图2,若BM≠DN,请判断①中的数量关系是否仍成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部(顶点A除外)时,AM,AN分别与直线BD交于点M,N,探究:
以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由.
24.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合).
(1)求∠OBC的度数;
(2)连接CD,BD,DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE=S四边形OCDB,求此时P点的坐标;
(3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值.
参考答案
1.C
【分析】
两边直接开平方即可得到答案.
【详解】
两边直接开平方得:
x=±2.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.
2.C
【解析】
试题解析:
方程x2-12x+33=0变形得:
x2-12x=-33,
配方得:
x2-12x+36=3,即(x-6)2=3,
则m=-6,n=3.
故选C.
考点:
解一元二次方程-配方法.
3.C
【分析】
根据中心对称图形的概念求解.
【详解】
A、是中心对称图形.故错误;
B、是中心对称图形.故错误;
C、不是中心对称图形.故正确;
D、是中心对称图形.故错误.
故选C.
4.B
【分析】
根据配方法把y=x2+4x+1化成顶点式,即可求出h,k的值.
【详解】
∵y=x2+4x+1,
=(x+2)2-3,
∴h=-2,k=-3,
给选B.
【点睛】
此题考查了二次函数一般式和顶点式的互化,将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=k.
5.C
【分析】
逐一分析各选项中一次函数与二次函数的系数的符号,然后比较即可得.
【详解】
A、由抛物线可知,a>0,x=-
>0,得b<0,由直线可知,a>0,-b<0,即b>0,故本选项错误;
B、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误;
C、由抛物线可知,a<0,x=-
>0,得b>0,由直线可知,a<0,b>0,故本选项正确;
D、由抛物线可知,a<0,x=-
<0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误.
故选C.
6.A
【分析】
利用因式分解法求出已知方程的解,确定出三角形第三边,求出周长即可.
【详解】
方程x(x-9)-13(x-9)=0,
分解因式得:
(x-13)(x-9)=0,
解得:
x1=13,x2=9,
当第三边为13时,3+8=11<13,不能构成三角形,舍去;
则三角形周长为3+8+9=20.
故选A.
【点睛】
考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握分解因式方法是解本题的关键.
7.A
【解析】
解:
由题意得,∠AOD=30°,∠BOC=30°,又∠AOC=100°,
∴∠DOB=100°-30°-30°=40°。
故选A。
8.D
【分析】
方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,变形即可得到结果.
【详解】
3x2﹣6x+1=0方程变形得:
x2−2x=−
,
配方得:
x2−2x+1=
,即(x−1)2=
,
故选:
D.
【点睛】
本题考查解一元二次方程−配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
9.B
【分析】
根据平均变化率公式:
原价×(1-降价的百分率)=现价,由此即可得答案.
【详解】
由题意可得方程:
800(1-a%)2=578,
故选B.
10.C
【分析】
把t=2.1代入h=v0t-
gt2,求出h的值,然后加2即可.
【详解】
把t=2.1代入h=v0t-
gt2得,
h=10×2.1-
×10×2.12=-1.05(米),
-1.05+2=0.95(米).
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用,熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征是解答本题的关键.
11.2
【分析】
先把方程变形为关于x的一元二次方程的一般形式:
(2k﹣1)x2﹣8x+6=0,要方程无实数根,则△=82﹣4×6(2k﹣1)<0且2k﹣1≠0,解不等式,并求出满足条件的最小整数k.
【详解】
方程变形一般形式:
(2k﹣1)x2﹣8x+6=0.
∵方程2x(kx﹣4)﹣x2+6=0没有实数根,∴△=82﹣4×6(2k﹣1)<0且2k﹣1≠0,解得:
k
,所以满足条件的最小整数k=2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根.
12.1
【分析】
由于关于x的一元二次方程
有一个非零根
,那么代入方程中即可得到n2−mn+n=0,再将方程两边同时除以n即可求解.
【详解】
解:
∵关于x的一元二次方程
有一个非零根
,
∴n2−mn+n=0,
∵−n≠0,
∴n≠0,
方程两边同时除以n,得n−m+1=0,
∴m−n=1.
故答案为:
1.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解,解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题.
13.7.24
【分析】
根据题意假设适当的解析式,借助于题中数据分别求出D1点横坐标以及D1C1的长即可解答.
【详解】
设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2,将x=-13,y=-1.69代入,解得a=-
∵横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m
∴点D1的横坐标是-18,代入y=-
x2里可得y=3.24
又∵∠A=45°,
∴D1C1=AC1=4m
∴OH=3.24+4=7.24m.
【点睛】
考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
14.3
【解析】
试题分析:
∵m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根,∴m2﹣m﹣1=0,∴m2=m+1,
∴m(m+1)2﹣m2(m+3)+4
=m(m2+2m+1)﹣(m+1)(m+3)+4
=m(m+1+2m+1)﹣(m2+4m+3)+4
=3m2+2m﹣m2﹣4m﹣3+4
=2m2﹣2m+1
=2(m+1)﹣2m+1
=2m+2﹣2m+1
=3.
