创新设计文科 第九章 第7节.docx
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创新设计文科第九章第7节
第7节 抛物线
最新考纲 1.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式:
{M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:
焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[常用结论与微点提醒]
1.通径:
过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=x0+,也称为抛物线的焦半径.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.( )
(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( )
(4)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.
解析
(1)当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线.
(2)方程y=ax2(a≠0)可化为x2=y,是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是y=-.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.以x=1为准线的抛物线的标准方程为( )
A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x
解析 由准线x=1知,抛物线方程为:
y2=-2px(p>0)且=1,p=2,
∴抛物线的方程为y2=-4x.
答案 D
3.(2018·黄冈联考)已知方程y2=4x表示抛物线,且该抛物线的焦点到直线x=m的距离为4,则m的值为( )
A.5B.-3或5
C.-2或6D.6
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),它与直线x=m的距离为d=|m-1|=4,∴m=-3或5,故选B.
答案 B
4.(选修1-1P64A4
(2)改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为________.
解析 很明显点P在第三象限,所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上.
当焦点在x轴负半轴上时,设方程为y2=-2px(p>0),把点P(-2,-4)的坐标代入得(-4)2=-2p×(-2),
解得p=4,此时抛物线的标准方程为y2=-8x;
当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2=-2py(p>0),把点P(-2,-4)的坐标代入得(-2)2=-2p×(-4),解得p=,此时抛物线的标准方程为x2=-y.
综上可知,抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y.
答案 y2=-8x或x2=-y
5.已知抛物线方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1,因此k的取值范围是[-1,1].
答案 [-1,1]
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】
(1)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点D到y轴的距离为( )
A.B.1C.D.
(2)若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为________.
解析
(1)因为抛物线y2=x的准线方程为x=-.
如图所示,过点A,B,D分别作直线x=-的垂线,垂足分别为G,E,M,因为|AF|+|BF|=3,根据抛物线的定义,|AG|=|AF|,|BE|=|BF|,所以|AG|+|BE|=3,所以|MD|==,即线段AB的中点D到y轴的距离为-=.
(2)将x=3代入抛物线方程
y2=2x,得y=±.
∵>2,∴A在抛物线内部,如图.
设抛物线上点P到准线l:
x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).
答案
(1)C
(2)(2,2)
规律方法 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+或|PF|=|y0|+.
【训练1】
(1)动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:
y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
解析
(1)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.
(2)如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,
∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵点M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=|FO|=1.又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
答案
(1)y2=4x
(2)6
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】
(1)已知双曲线C1:
-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:
x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
A.x2=yB.x2=y
C.x2=8yD.x2=16y
(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2B.4C.6D.8
解析
(1)∵-=1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴=2,即==4,∴=.x2=2py(p>0)的焦点坐标为,-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由题意得=2,解得p=8.故C2的方程为x2=16y.
(2)不妨设抛物线C:
y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2(r>0),
∵|AB|=4,|DE|=2,
抛物线的准线方程为x=-,
∴不妨设A,D,
∵点A,D在圆x2+y2=r2上,
∴+8=+5,解得p=4(负值舍去),
故C的焦点到准线的距离为4.
答案
(1)D
(2)B
规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练2】
(1)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为________.
(2)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为________.
解析
(1)设A,B在准线上的射影分别为A1,B1,
由于|BC|=2|BF|=2|BB1|,则直线的斜率为,
故|AC|=2|AA1|=6,从而|BF|=1,|AB|=4,
故==,即p=,从而抛物线的方程为y2=3x.
(2)如图,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,所以点A的横坐标为2,将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标为y=2,所以A(2,2),所以直线AF的方程为y=2(x-1),
联立直线与抛物线的方程
解得或由图知B,
所以S△AOB=×1×|yA-yB|=.
答案
(1)y2=3x
(2)
考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究)
命题角度1 直线与抛物线的公共点(交点)问题
【例3-1】(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,直线l:
y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:
y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(1)求;
(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?
说明理由.
解
(1)如图,由已知得M(0,t),P,
又N为M关于点P的对称点,故N,
故直线ON的方程为y=x,
将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,
解得x1=0,x2=,因此H.
所以N为OH的中点,即=2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点,理由如下:
直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,
解得y1=y2=2t,
即直线MH与C只有一个公共点,
所以除H以外,直线MH与C没有其它公共点.
命题角度2 与抛物线弦长(中点)有关的问题
【例3-2】(2017·北京卷)已知抛物线C:
y2=2px过点P(1,1),过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:
A为线段BM的中点.
(1)解 把P(1,1)代入y2=2px,得p=,
所以抛物线C的方程为y2=x,
焦点坐标为,准线方程为x=-.
(2)证明 当直线MN斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.
由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去y得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
考虑Δ=(4k-4)2-4×4k2=16(1-2k),
由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以k<.
则x1+x2=,x1x2=.
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).
直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.
因为y1+-2x1=
=
=
==0.
所以y1+=2x1.
故A为线段BM的中点.
规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
2.有关
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