初中数学第17章几何不等式与极值问题竞赛专题复习人教版含答案.docx
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初中数学第17章几何不等式与极值问题竞赛专题复习人教版含答案
初中数学第17章几何不等式与极值问题竞赛专题复习(人教版含答案)
第17章几何不等式与极值问题
17.1.1★一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求的最大值.解析考虑这个凸行边形的个外角,有个角,故有(严格小于是由于4个钝角的外角和大于),因此,的最大值是7.易构造这样的例子。
如果恰好有个钝角,则的最大值是.17.1.2★在中,,为边的高上的一点,求证:
.解析易知,又,故有.评注读者不妨考虑是角平分线与中线的情况.17.1.3已知四边形,、交于,和的面积分别为3、12,求四边形面积的最小值.解析易知,故.从而,且当(此时四边形为一梯形)时等号成立,所以此时四边形面积达到最小值27.17.1.4★已知:
直角三角形中,斜边上的高.
(1)求证:
;
(2)求.解析,由条件,知,且,于是.注意:
这同时解决了
(1)和
(2).17.1.5★设矩形,,,动点、分别在、上,且,求面积的最小值.解析设,,则。
由。
故.当时达到最小值.17.1.6★设是定角内一定点,过作动直线交两边于、,求证:
面积最小时,为的中点.解析如图,连结,设,,,由
,得。
又左式,故。
达到最小值时,须,故为之中点.17.1.7★正三角形的边长为1,、、分别在、、上,,求的最大面积。
解析如图,设,,,则,,,。
,于是问题变为求的最小值,展开后约去,即求的最大值.由不等式知,当时,,此时的面积达到最大值。
.17.1.8★设是边长为l的正三角形,过顶点引直线,顶点、到的距离记为、,求的最大值.解析如图,若穿过,则由“直角边小于斜边”知,取到等号时仅当.若不经过,取中点,作,在上,则,取到等号仅当.综上所述,的最大值为。
17.1.9在数1、、、、、、、、、中,若任找三个数能组成三角形的三边,则称这三个数是“好搭档”,则总共有多少组“好搭档”?
解析此题可分类讨论。
显然1不可能为边.由于,故,,,,,中任三数可构成三角形的三边,一共有组。
当最大边为时,次大边只能为,最小边为或,有2组。
当最大边为时,次大边为或.次大边为时,最小边,故可取;次大边为时,最小边,可取与共有8组.当最大边为时,次大边为、、.次大边为时,最小边,可取;次大边为时,最小边,可取;次大边为时,最小边,可取和。
共有11组。
综上所述,总共有41组.17.1.10★设,、是上的两个定点,是上的一个动点,问当在什么位置时,最小?
解析如图,设,,,不妨设。
则,,故。
显然当时,最小。
评注容易验证,此时为的中点在上的射影。
17.1.11★设直角中,,求证:
.解析如图,作关于的对称点,连结、,则.取等号仅当为等腰直角三角形。
17.1.12★是的边上一点,为的内心,是的内心,是的中点,求证:
.解析如图,连结、、、,则,,又,故,于是结论成立。
评注三角形某边上的中线分别大于、等于、小于该边的充要条件是该边所对内角为锐角、直角或钝角,这是一个常见的结论.17.1.13★★已知凸六边形中,,,,求证:
.解析如图,作、、,于是出现三组全等三角形。
这样便有,即.同理有.评注不破除对称性,此题就比较复杂(当然不是所有的题目都能带给你好运).另外,用这种方法还能证明.17.1.14★★已知矩形,,,是上一点,、延长后交于,直线垂直于,交于,若为中点,求.又条件同上,若的长度不固定,求的最小值.解析如图,设,由∽,得,代入得。
