高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形43三角函数的图像与性质教师用书文北师大.docx
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高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形43三角函数的图像与性质教师用书文北师大
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-3三角函数的图像与性质教师用书文北师大
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:
(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:
(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图像
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠
+kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
在[-
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)上是增加的;
在[
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)上是减少的
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上是增加的;
在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上是减少的
在(-
+kπ,
+kπ)(k∈Z)上是增加的
最值
当x=
+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
当x=-
+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
当x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
(
+kπ,0)(k∈Z)
(
,0)(k∈Z)
对称轴方程
x=
+kπ(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
【知识拓展】
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=sinx在第一、第四象限是增函数.( × )
(2)常数函数f(x)=a是周期函数,它没有最小正周期.( √ )
(3)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.( × )
(4)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × )
(5)y=sin|x|是偶函数.( √ )
(6)若sinx>,则x>.( × )
1.函数f(x)=cos(2x-)的最小正周期是( )
A.B.πC.2πD.4π
答案 B
解析 最小正周期为T===π.故选B.
2.(教材改编)函数f(x)=3sin(2x-)在区间[0,]上的值域为( )
A.[-,]B.[-,3]
C.[-,]D.[-,3]
答案 B
解析 当x∈[0,]时,2x-∈[-,],
sin(2x-)∈[-,1],
故3sin(2x-)∈[-,3],
即f(x)的值域为[-,3].
3.函数y=tan2x的定义域是( )
A.B.
C.D.
答案 D
解析 由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
∴y=tan2x的定义域为.
4.(2016·开封模拟)已知函数f(x)=4sin(-2x),x∈[-π,0],则f(x)的单调递减区间是( )
A.[-π,-]B.[-π,-]
C.[-π,-π],[-,0]D.[-π,-π],[-,0]
答案 C
解析 f(x)=4sin(-2x)=-4sin(2x-).
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得
-+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的递减区间是
[-+kπ,π+kπ](k∈Z).
因为x∈[-π,0],
所以函数f(x)的递减区间是[-π,-π],[-,0].
5.y=sin(x-)的图像的对称中心是____________.
答案 (kπ+,0),k∈Z
解析 令x-=kπ(k∈Z),
∴x=kπ+(k∈Z),
∴y=sin(x-)的图像的对称中心是(kπ+,0),k∈Z.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1
(1)函数f(x)=-2tan(2x+)的定义域是____________.
(2)(2016·郑州模拟)已知函数f(x)=sin(x+),其中x∈[-,a],若f(x)的值域是[-,1],则实数a的取值范围是________.
答案
(1){x|x≠+,k∈Z}
(2)[,π]
解析
(1)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
所以f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z}.
(2)∵x∈[-,a],∴x+∈[-,a+],
∵x+∈[-,]时,f(x)的值域为[-,1],
∴由函数的图像知≤a+≤,∴≤a≤π.
思维升华
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图像来求解.
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sinx和cosx的值域直接求;
②把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;
③通过换元,转换成二次函数求值域.
(1)函数y=lg(sinx)+的定义域为 .
(2)函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为__________.
答案
(1)
(2)2-
解析
(1)要使函数有意义必须有
即解得
∴2kπ<x≤+2kπ(k∈Z),
∴函数的定义域为.
(2)∵0≤x≤9,∴-≤-≤,
∴-≤sin(-)≤1,
故-≤2sin(-)≤2.
即函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值为2,最小值为-.
∴最大值与最小值的和为2-.
题型二 三角函数的单调性
例2
(1)函数f(x)=tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.
答案
(1)B
(2)
解析
(1)由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),
得-<x<+(k∈Z),
所以函数f(x)=tan的单调递增区间为
(k∈Z),故选B.
(2)由<x<π,ω>0,得
+<ωx+<ωπ+,
又y=sinx的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+],
所以
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+-(2k+)≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈[,].
引申探究
本例
(2)中,若已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)在(,π)上单调递增,则ω的取值范围是____________.
