云南省第二次高中毕业生复习统一检测数学理含答案word版.docx

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云南省第二次高中毕业生复习统一检测数学理含答案word版

2017 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测

数 学 试 题（理）

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.考试结束后，将本试卷第

答题卡一并交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）

注意事项：

1．答题前，考生务心用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答

题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，

在规定的位置贴好条形码.

2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试卷上的答案无效.

参考公式：

如果事件 A、B 互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件 A、B 相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）

球的表面积公式S = 4πR 2其中 R 表示球的半径

球的体积公式

球

4

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的

概率 P （k ） = C k P k （1 - P） n-k （k=0，1，2，…，n）

nn

本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

一、选择题

1．已知数列{a } 是等差数列，如果 a + a = 12, 那么a = （）

n132

A．4B．6C．8D．10

2．已知随机变量 ξ 满足条件 ξ ~ B（n, p）, 且Eξ = 12, Dξ =

12

5

（

 则 n 与 p 的值分别为

）

A．16 与 4

5

4              3

C．15 与          D．12 与

5              5

3．已知实数 r 是常数，如果 M （ x , y ） 是圆 x 2 + y 2 = r 2 内异于圆心的一点，那么直线

00

x x + y y = r 2 与圆 x 2 + y 2 = r 2 的位置关系是（）

00

A．相交但不经过圆心

C．相切

4．已知 i 是虚数单位，复数

（1 - i） 2

i

B．相交且经过圆心

D．相离

= （   ）

A．-2B．2C．-2iD．2i

5．设 e , e 是相互垂直的单位向量，并且向量a = 3e + 2e , b = xe + 3e ，如果 a ⊥ b ，

121212

那么实数 x 等于（）

2C．-2

D．2

⎩ f （ x - 1） + 1, x > 0

b

6．已知二面角α - l - β 的大小为 60︒ ， 和 c 是两条异面直线.在下列给出的四个结论中，

是“b 和 c 所成的角为 60︒ ”成立的充分条件是（）

A． b // α , c // βB． b // α , c ⊥ βC． b ⊥ α , c ⊥ βD． b ⊥ α , c // β

⎧3x + 2, x ≤ 04

7．已知 f （ x） = ⎨，则 f （ ） 的值为（）[来源:

W]

3

A．2

B．4

C．6             D．8

8．如果 A 是抛物线 x 2 = 4 y 的顶点，过点 D（0，4）的直线 l 交抛物线 x 2 = 4 y 于 B、C

两点，那么 AB ⋅ AC 等于（）

4B．0

-1

9 ． 已 知 f （ x） 的 反 函 数 f（ x）, 如 果 f

f （ x + 12） = 0 的实数根（）

-1

C．-3            D． - 3

4

（ x） = lo g （ x + 3） ， 那 么 关 于 x 的 方 程

3

A． - 9

11

2         C．-9

D．-11

10．为了得到 y = sin（2 x -

π

）

A．向左平行移动

π

6

个单位

B．向右平行移动

π

6

个单位

π

C．向左平行移动个单位

12

π

D．向右平行移动  个单位

12

11．在 ∆ABC 所在的平面内有一点 P，如果 PA + PB + PC = AB ，那么 ∆PBC 和面积与

∆ABC 的面积之比是（）

32

A．B．

3

12．现将 5 名学生分成两个小组，其中甲、乙两人必须在同一个小组里，那么不同的分配

方法有（）

A．7 种B．6 种C．5 种D．4 种

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）

注意事项：

本卷共 10 小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.

二、填空题：

本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .把答案填在答题卡上.

13．中心在原点，准线方程为 x = ±4 ，离心率等于

1

2

的椭圆方程是           .

14．已知 （ax +

1

x

） 6 的展开式中常数项为-160，那么常数 a=           .

15．把一个半径为 r 的实心铁球 O 熔化铸成两个实心小球 O1 与 O2，假设没有任何损耗.设

铁球 O 的表面积为 S，小球 O1 的半径为 r1，表面积为 S1，小球 O2 的半径为 r2，两个小

球的半径之比 r1 :

 r2 = 1 :

 2 ，那么球 O1 的表面积与球 O 的表面积之比 S1 :

 S =.