又∽,得,。
由,得,或,解得。
若长度不固定,设其为,,,故由得,或,由得。
可取的最小值是,此时为中点。
17.1.15★★设为的内心,是内部的一点,满足.求证:
,并说明等号成立的充分必要条件是.解析易知,因此.故、、、四点共圆,即点在的外接圆上。
记的外接圆为,则的中心为的的中点,即为的平分线与的交点。
在中,有,故.等号成立的充分必要条件是点位于线段上,即.17.1.16★★延长一凸四边形形的四边和对角线,得六条直线,任两条直线有一个不大于的夹角(这些线无两条平行),求这些夹角中最小的一个的最大值.解析如图,标好各角,则,故总有一角,当为正三角形,、时最小角达到最大值17.1.17★★凸四边形中,点、分别是、的中点,若,求证:
。
解析如图,连结、,易知.又,,因此,即.17.1.18★★★在三角形中,,,.是平面上任意一点,求的最小值.解析因为.下面来求.延长至,使得,连结,则,所以∽,故,所以,即,故.所以,所求的最小值为.17.1.19★★在锐角三角形中,求证:
.解析当时,显然有.下面不妨设.在上取点,使.作角平分线、高,则垂直平分.又作于,与交于,则.17.1.20★★中,点为之中点,点、分别在、上,求证:
.解析如图,连结、,则由,得.而,故.于是结论成立.17.1.21★★设、、为三角形三边长,则对任意实数、、,有.解析设,,则,原式.它的判别式.于是.17.1.22★已知图中窗框总材料一定,问何时窗的面积最大?
(图中6个矩形全等)解析设,,则总材料为(为常数),面积为.于是,代入,得.这个二次函数在时取到极大值,此时、均有实际意义.取得窗的最大面积为.17.1.23★★和都是边长为1的正方形,且.两个正方形重叠部分的面积为,求两个正方形中心距离的最小值.解析如图,设的中心为,的中心为,过、分别作,,、交于.又设两正方形重叠部分为矩形,,,则,,同理,所以.所以,.当,时等号成立.故所求的最小值为.17.1.24★★在锐角的边、、上各有一动点、、,求证:
的周长达到最小当且仅当、、为的三条高.解析如图,设关于、的对称点分别为、,与交于,与交于,则的周长.这里为的高,为的外接圆半径.又由对称性,除了外,、也分别必须垂直于、时方能达到.17.1.25★★直角三角形内切圆半径为1,求其面积的最小值.解析设该直角三角形直角边长为、,则易知其内切圆半径为,整理,得,或,此即.由于每条直角边均大于内切圆直径2,故,于是,直角三角形最小面积为,此时该三角形为等腰直角三角形.17.1.26★★梯形高为,上底,对角线交于,求用、表示与面积之和的最小值.解析如图,作与、垂直,垂足分别是、.设,则,,解得,,于是.设,则有解,故,即,即,的最小值为,故最小面积为.此时.17.1.27★★设是的边的中点,、分别在边、上,,试比较与的大小关系.解析如图,延长至使,由,知≌,故.又垂直平分,故,易见,所以.17.1.28★★一凸六边形每条边长均为1,求证:
、、中至少有一个.解析如图,由于,不妨设,作菱形,则,,则是最小边,,又,故.17.1.29★★在正内,是一动点,求以在三边上的射影为顶点的三角形面积的最大值.解析如图,内一点在、、的射影分别为、、,则.由熟知的不等式,及为常数(的高),得.等式成立,仅当,此时为的中心.17.1.30★★证明:
四边形四边的平方和不小于对角线的平方和,等号成立仅当该四边形为平行四边形时.解析如图,设中点为,由中线长公式知,.又由基本不等式,有,故用中线长公式代入,即得四边形四边平方和的不等式.等号成立时、、共线,且为中点,即、互相平分,于是四边形为一平行四边形.评注又由托勒密不等式,知有,等号成立仅当四边形为矩形.17.1.31★★设面积为1的锐角三条边分别是、、,动点在上,在上的射影是,求面积的最大值(用、、表示).解析如图,作于.因为(常数),于是.当,即或时,可为中点,此时,从而可得最大值为.当,即时,.当落在上,达到最小,达到最大.此时的最大值为.17.1.32★★设为定线段上一定点,为动点,的长度固定,求之最大值.解析由斯图沃特定理,注意等式右端为定值.又由柯西不等式(或展开后移项配方)有,,于是的最大值是,此时,为的平分线.17.1.33★★直角三角形的直角顶点在直角三角形的斜边上,而在的斜边上,如、、、分别等于10、15、12、12,求凸四边形之面积的最大值.解析如图,由四边形面积公式,知.取等号须,.此时若将点位于中点,则由、的值易知在平分线上,垂直平分,垂直平分,进而由、之值可知在上,满足要求.所以的最大值为.17.1.34★★凸四边形一内点到四个顶点的距离分别是1、2、3、4,求这样的四边形的最大面积.解析设凸四边形内有一点,,,,,2,3,4},则.等号成立,必须,比如,,,,且、、共线,、、共线,,此时,,取最大值.17.1.35★★面积为1的三角形中,三条边长、、满足,求的最小值.解析如图,过作直线,又作于,延长一倍至,连结.则.这里.显然有,于是.仅当、、共线,即,且时取等号,此时为等腰直角三角形.17.1.36★★三角形两边长分别等于10和15,证明:
这两个边的夹角的角平分线小于12.解析如图,不妨设,,为角平分线.今在上取一点,使,则易知,故,又由知,于是.显然12是最佳上界.17.1.37★★正三角形边长为1,、、分别在、、上(含顶点),,求的最大周长和最小周长.解析如图,易知.由等知的周长,达到最大值时、、分别落在的三个顶点上.又作的平分线,、分别与垂直于、,由于,,故,取等号时,且、是、的中点,同理有,,故的周长,取等号仅当、、为各边之中点时.17.1.38★★已知面积为的梯形满足,为边上一点,且满足,直线、、交出的三角形面积为.当最大时,求.解析如图,设与交于,与交于,则.设,,,即,,又设,,则,解出,即.于是要达到最大,即达最大,其中.令,则,仅当时达到最大,此时.17.1.39★★已知的边、上分别有点、,在上,求证:
,并求等号成立的条件.解析如图,连结、.设,,,则.同理.于是.开方即得结论.取等号时,即是中位线,为中点.17.1.40★★已知中,,于,的平分线交于,交于,是的中点,连结,设、、的周长分别为、、.求的最大值.解析易知,可得,则平分,而,所以,可推得∽∽.因此,.设,因为,,所以.因此,,所以,当,即时,有最大值.17.1.41★★、是的中线,且,设,.
(1)求之长(用、表示);
(2)若存在,求的范围.解析
(1)设交于,则为的重心,故,,设,,因、、为直角三角形,于是有:
由①+②得,由③得,即.
(2)如果存在,则,于是有:
从而不等式④恒成立;由不等式⑤得:
,解之得:
.由于,结合不等式⑤的解,得:
.所以,当时,存在.17.1.42★★中,点、、分别在、、上,求证:
,并求等号成立的条件.解析如图,.易知,仅当为中点时取等号,同理,,于是记,则.所以,取等号时仅当、、为各边中点.17.1.43★★★已知:
锐角中,角平分线、中线、高交于一点,证明:
.解析如图,若,则由于,得,故,.作边上的中线,交于,易知在内,于是,故在直角三角形中,,矛盾,于是.17.1.44★★★证明托勒密定理和托勒密不等式:
对于凸四边形,,等号成立仅当、、、共圆.解析如图,今在或延长线上取一点,在或延长线上取一点,使,连结、、.易知∽,故,同理,,又∽,故.由于,上几式代入,得,去分母,即得托勒密不等式.等式成立的条件是、、共线,此时,即、、、共圆.17.1.45★★★边长为1的正方形内部或边界上有个点,则必有两点距离,.解析如图,先说明一个结果:
中为角平分线,是的反向延长,则由,得,.先考虑的情形,假定、、三点在正方形(边长1)内或边上.若在内,则可用角平分线反向延长,交到正方形某边或顶点为,这样的每边都不小于的相应边.于是、、三点最终都被“调”到正方形的边或顶点上.再通过平移,必能使某点落在正方形的顶点上,其余点若在正方形内,再按上述办法继续调,最终三个顶点都落在正方形边界上,且其中至少有一个点的正方形的顶点.不妨设落在的位置,若在或上,则,于是由对称性,可设在上,而在上.如图.若,则,,同理,.综上所述结论成立.以下讨论的情形.由于正方形内或边上最远两点距离是正方形对角线长度,故正方形(边长1)中四点、、、中任两点距离.如四点构成凸四边形,不妨设,则,所以、中有一个.如四点中位于内或边上,不妨设,同理得.17.1.46★★★设三边长分别为、、,、分别在、上,且平分的面积,求的最值(用、、表示).解析如图,设、为中线.设,,则由,有.又由余弦定理,.因为常数,故的大小取决于.由于为常数,故是的增函数.当取最大值,需最大或最小,最大为(这时取最小值),最小为(这时取最大值).因此的最大值是、中短边上的中线.比如当时,的最大值为.记,若,,则可取到,于是当时,的最小值为.当或时,比如时,总不会小于,此时时,最小,就是,即为、中长边上的中线,所以在的前提下,最小值是.时可以类推.17.1.47★★在中,、、分别为、、的中点,为斜边的高的垂足,是的中点.设为上的任一点,求证:
取最大的角便是.解析连结,则为斜边上的中线,故.、分别为、中点,故,所以,,从而.又,故≌.于是有,.延长至,使,连结,易知≌.从而.结合知为线段的垂直平分线.设为上任一异于的点,则,且易知(若在的左边,,在的右边,则).从而,在与中,与为对顶角,于是有:
(等号当且仅当点与点重合时取到).这就证明了取最大角时便是.17.1.48★★★设四边形四边依次为、、、,则其面积不大于,其中.取到最大值时,仅当四边形内接于圆.解析如图,连结、,交于,,则由四边形的余弦定理(见题13.1.7),得,又,两式平方后相加,得,即.由托勒密不等式(参见题17.1.44),有,故.由托勒密定理知,仅当内接于圆时,面积取最大值.17.1.49★★★中,、分别是边、上的点,且.如果、、的周长依次为、、,求证:
.解析因为,所以,∽,;又,所以∽,,设,,由∽得,,这样,由,,可得.当,即时,等号成立.17.1.50★★★为内一点,过引三条边的平行线,,.、、、、,为各边上的点(如图),记为六边形的面积,为的面积.证明:
.解析可以从、,的面积与的面积关系入手.设,,,,,.易知∽∽∽,所以,,,由此可得.由柯西不等式知:
,从而.而四边形、、均为平行四边形,所以,即.17.1.51★★★直角三角形中,,,,、、分别在、、上,求的最小值.解析如图,猜想最小值是当为正三角形时取到.为求此值,不妨设图中的为正三角形.作,在上.当在上时,故、,至等距,在上亦然.于是,,,而显见,故.当时,达最小值.若能证明对一般的动点、、,有,问题就解决了.用反证法,假定,,.设的费马点为(图中未画出),则,设,,,则由余弦定理,知①-②,得,②-③,得,故,,,代入②得,于是,,,代入上式得,,,.于是,矛盾!
因此的最小值为.评注实为费马点的等角共扼点的垂足三角形.其实也等于,为向外作的正三角形.17.1.52★★★证明:
若、、能构成三角形的三边长,则、、也能.又若、、构成锐角三角形三边长,则、、呢?
