高考数学同步专题突破及解析 2.docx

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高考数学同步专题突破及解析2

2.1.2　数列的递推公式（选学）

学习目标

　1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.

知识点一　递推公式

如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an－1（或前几项）（n≥2）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.

特别提醒：

（1）与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.

（2）递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式.

（3）递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.

知识点二　递推公式与通项公式的比较

通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.

思考　

（1）已知求a4；

（2）已知an＝2n，求a4.

答案　

（1）a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋2＝6，a4＝a3＋2＝8；

（2）a4＝2×4＝8.

1.数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N＋，则a2＝2a1.（　√　）

2.利用an＋1＝2an，n∈N＋可以确定数列{an}.（　×　）

3.an＝n与y＝x的图象是相同的.（　×　）

4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示.（　√　）

题型一　由数列前若干项归纳递推公式

例1　图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式.

解　如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第

（2）个是第

（1）个的3倍，第（3）个是第

（2）个的3倍，故有递推公式个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n-1，n∈N＋.

反思感悟　求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.

跟踪训练1　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1（n≥2，n∈N＋）个三角形数多________个石子.

答案　n

解析　∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.

题型二　数列的递推公式

命题角度1　由递推公式求前若干项

例2　设数列{an}满足写出这个数列的前5项.

解　由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.

引申探究

若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N＋，求a2019.

解　a2＝＝＝－3，

a3＝＝＝－，

a4＝＝＝，

a5＝＝＝2＝a1，

∴{an}是周期为4的数列，

∴a2019＝a4×504＋3＝a3＝－.

反思感悟　递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.

跟踪训练2　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N＋，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？

你能否求出该数列中的第2019项？

解　a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….

发现：

an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.

证明如下：

∵an＋2＝an＋1－an，

∴an＋3＝an＋2－an＋1＝（an＋1－an）－an＋1＝－an.

∴an＋6＝－an＋3＝－（－an）＝an.

∴数列{an}是周期数列，且T＝6.

∴a2019＝a336×6＋3＝a3＝1.

命题角度2　由递推公式求通项

例3　

（1）对于任意数列{an}，等式：

a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝an（n≥2，n∈N＋）都成立.试根据这一结论，完成问题：

已知数列{an}满足：

a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N＋，求通项an；

（2）若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an（n≥2，n∈N＋）成立.试根据这一结论，完成问题：

已知数列{an}满足：

a1＝1，＝（n≥2，n∈N＋），求通项an.

解　

（1）当n≥2时，

an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）

＝1＋

＝2（n－1）＋1＝2n－1.

a1＝1也符合上式，

所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N＋.

（2）当n≥2时，an＝a1···…·

＝1···…·＝.

a1＝1也符合上式，

所以数列{an}的通项公式是an＝，n∈N＋.

反思感悟　形如an＋1－an＝f（n）的递推公式，可以利用a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝an（n≥2，n∈N＋）求通项公式；形如＝f（n）的递推公式，可以利用a1···…·＝an（n≥2，n∈N＋）求通项公式.以上方法分别叫叠加法和叠乘法.

跟踪训练3　已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N＋，求数列的通项公式an.

解　∵an＋1－an＝－，

∴a2－a1＝－，

a3－a2＝－，

a4－a3＝－，

…，

an－an－1＝－（n≥2），

∴（a2－a1）＋（a3－a2）＋（a4－a3）＋…＋（an－an－1）

＝＋＋…＋，

即an－a1＝1－（n≥2，n∈N＋）.

∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－（n≥2，n∈N＋），

又当n＝1时，a1＝－1也符合上式.∴an＝－，n∈N＋.

1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是（　　）

A.an＋1＝an＋n，n∈N＋

B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2

C.an＋1＝an＋（n＋1），n∈N＋

D.an＝an－1＋（n－1），n∈N＋，n≥2

答案　C

解析　由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N＋，故选C.

2.已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋（－1）n（n≥2，n∈N＋）且a1＝1，则等于（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　由a1＝1得a2a1＝a1＋（－1）2，则a2＝2；

由a3a2＝a2＋（－1）3，得a3＝；同理得a4＝3，a5＝，故＝＝，故选B.

3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0（n∈N＋），则此数列的通项an等于（　　）

A.n2＋1B.n＋1C.1－nD.3－n

答案　D

解析　∵an＋1－an＝－1.

∴当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）

＝2＋

＝2＋（－1）×（n－1）＝3－n.

当n＝1时，a1＝2也符合上式.