16．已知实数 a、b 是常数，n 是正整数，如果 lim

x→3

x 3 - ax 2 - x + 3          a n + b n+1

= b, 那么 lim

x - 3 n→∞ a n-1 - b n

=.

三、解答题：

本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分 10 分）

已知 ∆ABC 的三个内角A 、 B 、 C 所对的三边分别是a 、 b 、 c ，平面向量

m = （1,sin（B - A）） ，平面向量 n = （sin C - sin（2 A）,1）.

（I）如果 c = 2, C = π

（II）若 m ⊥ n, 请判断 ∆ABC 的形状.

18．（本小题满分 12 分）

某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试 .该测试包括心理健康测试

和身体健康两个项目，每个项目的测试结果为 A、B、C、D、E 五个等级.假设该单位

50 位职工全部参加了测试，测试结果如下：

x 表示心理健康测试结果，y 表示身体健

康测试结果.

y

身体健康

人数

A

B

心理健康C

D

E

A

1

1

2

1

0

B

3

0

1

b

0

C

1

7

0

6

1

D

0

5

9

0

1

E

1

1

3

a

3

（I）求 a+b 的值；

（II）如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中心理健康为 D

等且身体健康为 C 等的概率；

（III）若“职工的心理健康为 D 等”与“职工的身体健康为 B 等”是相互独立事件，

求 a、b 的值.

19．（本小题满分 12 分）

如图，在底面是正方形的四棱锥 P—ABCD 中，平面 PCD⊥平面 ABCD，PC=PD=CD=2.

（I）求证：

PD⊥BC；

（II）求二面角 B—PD—C 的大小.

20．（本小题满分 12 分）

已知实轴长为 2a，虚轴长为 2b 的双曲线 S 的焦点在 x 轴上，直线 y = - 3x 是

双曲线 S 的一条渐近线，而且原点O ，点 A （ a ， 0 ）和点 B （ 0 ， -b ）使等式

| OA |2 + | OB |2 = 4 | OA |2 · | OB |2 成立.

3

（I）求双曲线 S 的方程；

（II）若双曲线 S 上存在两个点关于直线 l :

 y = kx + 4 对称，求实数 k 的取值范围.

21．（本小题满分 12 分）

已知函数 f （ x） = - x 2 + ln（1 + 2 x）.

（I）求 f （ x） 的最大值；

（II）设 b > a > 0, 证明 :

 ln

a + 1

b + 1

> （a - b）（a + b + 1）.

22．（本小题满分 12 分）

已 知 函 数 f （ x） =

- 2 x + 3

2 x - 7

， 若 存 在 实 数 x , 使f （ x ） = x , 则 称 x 是 函 数

0 0 0 0

y = f （ x） 的一个不动点.

（I）证明：

函数 y = f （ x） 有两个不动点；

（II）已知 a、b 是 y = f （ x） 的两个不动点，且 a > b .当 x ≠ -

1

2

且x ≠

7

2

时，比较

f （ x） - a8（ x - a）

f （ x） - bx - b

（III）在数列{a } 中， a ≠ -

nn

1

2

且a ≠

n

7

2

 a = 1 ，等式 a

1

n+1

= f （a ） 对任何正整数

n

n 都成立，求数列{a } 的通项公式

n

参考答案

一、选择题：

本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.

1—6BCDACC7—12ABDDBA

二、填空题：

本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.

17．（本小题满分 10 分）

解：

（I）由余弦定理及已知条件得 a 2 + b 2 - ab = 4,

 ∆ABC的面积等于 3,

1

∴ ab sin C = 3.

2

∴ ab = 4.

⎧a 2 + b 2 - ab = 4,

联立方程组得 ⎨解得a = 2, b = 2.

⎩ab = 4,

∴ a = 2.…………5 分

（II） m ⊥ n,∴ sin C - sin 2 A sin（B - A） = 0.