答案 [,]
解析 函数y=cosx的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,
则
解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,
又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,
得k=1,所以ω∈.
思维升华
(1)已知三角函数解析式求单调区间:
①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
(1)函数f(x)=sin的单调减区间为________.
(2)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω等于( )
A.B.
C.2D.3
答案
(1),k∈Z
(2)B
解析
(1)已知函数可化为f(x)=-sin,
欲求函数的单调减区间,只需求f(x)=sin的单调增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的单调减区间为(k∈Z).
(2)∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点,
∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,
y=sinωx是增加的;
当≤ωx≤,即≤x≤时,
y=sinωx是减少的.
由f(x)=sinωx(ω>0)在上是增加的,
在上是减少的,知=,
∴ω=.
题型三 三角函数的周期性、对称性
命题点1 周期性
例3
(1)(2016·北京东××区模拟)函数y=sin2x+cos2x-的最小正周期等于( )
A.πB.2πC.D.
(2)若函数f(x)=2tan(kx+)的最小正周期T满足1 答案 (1)A (2)2或3 解析 (1)y=sin2x+×-=sin2x+cos2x=sin(2x+),所以函数的最小正周期T===π,故选A. (2)由题意得,1<<2, ∴k<π<2k,即 又k∈Z,∴k=2或3. 命题点2 对称性 例4 对于函数f(x)=sin,下列说法正确的是( ) A.f(x)的周期为π,且在[0,1]上是增加的 B.f(x)的周期为2,且在[0,1]上是减少的 C.f(x)的周期为π,且在[-1,0]上是增加的 D.f(x)的周期为2,且在[-1,0]上是减少的 答案 B 解析 因为f(x)=sin=cosπx,则周期T=2,在[0,1]上是减少的,故选B. 命题点3 对称性的应用 例5 (1)已知函数y=2sin的图像关于点P(x0,0)对称,若x0∈,则x0=________. (2)若函数y=cos(ωx+)(ω∈N+)图像的一个对称中心是(,0),则ω的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8 答案 (1)- (2)B 解析 (1)由题意可知2x0+=kπ,k∈Z, 故x0=-,k∈Z, 又x0∈,∴-≤k≤,k∈Z, ∴k=0,则x0=-. (2)由题意知π+=kπ+(k∈Z), ∴ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N+,∴ωmin=2. 思维升华 (1)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法: ①利用周期函数的定义. ②利用公式: y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. (1)(2016·北京××区模拟)已知函数f(x)=2sin(x+),若对任意的实数x,总有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值是( ) A.2B.4 C.πD.2π (2)如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点(,0)中心对称,那么|φ|的最小值为( ) A.B.C.D. 答案 (1)A (2)A 解析 (1)由题意可得|x1-x2|的最小值为半个周期, 即==2. (2)由题意得3cos(2×+φ)=3cos(+φ+2π) =3cos(+φ)=0, ∴+φ=kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为. 5.三角函数的性质 考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题,其有关性质几乎每年必考,题目较为简单,综合性的知识多数为三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破,并在高考中拿全分. 典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为( ) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z (2)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f(x+)=f(-x)恒成立,且f()=1,则实数b的值为( ) A.-1B.3C.-1或3D.-3 (3)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值为________. 解析 (1)由图像知,周期T=2×=2, ∴=2,∴ω=π. 由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=, ∴f(x)=cos. 由2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,得2k- (2)由f(x+)=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1或b=3. (3)∵ω>0,-≤x≤, ∴-≤ωx≤.由已知条件知-≤-, ∴ω≥. 答案 (1)D (2)C (3) 1.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则f()等于( ) A.1B. C.-1D.- 答案 A 解析 ∵T=π,∴ω=2, ∴f()=sin(2×+)=sin=1. 2.若函数f(x)=-cos2x,则f(x)的一个递增区间为( ) A.