大学高数下册试题及答案第11章.docx
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大学高数下册试题及答案第11章
大学高数下册试题及答案,第11章
第十一章无穷级数作业29常数项级数的概念和性质1.按定义判断下列级数的敛散性,若收敛,并求其和:
(1);
解:
因为所以因此由定义可知该级数收敛
(2);
解:
因为所以,因此由定义可知该级数发散(3);
解:
因为所以,因此由定义可知该级数收敛(4);
解:
因为,依次重复所以,,不存在因此由定义可知该级数发散2.利用基本性质判别下列级数的敛散性:
(1);
解:
观察发现该级数为,是发散的调和级数每项乘以得到的,由级数的基本性质,该级数发散
(2);
解:
观察发现该级数为,是收敛的两个等比级数,逐项相加得到的,由级数的基本性质,该级数收敛(3);
解:
观察发现该级数为,是收敛的等比级数与发散的逐项相加得到的,由级数的基本性质,该级数发散(4).解:
观察发现该级数一般项为,但由级数收敛的必要条件,该级数发散作业30正项级数及其收敛性1.用比较判别法(或定理2的推论)判定下列级数的敛散性:
(1);
解:
由于,而是收敛的等比级数从而由比较判别法,该级数收敛
(2).解:
由于,而是收敛的等比级数从而由比较判别法的极限形式,该级数收敛2.用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性:
(1);
解:
由于,从而由达朗贝尔判别法,该级数收敛
(2);
解:
由于,从而由达朗贝尔判别法,该级数收敛(3);
解:
由于,从而由达朗贝尔判别法,该级数收敛(4).解:
由于,从而由达朗贝尔判别法,该级数收敛3.用柯西判别法判定下列级数的敛散性:
(1);
解:
由于,从而由柯西判别法,该级数收敛
(2).解:
由于,从而由柯西判别法,该级数收敛4.用判别法判定下列级数的敛散性:
(1);
解:
由于,而为的发散的级数,从而由判别法,该级数发散
(2).解:
由于,而为的发散的级数,从而由判别法,该级数发散5.设为正整数,证明:
(1);
解:
对来说,由于,从而由达朗贝尔判别法,该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知
(2).解:
对来说,由于,从而由达朗贝尔判别法,该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知,从而由无穷大量与无穷小的关系作业31交错级数与任意项级数的收敛性1.判别下列级数的敛散性;
若收敛,说明是条件收敛还是绝对收敛:
(1);
解:
该级数为交错级数,其一般项的绝对值为单调减少,且,从而由莱布尼茨判别法知其收敛再由于,由判别法知发散,从而原级数不会绝对收敛,只有条件收敛
(2);
解:
由于,由判别法知,绝对收敛(3);
解:
由于不存在,由收敛级数的必要条件,从而该级数发散(4);
解:
由于,从而由达朗贝尔判别法,该级数绝对收敛(5).解:
当时显然收敛,否则,当时由达朗贝尔判别法,从而该级数绝对收敛,当时级数变为发散当时级数变为条件收敛7.若存在,证明绝对收敛.证明:
由已知从而绝对收敛.8.若级数绝对收敛,且,试证:
级数和都收敛.级数是否收敛?
为什么?
证明:
若级数绝对收敛,则必收敛,由必要条件由,从而级数和都有意义,而,从而级数和都收敛。
级数发散,因为,收敛的必要条件不满足。
作业32幂级数及其求和1.求下列幂级数的收敛半径和收敛域:
(1);
解:
当时即为条件收敛,从而收敛域为
(2);
解:
当时即为,由于从而级数发散,因此收敛域为(3);
解:
当时,当时幂级数即为,由于从而级数发散当时幂级数即为,由于且从而级数收敛。
因此收敛域当时当时,当时即为即为,由于从而级数发散,从而当时收敛域为(4);
解:
当时即为条件收敛,从而收敛域为(5);
解:
因此收敛域为(6).解:
对于,当时即为条件收敛,当时即为发散,从而原级数的收敛半径为1,收敛域为2.求下列幂级数的收敛域及其和函数:
(1);
解:
当时,即为条件收敛,当时即为发散,从而幂级数的收敛域为设,则从而故
(2);
解:
当时,即为发散,从而幂级数的收敛域为故,(3).解:
从而幂级数的收敛域为设,则,,由特征方程,得通解再由得特解(4),并求数项级数的和.解:
,当时发散,从而幂级数的收敛域为设,则,作业33函数展开成幂级数1.将下列函数展开成麦克劳林级数(要指出其成立的区间):
(1);
解:
(2);
解:
(3);
解:
(4)(提示:
利用);
解:
,(5).解:
2.将下列函数展开成的幂级数(要指出其成立区间):
(1);
解:
(2).解:
3.求下列函数的幂级数展开式,并确定其成立区间:
(1);
解:
(2).解:
4.展开为的幂级数,并证明:
.解:
从而作业34傅里叶级数1.下列周期函数的周期为,它在一个周期上的表达式列举如下,试求的傅里叶级数展开式.
