江苏省盐城市学年高三上学期期中考试 数学 Word版含答案.docx

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江苏省盐城市学年高三上学期期中考试数学Word版含答案

盐城市2017-2018学年高三年级第一学期期中考试

数学试题

（总分160分，考试时间120分钟）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．函数的最小正周期是▲．

2．设向量，，若，则实数▲．

3．命题是▲命题（选填“真”或“假”）．

4．已知集合，，则=▲．

5．函数（且）的图象所经过的定点为▲．

6．在等比数列中，已知，，则▲．

7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲．

8．已知，且为钝角，则▲．

9．在中，已知，则此三角形的最大内角的大小为▲．

10．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线斜率

为▲．

11．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是▲．

12．在数列中，，且当时，恒成立，则数列的前100项和▲．

13．在中，已知，，，点在边上，且，则=▲．

14.设函数，，若使得不等式对一切正实数恒成立的实数存在且唯一，则实数的值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

设：

实数满足，其中；：

实数满足.

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

16．（本小题满分14分）

设函数（为常数，且）的部分图象如图所示.

（1）求的值；

（2）设为锐角，且，求的值.

17．（本小题满分14分）

如图，在四边形中，，，为的中点.

（1）若，求的面积；

（2）若，求的值.

18．（本小题满分16分）

如图所示，有一块矩形空地，km，=km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区，筝形的顶点为商业区的四个入口，其中入口在边上（不包含顶点），入口分别在边上，且满足点恰好关于直线对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区.

（1）请确定入口的选址范围；

（2）设商业区的面积为，绿化区的面积为，商业区的环境舒适度指数为，则入口如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？

19．（本小题满分16分）

设函数.

（1）若直线是函数图象的一条切线，求实数的值；

（2）若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值；

（3）若关于的方程有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.

20．（本小题满分16分）

若数列中的项都满足（），则称为“阶梯数列”.

（1）设数列是“阶梯数列”，且，（），求；

（2）设数列是“阶梯数列”，其前项和为，求证：

中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；

（3）设数列是“阶梯数列”，且，（），记数列的前项和为.问是否存在实数，使得对任意的恒成立？

若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

盐城市2017届高三年级第一学期期中考试

数学参考答案

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分.

1．22.33.真4.5.6.167.

8.9.10.11.12.13.614.2

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.

15．解：

（1）由，得,又,所以,

当时,1<,即为真时实数的取值范围是.…………………2分

为真时等价于，得,…………………4分

即为真时实数的取值范围是.

若为真，则实数的取值范围是.…………………7分

（2）是的必要不充分条件，等价于且,

设,,则BA;…………………10分

则，所以实数的取值范围是.………………14分

16．解：

（1）由图像，得,……………2分

最小正周期，，……………4分

，

由，得，，

，，，.……………7分

（2）由，得，

，，又，所以，

，……………10分

.……………14分

17．解：

（1），，

，……………2分

……………4分

.……………7分

（2）以E为原点，AC所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，

则A（－2,0），C（2,0），设D，由，可得，

则

……………11分

∴.……………14分

18．解：

（1）以A为原点，AB所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，

设（），则AF的中点为，斜率为，

而，故的斜率为，

则的方程为，

令，得；……………2分

令，得；……………4分

由，得，

，

即入口的选址需满足的长度范围是（单位：

km）.……………6分

（2）因为，

故该商业区的环境舒适度指数，……………9分

所以要使最大，只需最小.

设……………10分

则，

令，得或（舍），……………12分

的情况如下表：

1

0

减

极小

增

故当，即入口满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大.……16分

19．解：

（1），,

设切点横坐标为，则………………2分

消去，得，故，得………………4分

（2）

①当时，在上恒成立，在上单调递增，

则，得,舍去;………………5分

②当时，在上恒成立，在上单调递减，

则，得,舍去;………………6分

③当时，由，得；由，得，

故在上单调递增，在上单调递减，

则，得,………………8分

设,则

当时，,单调递减，

当时,单调递增，

故,的解为.

综上①②③，.…………………10分

（3）方程可化为

，

令，故原方程可化为，…………………12分

由

（2）可知在上单调递增，故有且仅有唯一实数根，

即方程（※）在上有且仅有唯一实数根，…………………13分

①当，即时，方程（※）的实数根为，满足题意；

②当，即时，方程（※）有两个不等实数根，记为不妨设

Ⅰ）若代入方程（※）得，得或，

当时方程（※）的两根为，符合题意；

当时方程（※）的两根为，不合题意，舍去；

Ⅱ）若设，则，得；

综合①②，实数的取值范围为或.…………………16分

20．解：

（1），，是以为首项为公比的等比数列，

，，

∵数列是“阶梯数列”，∴.…………………3分

（2）由数列是“阶梯数列”得，故,

∴中存在连续三项成等差数列；……………5分

（注：

给出具体三项也可）

假设中存在连续四项成等差数列，

则，即，

当时,，①

当时,，②

由数列是“阶梯数列”得，③

①②与③都矛盾，故假设不成立，即中不存在连续四项成等差数列.…………………8分

（3）∵,,是以为首项为公差的等差数列，

，又数列是“阶梯数列”，故，

…………………10分

①当时,

,

又恒成立，恒成立,.…………………13分

②当时,

,

又恒成立，恒成立,.…………………15分

综上①②,存在满足条件的实数，其取值范围是.…………………16分

n为正偶数，

n为正奇数.

注：

也可写成