全市级联考Word浙江省台州市届高三上学期期末数学试题.docx
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全市级联考Word浙江省台州市届高三上学期期末数学试题
台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题
数学2018.01
参考公式:
柱体的体积公式:
其中表示柱体的底面积,表示柱体的高
锥体的体积公式:
其中表示锥体的底面积,表示锥体的高
台体的体积公式:
其中、分别表示台体的上、下底面积,表示台体的高
球的表面积公式:
球的体积公式:
,其中表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则=()
A.B.C.D.
2.若复数(为虚数单位),则=()
A.B.C.D.
3.已知为锐角,且,则=()
A.B.C.D.
4.已知,则“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知数列满足,,则()
A.B.C.D.
6.有位男生,位女生和位老师站在一起照相,要求老师必须站中间,与老师相邻的不能同时为男生或女生,则这样的排法种数是()
A.B.C.D.
7.已知实数,满足不等式组则的取值范围是()
A.B.C.D.
8.已知函数若函数在恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
9.已知,是两个非零向量,且,,则的最大值为()
A.B.C.D.
10.当时,不等式恒成立,则的取值范围是()
A.B.C.D.
非选择题部分(共110分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.
11.双曲线的离心率为_________,渐近线方程为__________.
12.已知随机变量的分布列为:
则=__________,=__________.
13.某四面体的三视图如图所示,则该四面体的体积为_________;表面为__________.
14.若的展开式中所有项的系数之和为256,则=__________,含项的系数是_________(用数字作答).
15.当时,的最小值为3,则实数的值为_________.
16.在中,内角,,所对的边为,,,点是其外接圆上的任意一点,若,,则的最大值为_________.
17.如图,在棱长为2的正四面体中,动点在侧面内,底面,垂足为,若,则长度的最小值为________.
三、解答题:
本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
18.已知函数(,,为常数),
且,.
(1)求的单调递增区间;
(2)当时,求函数的最大值与最小值.
19.如图,正方形的边长为4,点,分别为,的中点,将,,分别沿,折起,使,两点重合于点,连接.
(1)求证:
平面;
(2)求与平面所成角的正弦值.
20.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
21.已知椭圆:
的左右焦点分别为,,左顶点为,点在椭圆上,且的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且与轴不重合的直线交椭圆于,两点,直线分别与轴交于点,,.求证:
以为直径的圆恒过交点,,并求出面积的取值范围.
22.数列,中,为数列的前项和,且满足,,
.
(1)求,的通项公式;
(2)求证:
;
(3)令,,求证:
.
台州市2017学年第一学期高三年级期末质量评估试题
数学参考答案及评分标准2018.01
一、选择题
1-5:
BCDBC6-10:
DDABA
二、填空题
11.,12.,13.,14.,
15.16.17.
三、解答题.
18.解:
(1)由题得:
,
由,,得故,
∴,
当,时,的单调递增,
可得,,
∴的单调递增区间为;
(2)由
(1)得,
由得:
.∴,
故在上的最大值为,最小值为.
19.解:
(1)∵,∴平面,
又平面,∴,
由已知可得,∴平面;
(2)由
(1)知平面平面,则为与平面所成角,设,交于点,连,则,,
又平面,平面,∴,
在中,,
∴与平面所成角的正弦值为.
20.解:
(1)函数的定义域为,,
∵,∴,解得或,为减函数,
,解得,为增函数,
∴的单调递减区间为,单调递增区间为;
(2)∵在恒成立,
∴,
令,则,
当时,,
当,,
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴,∴.
21.解:
(1)∵,∴,
又点在椭圆上,∴,∴,
解得,或(舍去),又,∴,
所以椭圆的方程为;
(2)∵,,,
方法一:
当直线的斜率不存在时,,为短轴的两个端点,则,,
,,则以为直径的圆恒过焦点,,
当的斜率存在且不为零时,设直线的方程为,
设点(不妨设),则点,
由,消去得,所以,,
所以直线的方程为,
因为直线与轴交于点,令得,
即点,同理可得点,
,,,
,同理,
则以为直径的圆恒过焦点,,
当的斜率存在且不为零时,
,
面积为,
又当直线的斜率不存在时,,面积为,
面积的取值范围是.
方法二:
当,不为短轴的两个端点时,设,
则,由点在椭圆上,∴,
所以直线的方程为,令得,
即点,同理可得点,
以为直径的圆可化为,
代入,化简得,
令解得
∴以为直径的圆恒过焦点,,
∴,又,∴,∴面积为,
当,不为短轴的两个端点时,,面积为,
∴面积的取值范围是.
22.解:
(1)∵,∴当时,,
∴,∴,
∴,
∴,
(2)∵,
∴,
,
∴;
(3)①当时,左边右边,
②当时,∵,
,
∴,
,令,
则,
易知在上单调递增,
所以,∴,
由①②可知对于任意的,.
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