解析不妨设≥≥>0,问题归结为:
若,则.证明如下:
.当、、构成锐角三角形时,、、也构成锐角三角形,证明如下(仍设≥≥>0):
由于,下证即可,此等价于,由于,又,两式相加即得结论.17.1.53★★★点、、分别在、、上,若分别记、、为、、,证明:
,当且仅当、、共点时等号成立.解析设,,,则,,,于是命题得证.仅当时取等号,由塞瓦逆定理知,此时必有、、共点.17.1.54★★★已知定角内有一定点,动直线过,交两边于、,求之最小值(假定,,).解析如图,由面积得,即,此式可化为.用柯西不等式(或展开后用平均不等式),可得,故的最小值为.等号成立,仅当.其与联立,可解得,.又作,与交于,则,,这样的、的确存在.17.1.55★★★★已知锐角三角形,、、分别是、、上的动点,求证:
达到最小时,满足、、,及等价的,此处为重心,并用三边及面积表示这个最小值.解析如图,先设、固定,为中点,则.当达最小时,应有,如对三边作处理,便有、、,此时,,故,,同理此值为,此即.下证此时的确实达到三边之平方和最小.先求此值,设,,,则.又,同理有另两式,加之,得.下证对于一般的,有.找到重心,由中线长,易知有.评注这里用到柯西不等式,不难得出等号成立之条件.此题还包含了另一个问题:
三角形内求一点至三边距离平方和最小.17.1.56★★★已知,、分别在、上,、交于,记、、的面积分别是、、,求的最小值(假定、已知,用、表示之).解析如图,若设,′,则由简单的比例知′,又,故最小值为,达到此值时′,即.17.1.57★★★已知三边分别为、、,其中、确定,为中点,,求的最大值(不固定,用、表示).解析易知,(延长一倍至并连即知).于是,下证此式.这等价于,这可由及推出,故的最大值为,仅当或时成立.17.1.58★★★★(费马光行最速原理)光线由到,在介质分界面上折射.设为上一点,直线、与所夹锐角分别为、,又设′是上另一点.求证:
当、(光线在两种不同介质中的速度)满足时必有.解析作点关于直线的对称点,则有,′′,.过作的垂线,过作的垂线,两垂线交于点,且与分别交于、.在中,′′.由正弦定理,得,故′′,即,得.17.1.59★★★★内(或边界上)有一点,,,.<<,求的最大值(用、表示,需分情况讨论).解析易知.如图,延长至,使,则,且、、、共圆,于是四边形为等腰梯形,因此.问题归结为求的最大值.当然是希望,这样.下面来研究的可取范围,设.由于,,因此.在中,由等腰三角形知(见题9.2.3),即.因为<,故左式<1,总有解,下面讨论之.
(1)当时,可取,此时的最大面积正是;
(2)当时,取,则,得最大值为.17.1.60★★★★已知:
定角,内有一定点,平分,,过作一动直线交两边于、(、),过、分别作、的垂线交于.求四边形面积的最大值,并刻画此时的位置.解析不妨设,,作于,则,,同理.由正弦定理,,或,故,,又,故.下面求出与之间的关系.由,得,不妨设,于是.由此得,.又.于是当时,达到最大值(一般情况下.当时达到最大值),此时.17.1.61★★★★的边内有一点,,又在上找一点,使(比靠近),过任作一直线,交于,交的延长线于,求证:
.解析1如图(),连结、,显然、均为锐角.由梅氏定理,有,于是欲证结论变成求证,或.作于,连结、,注意左边为.于是结论成立.解析2如图(),作、与垂直,垂足为、.由梅氏定理知,用及代入,得,或,如图()所示,此即,于是.17.1.62★★★★已知非钝角三角形,上的一些点,以中(包括边界和内部)的为最远,这些点构成的线段长为,同理定义、,求证:
,其中,,.解析不妨设≥≥.首先证明一个结果:
设为内部或边界上任一点,则中离最远的点是的顶点.为证明这一点,只需连结、、,不妨设任一点在内,如图(),延长与交于,或,故,结论成立.于是对内任一点,只要比较它与、、的距离即可.如图(),由≥≥,作、、的中垂线、、,其中、、分别是三边中点,、在上,在上.易知,,.于是.由于边上的高不在外,故,同理,于是有考虑到,有,于是结论成立.
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