故答案为3.
考点:
一元二次方程的解.
15.105°.
【分析】
连接OQ,由旋转的性质可知:
△AQC≌△BOC,从而推出∠OAQ=90°,∠OCQ=90°,再根据特殊直角三角形边的关系,分别求出∠AQO与∠OQC的值,可求出结果.
【详解】
连接OQ,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠B=45°,
由旋转的性质可知:
△AQC≌△BOC,
∴AQ=BO,CQ=CO,∠QAC=∠B=45°,∠ACQ=∠BCO,
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°,∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°,
∴∠OQC=45°,
∵BO:
OA=1:
,
设BO=1,OA=
,
∴AQ=1,则tan∠AQO=
=
,
∴∠AQO=60°,
∴∠AQC=105°.
故答案为105°.
16.3
【分析】
首先在坐标系中画出已知函数
的图象,利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值.
【详解】
函数
的图象如图:
根据图象知道当y=3时,对应成立的x有恰好有三个,∴k=3.
故答案为3.
【点睛】
本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题,解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题.
17.
(1)x1=
,x2=
;
(2)x1=3,x2=
.
【分析】
(1)利用公式法求解即可求得答案;
(2)提取公因式因式分解后,即为两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【详解】
(1)x2+3x+1=0
a=1,b=3,c=1,
∴△=b2-4ac=32-4×1×1=5,
∴x1=
,x2=
;
(2)(x-3)2+4x(x-3)=0
(x-3)(x-3+4x)=0
(x-3)(5x-3)=0
∴x1=3,x2=
【点睛】
考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
18.
(1)证明见解析;
(2)FC=3.
【解析】
试题分析:
(1)由旋转可得DE=DM,∠EDM为直角,可得出∠EDF+∠MDF=90°,由∠EDF=45°,得到∠MDF为45°,可得出∠EDF=∠MDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF;
(2)由第一问的全等得到AE=CM=2,正方形的边长为6,用AB-AE求出EB的长,再由BC+CM求出BM的长,设EF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x,在直角三角形BEF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为EF的长.
(1)证明:
∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM,
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,
∴F、C、M三点共线,
∴DE=DM,∠EDM=90°,
∴∠EDF+∠FDM=90°,
∵∠EDF=45°,
∴∠FDM=∠EDF=45°,
在△DEF和△DMF中,
,
∴△DEF≌△DMF(SAS),
∴EF=MF;
(2)解:
设EF=MF=x,
∵AE=CM=2,且BC=6,
∴BM=BC+CM=6+2=8,
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x,
∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4,
在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,
即42+(8﹣x)2=x2,
解得:
x=5,
则EF=5.
点睛:
熟练掌握旋转的性质,正方形的四个角都是直角,四条边相等,勾股定理,全等三角形的判定(SAS),全等三角形的性质是解答本题的关键.
19.
(1)1440人;
(2)20%
【分析】
(1)5月份借阅了名著类书籍的人数是1000(1+10%),则6月份借阅了名著类书籍的人数为:
5月份借阅了名著类书籍的人数+340人;
(2)根据增长后的量=增长前的量×(1+增长率).设平均每年的增长率是x,列出方程求解即可.
【详解】
解:
(1)由题意,得
5月份借阅了名著类书籍的人数是:
1000×(1+10%)=1100(人),
则6月份借阅了名著类书籍的人数为:
1100+340=1440(人);
(2)设平均增长率为x.
1000(1+x)2=1440,
解得:
x=0.2.
答:
从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率为20%.
【点睛】
本题是一道数学应用题中的增长率问题的实际问题,考查了列一元二次方程解实际问题的运用及一元二次方程的解法的运用,解答中对结果验根是否符合题意是解答的关键.
20.
(1)y=x2+8x;
(2)2cm.
【解析】
【分析】
(1)根据题意,借助于矩形面积,直接解答;
(2)在
(1)中,把y=20代入即可解答.
【详解】
(1)由题意可得(5+x)(3+x)-3×5=y,化简得:
y=x2+8x.
(2)把y=20代入解析式y=x2+8x中,得x2+8x-20=0,
解得x1=2,x2=-10(舍去).
∴当增加的面积为20cm2时,相应x为2cm.
【点睛】
本题考查的是二次函数的实际应用及一元二次方程的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型,难度不大.
21.
(1)∵
x2+x+c-
a=0有两个相等的实数根,
∴△=()2-4×
(c-
a)=0,
整理得a+b-2c="0"①,
又∵3cx+2b=2a的根为x=0,
∴a="b"②,
把②代入①得a=c,
∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形;
(2)a,b是方程x2+mx-3m=0的两个根,
∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根
∴△=m2-4×(-3m)=0,
即m2+12m=0,
∴m1=0,m2=-12.
当m=0时,原方程的解为x=0(不符合题意,舍去),
∴m=-12.