化简得 cos A（sin B - sin A） = 0.…………7 分

∴ csoA = 0或 sin B - sin A = 0.

当 cos A = 0时, A = π

此时 ∆ABC 是直角三角形；

当 sin B - sin A = 0时,即sin B = sin A ，

由正弦定理得 b = a,

此时 ∆ABC 为等腰三角形.

∴ ∆ABC 是直角三角形或等腰三角形.

18．（本小题满分 12 分）

解：

（I）∵该单位 50 位职工全部参另了测试，

∴表中标出的总人数也应是 50 人，

∴ a + b = 50 - 47 = 3.

…………10 分

…………4 分

（II）从表中可以看出，职工在这次测试中心理健康为 D 等且身体健康为 C 等的人数为

6 人，

50…………8 分

（III）∵“职工的心理健康为 D 等”与“职工的身体健康为 B 等”是相互独立事件，

∴ P（ x = D且y = B） = P（ x = D） ⋅ P（ y = B）.

…………10 分

即

b  a + b + 7 b + 4

=        ⨯     .

50    50     50

又 a + b = 3,

10b + 4

505050

∴ a = 2.

∴ a = 2, b = 1.

19．（本小题满分 12 分）

方法一：

（I）证明：

∵平面 PCD⊥平面 ABCD，

又∵平面 PCD∩平面 ABCD=CD，

BC 在平面 ABCD 内 ，BC⊥CD，

∴BC⊥平面 PCD.

∴PD⊥BC.…………6 分

（II）解：

取 PD 的中点 E，连接 CE、BE，

 ∆PDC 为正三角形，

∴ CE ⊥ DP.

由（I）知 BC⊥平面 PCD，

∴CE 是 BE 在平面 PCD 内的射影，

∴BE⊥PD.

∴∠CEB 为二面角 B—PD—C 的平面角.…………9 分

在 ∆ABC中, ∠BCE = 90︒, BC = 2, CE =3,

2 3

=,

CE3

…………12 分

∴二面角 B—PD—C 的大小为 arctan

2 3

.

方法二：

（I）证明：

取 CD 的中点为 O，连接 PO，

∵PD=PC，∴PO⊥CD，

∵平面 PCD⊥平面 ABCD，

平面 PCD∩平面 ABCD=CD，

∴PO⊥平面 ABCD，

如图，在平面 ABCD 内，过 O 作 OM⊥CD 交 AB 于 M，

以 O 为原点，OM、OC、OP 分别为 x、y、z 轴，

建立空间直角坐标系 O—xyz，

由 B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0）， P（0,0, 3） …………4 分

∴ PD = （0,-1,- 3）, BC = （-2,0,0）.

 PD ⋅ BC = 0,

∴ PD ⊥ BC.

∴ PD ⊥ BC;…………6 分

（II）解：

取 PD 的中点 E，连接 CE、BE，则 E （0,-

1  3

   ）,

2 2

 ∆PCD 为正三角形，

∴ CE ⊥ PD.

|

 BD = （-2,2,0）, BP = （-2,-1, 3）,

∴ BD |=| BP |= 2 2.

∴ BE ⊥ PD.

∴ ∠CEB 为二面角 B—PD—C 的平面角. …………9 分

3333

 EB = （2, ,-）, EC = （0, ,-）,

2222

∴ cos ∠BEC =EB ⋅ EC

21

7

.

∴ 二面角 B—PD—C 的大小为 arccos

20．（本小题满分 12 分）

21

.

解：

（I）根据题意设双曲线 S 的方程为

x 2  y 2

-

a 2 b 2

= 1,

…………2 分

⎧ b

且 ⎨

⎪3

解方程组得 a = 1, b =

3.

∴ 所求双曲线的方程为 x 2

-

y 2

= 1.