故数列的通项an＝3－n（n∈N＋）.

4.数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1（n∈N＋），则x2019＝________.

答案　1

解析　∵x1＝1，∴x2＝－，∴x3＝1，

∴数列{xn}的周期为2，∴x2019＝x1＝1.

5.用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________.

答案　an＝2n＋1，n∈N＋

解析　a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，

a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N＋.

1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.

2.数列的表示方法

（1）图象法；

（2）列表法；（3）通项公式法；（4）递推公式法.

3.通项公式和递推公式的区别：

通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.

一、选择题

1.数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是（　　）

A.an＋1＝2anB.an＋1＝－2an

C.an＋1＝anD.an＋1＝－an

答案　D

2.已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋（n∈N＋），则此数列的第4项是（　　）

A.1B.C.D.

答案　B

解析　a2＝a1＋＝1；a3＝a2＋＝；a4＝a3＋＝.

3.已知数列{an}中，an－1＝man＋1（n>1，n∈N＋），且a2＝3，a3＝5，则实数m等于（　　）

A.B.C.2D.3

答案　A

解析　由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，∴m＝.

4.已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N＋），则数列的通项公式为（　　）

A.an＝3n＋1B.an＝3n

C.an＝3n－2D.an＝3（n－1）

答案　C

解析　∵an＝an－1＋3（n≥2，n∈N＋），∴an－an－1＝3.

∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，

以上各式两边分别相加，得an－a1＝3（n－1），

∴an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝3n－2，a1＝1也符合上式，故选C.

5.若a1＝1，an＋1＝（n∈N＋），则给出的数列{an}的第4项是（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝.

6.已知数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30（n∈N＋），则数列中最大项的值是（　　）

A.107B.108C.108D.109

答案　B

解析　由已知得an＝－2n2＋25n＋30＝－22＋108，

由于n∈N＋，故当n取距离最近的正整数6时，an取得最大值108.

∴数列{an}中的最大项的值为a6＝108.

二、填空题

7.已知数列{an}中，a1＝2，an＝－（n≥2，n∈N＋），则a2019＝________.

答案　2

解析　∵a2＝－＝－，a3＝－＝2，a4＝－＝a2，

∴{an}的周期为2，∴a2019＝a1＝2.

8.若数列{an}满足（n－1）an＝（n＋1）an－1（n≥2，n∈N＋），且a1＝1，则a100＝________.

答案　5050

解析　由（n－1）an＝（n＋1）an－1，即＝（n≥2，n∈N＋），

则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5050.

9.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2（n∈N＋），则a9＝________.

答案　

解析　a1a2…a8＝82，①

a1a2…a9＝92，②

②÷①得a9＝＝.

10.如图是一棵小树的生长示意图，第二年新生枝桠2个，第三年新生枝桠4个，……，

设第n年新生枝桠数为an，则数列{an}的递推公式为________.

答案　an＝

三、解答题

11.根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式.

（1）a1＝0，an＋1＝an＋2n－1（n∈N＋）；

（2）a1＝1，an＋1＝an＋（n∈N＋）.

解　

（1）a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.

猜想an＝（n－1）2（n∈N＋）.

（2）a1＝1，a2＝，a3＝＝2，a4＝.

猜想an＝（n∈N＋）.

12.已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an（n≥2，n∈N＋），求数列{an}的通项公式.

解　∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，

∴－＝1.

∴当n≥2时，

＝＋＋＋…＋

＝2＋

＝n＋1.

∴＝n＋1，∴当n≥2时，an＝.

∵a1＝也符合上式，∴an＝（n∈N＋）.

13.已知数列{an}满足：

a1＝m（m为正整数），an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值.

解　若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0（舍去），若a2为偶数，则＝1，a2＝2.

若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝（舍去），

若a1为偶数，＝2，a1＝4；

若a3为偶数，则＝4，a3＝8，

若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝（舍去）.

若a2为偶数，则＝8，a2＝16.

若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.

若a1为偶数，则＝16，a1＝32.

故m所有可能的取值为4,5,32.

14.由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝

，则b6的值是（　　）

A.9B.17C.33D.65

答案　C

解析　∵bn＝

，∴b2＝

＝a2＝3，b3＝

＝a3＝5，b4＝

＝a5＝9，b5＝

＝a9＝17，b6＝

＝a17＝33.

15.在一个数列中，如果对任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.

答案　28

解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4（a1＋a2＋a3）＝4×（1＋2＋4）＝28.