(1);
解:
(2);
解:
(3);
解:
(4).解:
2.将下列函数展开成傅里叶级数:
(1);
解:
(2);
解:
3.将下列各函数分别展开成正弦级数和余弦级数:
(1)解:
展开成正弦级数,则作奇延拓,展开成余弦级数,则作偶延拓,,
(2)解:
展开成正弦级数,则作奇延拓,展开成余弦级数则,作偶延拓,,作业35一般周期函数的傅里叶级数1.设是周期为6的周期函数,它在上的表达式为试求的傅里叶展开式.解:
2.在指定区间上展开下列函数为傅里叶级数:
解:
取作周期延拖在限定即可,函数为偶函数,故时时3.将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解:
展开成正弦级数,则作奇延拓,展开成余弦级数,则作偶延拓,,4.试将函数展开成周期为8的正弦级数.解:
展开成正弦级数,则作奇延拓,,第十一章《无穷级数》测试题1.选择题:
(1)对级数,“”是它收敛的B条件.A.充分;
B.必要;
C.充要;
D.非充分且非必要.
(2)“部分和数列有界”是正项级数收敛的C条件.A.充分;
B.必要;
C.充要;
D.非充分且非必要.(3)若级数绝对收敛,则级数必定A.A.收敛;
B.发散;
C.绝对收敛;
D.条件收敛.(4)若级数条件收敛,则级数必定B.A.收敛;
B.发散;
C.绝对收敛;
D.条件收敛.2.用适当的方法判定下列级数的敛散性:
(1);
解:
因为从而该正项级数发散
(2);
解:
因为从而该正项级数收敛(3);
解:
因为从而该正项级数收敛(4);
解:
因为从而该正项级数收敛(5);
解:
因为从而该正项级数发散(6);
解:
因为从而该正项级数发散(7);
解:
因为从而该正项级数发散(8);
解:
设,则而,时,从而收敛的必要条件满足。
设,则同理可以推出而的级数收敛,从而原正项级数也收敛(9),其中均为正数,且;
解:
用柯西判别法当时发散,当时该正项级数收敛当时不能判定敛散性。
(10).解:
由积分中值定理,从而有比较判别法收敛3.判别下列级数的敛散性;
若收敛,说明是条件收敛还是绝对收敛:
(1);
解:
令,则时从而单碟减少,又从而以来布尼茨判别法收敛但是,因此是条件收敛而不能绝对收敛
(2);
解:
从而该级数是交错级数,由于单碟减少且从而以来布尼茨判别法收敛但是,因此是条件收敛而不能绝对收敛(3);
解:
因为从而该级数绝对收敛(4).解:
去掉前面有限项即当足够大时为交错级数,由于,对足够大的单碟减少且从而以来布尼茨判别法收敛但不绝对收敛4.求下列极限:
(1);
解:
由于单调增加且从而因此由夹逼准则
(2).解:
令,由于看从而,因此5.求下列幂级数的收敛半径和收敛域:
(1);
解:
看,而因一般项极限不为零而发散从而该幂级数的收敛半径也为,收敛域为
(2).解:
为收敛半径考虑端点,当时收敛域为;
当时收敛域为;
当时收敛域为;
6.求下列幂级数的收敛域及其和函数:
(1);
解:
为收敛半径考虑端点则知收敛域为。
在收敛域内设,则在收敛域内再设,则
(2).解:
解:
为收敛半径考虑端点则知收敛域为。
在收敛域内设,则7.将下列函数展开成麦克劳林级数(要指出其成立的区间):
(1);
解:
由于
(2);
解:
由于,从而(3).解:
由于,从而8.将下列函数展开成的幂级数(要指出其成立区间):
(1);
解:
(2).解:
,而从而9.将下列函数展开成傅里叶级数:
解:
该函数为奇函数,延拓为周期的周期函数展开,当10.将函数在区间上分别展开成正弦级数和余弦级数.解:
该函数延拓为奇函数,再延拓为周期的周期函数展开得正弦级数,;
该函数延拓为偶函数,再延拓为周期的周期函数展开得余弦级数,;
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