（II）当 k=0 时，双曲线 S 上显然不存在两个点关于直线l :

 y = kx + 4 对称；

…………7 分

当 k ≠ 0 时，设又曲线 S 上的两点 M、N 关于直线 l 对称，由 l ⊥ MN ,

直线 MN 的方程为 y = - 1 x + m,

k

则 M、N 两点的坐标满足方程组

⎧1

⎨k

消去 y 得 （3k 2 - 1） x 2 + 2kmx - （m 2 + 3）k 2 = 0.

⎪⎪   0

⎩

⎪3x 2 - y 2 = 3.

显然 3k 2 - 1 ≠ 0,

∴ ∆ = （2km） 2 - 4（3k 2 - 1）[-（m 2 + 3）k 2 ] > 0.

即 k 2 m 2 3k 2 - 1 > 0.

设线段 MN 中点为 D（ x , y ）,

00

⎧- km

x =,

3k 2 - 1

则 ⎨

⎪ y = 3k 2 m .

⎩

⎪03k 2 - 1

 D（ x , y ） 在直线 l :

 y = kx + 4上,

00

∴

3k 2 m   - k 2 m

=

3k 2 - 1  3k 2 - 1

+ 4.

…………10 分

⎧⎪k 2 m = 3k 2 - 1

即 k 2 m = 3k 2 - 1.

∴⎨.

⎪⎩k 2 m 2 + 3k 2 - 1 > 0

∴ k 2 m 2 + mk 2 > 0, 解得m > 0或m < -1.

3k 2 - 13k 2 - 1

kk 2

11

34

1

32

∴ k 的取值范围是 （-∞,-

3     1       1     3

）  （- ,0）  （0, ）  （  ,+∞） …………12 分

3     2       2    3

21．（本小题满分 12 分）

（I）解：

 f （ x） = - x 2 + ln（1 + 2 x）,

∴1 + 2 x > 0.

11

∴ x > - , 即函数 f （ x） 的定义域为{x | x ∈ R, x > - }.

22

又 f '（ x） = -2 x +

2

1 + 2 x

- 4 x 2 - 2 x + 2

=,

1 + 2 x

1

2

111

又 x > -,∴ -< x <.

222

11

22

1

2

11

又 x > -,∴ x >.

22

1

2

1

2

11

 f （ ） = -+ ln 2.

24

1

∴ f （ x） 的最大值等于 -+ ln 2.

4

（II）证明：

 b > a > 0,

…………2 分

…………4 分

…………6 分

…………7 分

∴ b +

1     1  1

> a +  > .

2     2  2

1

2

11

∴ f （b + ） < f （a + ）.…………9 分

22

1111

∴ -（b + ） 2 + ln[1 + 2（b + ）] < -（a + ） 2 + ln[1 + 2（a + ）].

2222

化简得 ln

a + 1

b + 1

> （a - b）（a + b + 1）.

a + 1

∴ ln> （a - b）（a + b + 1）.…………12 分

b + 1

22．（本小题满分 12 分）

（I）证明：

 - 2 x + 3

2 x - 7

= x,∴ 2 x 2 - 5x - 3 = 0.

1

∴ x = - , x = 3.

12

1- 2 x + 3

12

12

1

（II）解：

由（I）可知 a = 3, b = -,

2

- 2 x + 3

- 3

== 8 ⋅.

- 2 x + 3111

+- x -x +

2 x - 7222

8（ x - a）

f （ x） - bx - b

1

…………3 分

…………6 分

nn

1

7

2

由（II）知

f （a ） - 3  8（a - 3）

n =        ,

1       1

f （a ） +     a +

n n

a

- 3  8（a - 3）

n+1 =        .

1       1

n

…………8 分

2         2

∴ 数列{ an - 3a1 - 3

11

a +a +

n1

为首项，8 为公比的等比数列.

即以 - 4

3

为首项，8 为公比的等比数列.

…………10 分

4

n= -⋅ 8n-1.

a +

n

∴ a =

n

1 4

3 - ⋅ ⋅ 8n-1

2 3

4

1 +  ⋅ 8 n-1

3

9 - 2 ⋅ 8n-1

=         .

3 + 4 ⋅ 8n-1

…………12 分