第20讲 共点共线共圆问题教案汇总.docx
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第20讲共点共线共圆问题教案汇总
第20讲共点、共线与共圆问题
本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常用证明方法.所谓共点,指n条(n≥3)直线经过同一点.或n个(n≥3)圆经过同一点;共线,指的三个及以上的点在同一条直线上;共圆,指不在一条直线上的三点确定一个圆,以及有四点或四个以上的点在同一个圆上.证明中常用到Menelaus定理、Ceva定理、Fermat点、Simson线、Euler线、四点共圆等知识.
A类例题
例1设线段AB的中点为C,以AC为对角线作平行四边形AECD、BFCG,又作平行四边形CFHD、CGKE,求证:
H、C、K三点共线.
分析C为AB中点,若C为HK的中点,则AKBH为平行四边形.反之,若平行四边形成立,则H、C、K共线.
证明连AK、DG、BH.
∵AD∥EC∥KG,AD=EC=KG,∴四边形AKGD是平行四边形.
∴AK∥GD,AK=GD.
同理,BH∥GD,BH=GD,∴BH∥AK,BH=AK,
∴四边形AKBH是平行四边形.故AB、HK互相平分,即HK经过AB的中点C.
∴H、C、K三点共线.
说明证明具有特殊的性质的几个点共线.
链接点共线的通常证明方法是:
通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零;还可以利用Menelaues定理及其逆定理证明三点共线等.n(n≥4)点共线可转化为三点共线.
例2求证:
过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线,交于一点.
分析画出图形,是必要的,可以研究一下两条垂线的交点的性质,不难发现证明的方法.
证明若ABCD是特殊图形(矩形、等腰梯形),易知结论成立.
如图,设圆内接四边形ABCD的对边互不平行.E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,EE'⊥CD,FF'⊥DA,GG'⊥AB,HH'⊥BC,垂足分别为E',F',G',H'.
设EE'与GG'交于点P.∵E为AB中点,∴OE⊥AB,∴OE∥EE'.
同理,OG∥EE'.∴OEPG为平行四边形.
∴OP、EG互相平分.即OP经过EG中点M.
同理,设FF'与HH'交于Q,则OQ经过FH中点N.
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,
∴EFGH是平行四边形,∴EG、FH互相平分,即EG的中点就是FH的中点于是M与N重合.
∴OP、OQ都经过点M且OP=OQ=2OM.
∴P、Q重合,即四条垂线交于一点.
说明本题利用了两条直线的交点具有某种性质来证明三线共点.
链接证明线共点还可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点、Ceva定理及逆定理等),或证明第3条直线通过另外两条直线的交点,也可转化成点共线的问题给予证明.
例3⊙O1与⊙O2相交于点A、B,P为BA延长线上一点,
割线PCD交⊙O1于C、D,割线PEF交⊙O2于E、F,
求证:
C、D、E、F四点共圆.
分析可以通过C、D、E、F连成的四边形的对角互补或
四边形的外角等于内对角来证明.
证明链接CE、DF,PC·PD=PA·PB=PE·PF.
于是,ΔPCE∽ΔPFD,
∴∠PEC=∠PDF.
∴C、D、E、F共圆.
链接证明共圆常用的方法有:
证明几个点与某个定点距离相等;如果某两点在某条线段的同旁,证明这两点对这条线段的张角相等;证明凸四边形对角互补(或外角等于内对角).(特别的,如果几个点对同一条线段张角为直角,则这几个点在以这条线段为直径的圆上.)证明这四点可以满足圆幂定理.
情景再现
1.⊙I内切于⊿ABC,D为BC上的切点,M、N分别为AD、BC的中点,求证:
M、I、N三点共线.
2.证明三角形的三条高所在直线交于一点;三条中线交于一点;三条角平分线交于一点.
3.设PQ、QR是⊙O的内接正九边形的相邻两边.A为PQ中点,B为垂直于QR的半径的中点.求∠BAO.