(-,0)B.(0,) C.(,)D.(,π) 答案 B 解析 由f(x)=-cos2x知递增区间为[kπ,kπ+],k∈Z,故只有B项满足. 3.关于函数y=tan(2x-),下列说法正确的是( ) A.是奇函数 B.在区间(0,)上单调递减 C.(,0)为其图像的一个对称中心 D.最小正周期为π 答案 C 解析 函数y=tan(2x-)是非奇非偶函数,A错误;在区间(0,)上是增加的,B错误;最小正周期为,D错误. ∵当x=时,tan(2×-)=0, ∴(,0)为其图像的一个对称中心,故选C. 4.(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图像的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由函数f(x)=2sin(ωx-)+1(x∈R)的图像的一条对称轴为x=π,可得ωπ-=kπ+,k∈Z, ∴ω=k+,∴ω=, 从而得函数f(x)的最小正周期为=. 5.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f()=-2,则f(x)的一个单调递减区间是( ) A.[-,]B.[,] C.[-,]D.[,] 答案 C 解析 由f()=-2,得 f()=-2sin(2×+φ)=-2sin(+φ)=-2, 所以sin(+φ)=1. 因为|φ|<π,所以φ=. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 当k=0时,-≤x≤,故选C. 6.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0且|φ|<)在区间[,]上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,则f()等于( ) A.B.C.D.1 答案 C 解析 由题意得函数f(x)的周期T=2(-)=π,所以ω=2,此时f(x)=sin(2x+φ),将点(,1)代入上式得sin(+φ)=1(|φ|<),所以φ=, 所以f(x)=sin(2x+), 于是f()=sin(+)=cos=. 7.函数y=的定义域为______________. 答案 [2kπ+,2kπ+π],k∈Z 解析 由2sinx-1≥0,得sinx≥, ∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z. 8.函数y=cos2x+sinx(|x|≤)的最小值为___________________. 答案 解析 令t=sinx,∵|x|≤, ∴t∈. ∴y=-t2+t+1=-2+, ∴当t=-时,ymin=. 9.函数y=cos(-2x)的单调减区间为______________. 答案 [kπ+,kπ+](k∈Z) 解析 由y=cos(-2x)=cos(2x-), 得2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z), 解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 10.(2016·威海模拟)若f(x)=2sinωx+1(ω>0)在区间[-,]上是增加的,则ω的取值范围是__________. 答案 (0,] 解析 方法一 由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z, 得f(x)的增区间是[-,+],k∈Z. 因为f(x)在[-,]上是增加的, 所以[-,]⊆[-,], 即-≥-且≤,所以ω∈(0,]. 方法二 因为x∈[-,],ω>0. 所以ωx∈[-,], 又f(x)在区间[-,]上是增加的, 所以[-,]⊆[-,], 则又ω>0,得0<ω≤. 11.设函数f(x)=sin(-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=. (1)求φ; (2)求函数y=f(x)的单调递增区间. 解 (1)令2×+φ=kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ+,k∈Z, 又-π<φ<0,则φ=-. (2)由 (1)得f(x)=sin, 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 因此y=f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 12.(2015·北京)已知函数f(x)=sinx-2sin2. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间上的最小值. 解 (1)因为f(x)=sinx+cosx- =2sin-, 所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为0≤x≤,所以≤x+≤π. 当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间上的最小值为f=-. 13.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数a,b的值; (2)设g(x)=f且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间. 解 (1)∵x∈,∴2x+∈, ∴sin∈, ∴-2asin∈[-2a,a], ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. (2)由 (1)得f(x)=-4sin-1, g(x)=f=-4sin-1 =4sin-1, 又由lgg(x)>0,得g(x)>1, ∴4sin-1>1,∴sin>, ∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z, 其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时, g(x)是增加的,即kπ ∴g(x)的单调增区间为,k∈Z. 又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时, g(x)是减少的,即kπ+ ∴g(x)的单调减区间为,k∈Z.
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