【分析】
(1)因为方程有两个相等的实数根,即△=0,由△=0可以得到一关于a,c的方程,再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0,代入即可得到一关于a,b的方程,联立即可求出a,b,c的关系.
(2)根据
(1)中求出a,b的值,可以关于m的方程,解方程即可求出m.
【详解】
解:
∵
有两个相等的5t实数根,
∴
,
整理得
①,
又∵
的根为
,
∴
②,
把②代入①得
,
∴
,
∴
为等边三角形;
,
是方程
的两个根,
∴方程
有两个相等的实数根
∴
,
即
,
∴
,
.
当
时,原方程的解为
(不符合题意,舍去),
∴
.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的跟的判别式△=b2-4ac:
当△>0,方程有两不相等的实数根;当△=0,方程有两相等的实数根;当△<0,方程有无实数根.
22.
(1)理由见解析;
(2)BE=
.
【解析】
(1)延长EB交DG于点H,先证出Rt△ADG≌Rt△ABE,得出∠AGD=∠AEB,﹢根据∠HBG=∠EBA,得出∠HGB+∠HBG=90°即可;
(2)过点A作AP⊥BD交BD于点P,根据△DAG≌△BAE得出DG=BE,∠APD=90°,求出AP、DP,利用勾股定理求出PG,﹢根据DG=DP+PG求出DG,最后根据DG=BE即可得出答案.
解:
(1)如解图①所示,延长EB交DG于点H.
∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,
∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,
∴△ADG≌△ABE(SAS),∴∠AGD=∠AEB.
在△ADG中,∠AGD+∠ADG=90°,
∴∠AEB+∠ADG=90°.
在△EDH中,∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°,
∴∠DHE=90°,即DG⊥BE
(2)如解图②,连结DG,过点A作AM⊥DG交DG于点M,
∠AMD=∠AMG=90°.
∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,
∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,即∠DAG=∠BAE.
在△ADG和△ABE中,
∴△ADG≌△ABE(SAS),∴DG=BE.
∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠MDA=45°.
在Rt△AMD中,∠MDA=45°,
∵AD=2,∴DM=AM=,
在Rt△AMG中,根据勾股定理得:
GM=
=.
∵DG=DM+GM=+,
∴BE=DG=+
23.
(1)①MN=BM+DN;②成立;
(2)直角三角形.
【分析】
(1)①如图1,先证明△ADN≌△ABM,得到AN=AM,∠NAD=∠MAB,得到∠NAD=∠MAB=67.5°.作AE⊥MN于E,由等腰三角形三线合一的性质得出MN=2NE,∠NAE=67.5°.再证明△ADN≌△AEN,得出DN=EN,进而得到MN=BM+DN;
②如图2,先证明△ABM≌△ADP,得出AM=AP,∠1=∠2=∠3,再计算出∠PAN=135°.然后证明△ANM≌△ANP,得到MN=PN,进而得到MN=BM+DN;
(2)如图3,将△ABM绕点A逆时针旋转90°,得到△ADE,连结NE.由旋转的性质得到DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°.先证明△AMN≌△AEN.得到MN=EN.由DN,DE,NE为直角三角形的三边,得到以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是直角三角形.
【详解】
(1)①如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN.理由如下:
在△ADN与△ABM中,∵AD=AB,∠ADN=∠ABM,DN=BM,
∴△ADN≌△ABM(SAS),∴AN=AM,∠NAD=∠MAB,
∵∠MAN=135°,∠BAD=90°,∴∠NAD=∠MAB=
(360°﹣135°﹣90°)=67.5°,
作AE⊥MN于E,则MN=2NE,∠NAE=
∠MAN=67.5°.
在△ADN与△AEN中,∵∠ADN=∠AEN,∠NAD=∠NAE,AN=AN,
∴△ADN≌△AEN(AAS),∴DN=EN,
∵BM=DN,MN=2EN,∴MN=BM+DN.
故答案为MN=BM+DN;
②如图2,若BM≠DN,①中的数量关系仍成立.理由如下:
延长NC到点P,使DP=BM,连结AP.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABM=∠ADC=90°.
在△ABM与△ADP中,∵AB=AD,∠ABM=∠ADP,BM=DP,
∴△ABM≌△ADP(SAS),∴AM=AP,∠1=∠2=∠3,
∵∠1+∠4=90°,∴∠3+∠4=90°,
∵∠MAN=135°,
∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣(∠3+∠4)=360°﹣135°﹣90°=135°.
在△ANM与△ANP中,∵AM=AP,∠MAN=∠PAN,AN=AN,
∴△ANM≌△ANP(SAS),∴MN=PN,
∵PN=DP+DN=BM+DN,∴MN=BM+DN;
(2)以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是直角三角形.理由如下:
如图3,将△ABM绕点A逆时针旋转90°,得到△ADE,连结NE.由旋转的性质得:
DE=BM,AE=AM,∠EAM=90°,∠NDE=90°.
∵∠MAN135°,∴∠EAN360°
∠MAN
∠EAM=135°,
∴∠EAN=∠MAN.
在△AMN与△
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