B类例题
例4设等腰三角形ABC的两腰AB、AC分别与⊙O切于点D、E,从点B作此圆的切线,其切点为F,设BC中点为M,求证:
E、F、M三点共线.
分析显然此圆和三角形的位置需要分情况讨论,要证明E、F、M三点共线,可以证明连线成角为0或180,于是有下面的证明.
证明∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,
∴直线AO是∠BAC的平分线.故AO所在直线通过点M.
∴∠OMB=90,又∠ODB=90,∴D、O、M、B四点共圆.
∴∠DFM=∠DOM.且∠ABM+∠DOM=180.
∵∠DFE=∠DOE=∠ABM.
∴∠DFE+∠DFM=180.
∴E、F、M共线.
如果切点F在三角形外,则由D、B、F、M、O共圆,
得∠DFM=∠DBM.
而∠DBM=∠AOD=∠DOE=∠DFE.∴∠DFM=∠DFE.
∴F、M、E共线.
说明证明三点共线常证明连线成角为0或180.
例5以锐角△ABC的BC边上的高AH为直径作圆,分别交AB、AC于M、N,过A作直线lA⊥MN,用同样的方法作出直线lB,lC,求证:
lA、lB、lC交于一点.
分析如果能证明这三条直线都经过三角形的外心,则此三线共点.
证明取△ABC的外接圆O,连HN,DB.则∠CAD与∠MNH都是∠ANM的余角,
∴∠MNH=∠CAD,
∵∠MNH=∠MAH,∠CAD=∠CBD,∴∠CBD=∠MAH,
∵∠BAH+∠ABH=90,∴∠CBD+∠CBA=90.
∴lA是⊙O的直径.即AB过⊙O的圆心O.同理lB、lC都过点O.
即lA、lB、lC交于一点.
链接利用某些特殊点证明三线共点是常用的方法,三角形的五心是经常用到的.对于三角形的五心的性质,同学们可以参见第十七讲的内容.
例6在ΔABC的边AB、BC、CA上分别取点D、E、F,使DE=BE,EF=EC.证明:
ΔADF的外接圆圆心在∠DEF的平分线上.
分析设O为ΔADF的外接圆圆心,于是OA=OD=OF.若EO是∠DEF的平分线,则出现了等线段对等角的情况,这在圆中有此性质.故应证明O、D、E、F共圆.
证明∵EC=EF,∴∠2=180-2∠C,同理,∠1=180-2∠B,
∴∠DEF=180-∠1-∠2=2(∠B+∠C)-180
=2(180-∠A)-180=180-2∠A.
但O为ΔADF的外接圆圆心,∴∠DOF=2∠A,∴∠DEF+∠DOF=180,
∴O、D、E、F四点共圆.但OD=OF,∴∠DEO=∠OEF,即O在∠DEF的角平分线上.
情景再现
4.菱形ABCD中,∠A=120°,O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F.求证:
D,E,F三点共线.
5.设P、Q、R分别为△ABC的外接圆O上弧BC、CA、AB的中点.PR、PQ分别交AB、AC于点D、E,求证:
DE∥BC.
6.以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG,△ABC的高为AH,求证:
AH、BF、CD三线交于一点.
7.如图,两个正三角形ΔEFG与ΔE'F'G'都内接于正方形ABCD,求证:
EE'GG'是平行四边形.
C类例题
例7设AD、BE、CF为△ABC的三条高,从点D引AB、BE、CF、AC的垂线DP、DQ、DR、DS,垂足分别为P、Q、R、S,求证:
P、Q、R、S四点共线.
分析这里有多个四点共圆,又有多个垂线.四点共圆,可以看成圆的内接三角形与圆上一点.故适用于Simson线.
证明设H为垂心.
由∠HDB=∠HFB=90,∴H、D、B、F四点共圆.
∵DP⊥BF,DQ⊥BH,DR⊥HF,P、Q、R分别为垂足.
∴P、Q、R共线,(△HBF的Simson线).同理,Q、R、S共线(△CEH的Simson线).
