北京市一零一中学届高三数学月考试题 文.docx
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北京市一零一中学届高三数学月考试题文
北京市一零一中学2018届高三数学3月月考试题文
一、选择题:
本大题共8小题,共40分。
1.已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|lnx>0},则AB是
A.{x|x>0}B.{x|x>2}
C.{x|1 2.已知i为虚数单位,设复数z满足z+i=3,则|z|= A.3B.C.4D.10 3.某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位: 件),整理得下表: 日需求量n 14 15 16 18 20 频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 试估计该商品日平均需求量为 A.16B.16.2C.16.6D.16.8 4.“sin=”是“cos2=0”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.下列函数中,是奇函数且在(0,1)内是减函数的是 ①f(x)=-x3②f(x)=()|x|③f(x)=-sinx④f(x)= A.①③B.①④C.②③D.③④ 6.某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为l,则该四棱锥的体积为 A.B.4C.D.4 7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆。 后人将这个圆称为阿氏圆。 若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是 A.2B.C.D. 8.如图,△PAD为等边三角形,四边形ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD。 若点M为平面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为 A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.一段圆弧 D.一条线段 二、填空题: 本大题共6小题。 共30分。 9.执行如图所示的程序框图,输出S的值为___________. 10.已知双曲线C的中心在原点,对称轴为坐标轴,它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线C的方程是___________。 11.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,则·=___________。 12.若变量x,y满足约束条件则x2+y2的最小值为___________。 13.高斯说过,他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题。 一位同学受到启发,按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”: (1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积; (2)左图阴影区域面积用a,b,c,d表示为__________; (3)右图中阴影区域的面积为; (4)则柯西不等式用字母a,b,c,d可以表示为(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)。 请简单表述由步骤(3)到步骤(4)的推导过程: _____________。 14.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-kx(k∈R)。 ①当k=l时,函数g(x)有__________个零点; ②若函数g(x)有三个零点,则k的取值范围是___________。 三、解答题: 本大题共6小题,共80分。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x。 (I)求f(x)的最小正周期; (II)求证: 当x∈[0,]时,f(x)≥0。 16.(本小题满分13分) 已知由实数构成的等比数列{an}满足a1=2,a1+a3+a5=42。 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求a2+a4+a6+…+a2n。 17.(本小题满分13分) 2017年,世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行。 整个比赛精彩纷呈,参赛选手展现出很高的竞技水平,为观众奉献了多场精彩对决。 图1(扇形图)和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计。 两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1。 在乒乓球比赛中,接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法。 选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1,其中的前4项技术统称反手技术,后3项技术统称为正手技术。 图1 选手乙的接发球技术统计表 技术 反手拧球 反手搓球 反手拉球 反手拨球 正手搓球 正手拉球 正手挑球 使用次数 20 2 2 4 12 4 1 得分率 55% 50% 0% 75% 41.7% 75% 100% 表1 (I)观察图1,在两位选手共同使用的8项技术中,差异最为显著的是哪两项技术? (II)乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球。 从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次,至少抽出一次反手拉球的概率是多少? (III)如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看(不考虑使用次数),你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定? (结论不要求证明) 18.(本小题满分14分) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC。 已知D是BC的中点,AB=AA1=2。 (I)求证: 平面AB1D⊥平面BB1C1C; (II)求证: A1C∥平面AB1D; (III)求三棱锥A1-AB1D的体积。 19.(本小题满分14分) 已知椭圆C: (b>0)的一个焦点坐标为(2,0)。 (I)求椭圆C的方程; (II)已知点E(3,0),过点(1,0)的直线l(与x轴不重合)与椭圆C交于M,N两点,直线ME与直线x=5相交于点F,试证明: 直线FN与x轴平行。 20.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=xcos+a,a∈R。 (I)求曲线y=f(x)在点x=处的切线的斜率; (II)判断方程f'(x)=0(f'(x)为f(x)的导数)在区间(0,1)内的根的个数,说明理由; (III)若函数F(x)=xsinx+cosx+ax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围。 参考答案 一、选择题: 本大题共8小题,共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A A B A D 二、填空题: 本大题共6小题,共30分。 题号 9 10 11 12 13 14 答案 48 2 8 ac+bd;两个要点: (1)两图中的阴影部分面积相等; (2)|sin∠BAD|≤1 1,(0,] 三、解答题: 本大题共6小题,共80分。 15.解: (I)因为f(x)=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x =1+sin2x-cos2x=sin(2x-)+1。 所以函数f(x)的最小正周期为。 …………………………7分 (II)由(I)可知,f(x)=sin(2x-)+1。 当x[0,]时,2x-[-,],sin(2x-)[-,1], sin(2x-)+1∈[0,+l]。 当2x-=-,即x=0时,f(x)取了最小值0。 所以当x∈[0,]时,f(x)≥0。 …13分 16.解: (I)由可得2(1+q2+q4)=42。 由数列{an}各项为实数,解得q2=4,q=2。 所以数列{an}的通项公式为an=2n或an=(-1)n-1·2n………………7分 (II)当an=2n时,a2+a4+a6+…+a2n=·(4n-1); 当an=(-1)n-1·2n时,a2+a4+a6+…+a2n=·(1-4n)。 ....13分 17.解: (I)根据所给扇形图的数据可知,差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术。 ……………2分 (II)根据表1的数据可知,选手乙的反手拉球2次,分别记为A,B,正手拉球4次,分别记为a,b,c,d。 则从这六次拉球中任取两次,共15种结果,分别是: AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd。 其中至少抽出一次反手拉球的共有9种,分别是: AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd。 则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次,至少抽出一次反手拉球的概率 。 ………………10分 (III)正手技术更稳定。 ……………………13分 18.(I)证明: 由已知△ABC为正三角形,且D是BC的中点,所以AD⊥BC。 因为侧棱AA1⊥底面ABC,AA1∥BB1,所以BB1⊥底面ABC。 又因为AD底面ABC,所以BB1⊥AD。 而B1BBC=B,所以AD⊥平面BB1C1C。 因为AD平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面BB1C1C。 …5分 (II)证明: 连接A1B,设A1BAB1=E,连接DE。 由已知得,四边形A1ABB1为正方形,则E为A1B的中点. 因为D是BC的中点,所以DE∥A1C。 又因为DE平面AB1D,A1C平面AB1D, 所以A1C∥平面AB1D。 ………………………10分 (III)由(II)可知A1C∥平面AB1D,所以A1与C到平面AB1D的距离相等, 所以。 由题设及AB=AA1=2,得BB1=2,且。 所以=×, 所以三棱锥A1-AB1D的体积为。 …………………………14分 19.解: (I)由题意可知所以a2=5,b2=1。 所以椭圆C的方程为=1………3分 (II)①当直线l的斜率不存在时,此时MN⊥x轴。 设D(1,0),直线x=5与x轴相交于点G,易得点E(3,0)是点D(1,0)和点G(5,0)的中点,又因为|MD|=|DN|,所以|FG|=|DN|。 所以直线FN∥x轴。 ②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0), M(x1,y1),N(x2,y2)。 因为点E(3,0),所以直线ME的方程为y=(x-3)。 令x=5,所以yF=(5-3)=。 由消去y得(1+5k2)x2-10k2x+5(k2-1)=0。 显然>0恒成立。 所以x1+x2=,x1x2=。 因为y2-yF=y2-== == =·, 所以y2=yF。 所以直线FN∥x轴。 综上所述,所以直线FN∥x轴。 ……………14分 20.解: (I)f'(x)=cosx-xsinx·k=f'()=。 ……………………3分 (II)设g(x)=f'(x),g'(x)=-sinx-(sinx+xcosx)=-2sinx-xcosx. 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,则函数g(x)为减函数。 又因为g(0)=1>0,g (1)=cos1-sin1<0, 所以有且只有一个x0∈(0,1),使g(x0)=0成立。 所以函数g(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点,即方程f'(x)=0在区间(0,1)内有且只有一个实数根。 …………………………7分 (III)若函数F(x)=xsinx+cosx+ax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,由于F'(x)=f(x),即f(x)=xcosx+a在区间(0,1)内有且只有一个零点x1,且f(x)在x1两侧异号。 因为当x∈(0,1)时,函数g(x)为减函数,所以在(0,x0)上,g(x)>g(x0)=0,即f'(x)>0成立,函数f(x)为增函数; 在(x0,1)上,g(x) 则函数f(x)在
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