小学数学孩子一看就懂的三十类图解应用题.docx
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小学数学孩子一看就懂的三十类图解应用题
十九、“牛吃草”问题
【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。
这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量×天数
【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1:
一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。
问多少头牛5天可以把草吃完?
解草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。
求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5天的草总量要5天吃完的话,得有多少头牛?
设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:
(1)求草每天的生长量
因为,一方面20天的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天的草总量又等于原有草量加上20天的生长量,所以
1×10×20=原有草量+20天生长量
同理1×15×10=原有草量+10天生长量
由此可知(20-10)天草的生长量为
1×10×20-1×15×10=50
因此,草每天的生长量为50÷(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天总草量-10生长量=1×15×10-5×10=100
(3)求5天草总量
5天草总量=原有草量+5天生长量=100+5×5=125
(4)求多少头牛5天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25(头)
答:
需要25头牛5天可以把草吃完。
例2:
一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船,发现漏洞时已经进了一些水。
如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。
求17人几小时可以淘完?
解这是一道变相的“牛吃草”问题。
与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。
设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:
(1)求每小时进水量
因为,3小时的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量
10小时的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量
所以,(10-3)小时的进水量为1×5×10-1×12×3=14
因此,每小时的进水量为14÷(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30
(3)求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是
30÷(17-2)=2(小时)
答:
17人2小时可以淘完水。
二十、 鸡兔同笼问题
【含义】这是古典的算术问题。
已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。
已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题:
假设全都是鸡,则有
兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)
假设全都是兔,则有
鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)
第二鸡兔同笼问题:
假设全都是鸡,则有
兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)
假设全都是兔,则有
鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)
【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。
如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。
这类问题也叫置换问题。
通过先假设,再置换,使问题得到解决。
例1:
长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。
数数头有三十五,脚数共有九十四。
请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?
解假设35只全为兔,则
鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)
兔数=35-23=12(只)
也可以先假设35只全为鸡,则
兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)
鸡数=35-12=23(只)
答:
有鸡23只,有兔12只。
例2:
2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?
解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。
“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。
假设16亩全都是菠菜,则有
白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)
答:
白菜地有10亩。
例3:
老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。
问作业本和日记本各买了多少本?
69元
假设全都是兔,则有
鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)
假设45本全都是日记本0.70×45=31.5
作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)
69-0.70×45=37.5
作业本每本比日记本多(3.20-0.70)元
解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。
假设45本全都是日记本,则有
作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)
日记本数=45-15=30(本)
答:
作业本有15本,日记本有30本。
例4:
(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?
解假设100只全都是鸡,则有
兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)
鸡数=100-20=80(只)
答:
有鸡80只,有兔20只。
例5:
有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?
解假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。
因此,共有小和尚
(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)
共有大和尚100-75=25(人)
答:
共有大和尚25人,有小和尚75人。
二十一、方阵问题
【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
(1)方阵每边人数与四周人数的关系:
四周人数=(每边人数-1)×4
每边人数=四周人数÷4+1
(2)方阵总人数的求法:
实心方阵:
总人数=每边人数×每边人数
空心方阵:
总人数=(实心人数)-(空人数)
空人数=(外边人数-层数×2)×(外边人数-层数×2)
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:
总人数=(每边人数-层数)×层数×4
【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。
例1:
在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?
解22×22=484(人)
答:
参加体操表演的同学一共有484人。
例2:
有一个3层中空方阵,最外一边一层有10人,求全方阵的人数。
解10×10-(10-3×2)×(10-3×2)
=84(人)
答:
全方阵84人。
例3:
有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最层人数是28人,这队学生共多少人?
解
(1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)
(2)中空方阵层每边人数=28÷4-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)
答:
这队学生共160人。
例4:
一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?
解
(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)
(3)原有棋子数=7×7-9=40(只)
答:
棋子有40只。
例5:
有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。
这个树林一共有多少棵树?
解第一种方法:
1+2+3+4+5=15(棵)
第二种方法:
(5+1)×5÷2=15(棵)
答:
这个三角形树林一共有15棵树。
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