∴P、Q、R、S共线.
说明利用几何名定理(Simson线等)证明三点共线是常用方法.
链接(Simson线)设P是△ABC的外接圆上(异于A、B、C)一点,PX⊥BC,PY⊥CA,PZ⊥AB,垂足分别为X、Y、Z,则X、Y、Z共线.
例8设A1、B1、C1是直线l1上三点,A2、B2、C2是直线l2上三点.A1B2与A2B1交于L,A1C2与A2C1交于M,B1C2与B2C1交于N,求证:
L、M、N三点共线.
分析图中有许多三点共线,可以利用这些三点共线来证明L、M、N三点共线.所以可以选定一个三角形,这个三角形的三边上分别有L、M、N三点.
设A1C2与A2B1、B2C1交于P、Q,A2B1与B2C1交于R.
则只要证明··=1,则由Menelaues定理的逆定理可证明L、M、N三点共线.
证明A2C1截△PQR得,··=1,
B1C2截△PQR得,··=1,
A1B2截△PQR得,··=1,
l1截△PQR得,··=1,
l2截△PQR得,··=1.
五式相乘,即得··=1,从而L、M、N三点共线.
说明本题利用了Menelaues定理及其逆定理证明三点共线.
链接证明三点共线和三线共点常用以下两个定理:
(Menelaues定理)X、Y、Z是△ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的三点,则X、Y、Z三点共线的充要条件是··=1.
(Ceva定理)X、Y、Z是△ABC的三边BC、CA、AB上三点,,则AX、BY、CZ三线共点的充要条件是··=1.
同学们可参见本书第十八、十九讲的内容.
例9四边形内接于⊙O,对角线AC、BD交于点P,设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的外接圆圆心分别为O1、O2、O3、O4,求证:
OP、O1O3、O2O4共点.(1990年全国联赛)
证明∵O为⊿ABC的外心,∴OA=OB.
∵O1为⊿PAB的外心,∴O1A=O1B.
∴OO1⊥AB.
作⊿PCD的外接圆⊙O3,延长PO3与所作圆交于点E,并与AB交于点F,连DE,则1=2=3,EPD=BPF,
∴PFB=EDP=90.
∴PO3⊥AB,即OO1∥PO3.
同理,OO3∥PO1.即OO1PO3是平行四边形.
∴O1O3与PO互相平分,即O1O3过PO的中点.
同理,O2O4过PO中点.
∴OP、O1O3、O2O4三直线共点.
例10ΔABC是等腰三角形,AB=AC,若M是BC的中点,O是直线AM上的点,使OB⊥AB;Q是BC上不同于B、C的任一点;E在直线AB上,F在直线AC上,使E、Q、F不同且共线.
求证:
OQ⊥EF当且仅当QE=QF.
分析证明“当且仅当”时,既要由已知OQ⊥EF证明QE=QF,也要由QE=QF证明OQ⊥EF.
证明连OE、OF、OC
先证OQ⊥EFQE=QF.
OB⊥AB,OQ⊥QEO、Q、B、E四点共圆∠OEQ=∠OBM.
由对称性知OC⊥CA,OQ⊥QFO、Q、F、C四点共圆∠OFQ=∠OCQ,又∠OBC=∠OCB∠OEF=∠OFEOE=OFQE=QF.
再证QE=QFOQ⊥EF.(用同一法)
过Q作EF⊥OQ,交AB于E,交AC于F.由上证,可得QE=QF.
若EF与EF不重合,则EF与EF互相平分于Q,则EEFF为平行四边形,EE∥FF,这与AB不与AC平行矛盾.从而EF与EF重合.
情景再现
8.以△ABC的三边为边向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK,设L、M、N分别为DE、FG、HK的中点.求证:
AM、BN、CL交于一点.
9.如图,已知两个半径不相等的圆⊙O1,⊙O2相交于M、N两点,⊙O1,⊙O2分别与⊙O内切于点S、T,求证:
OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线.
10.给出锐角△ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M,N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P,
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