专题01 二次根式的化简与求值培优专题.docx
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专题01二次根式的化简与求值培优专题
专题 01二次根式的化简与求值
阅读与思考
二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、
换元等技巧.
有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、
二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是:
1、直接代入
直接将已知条件代入待化简求值的式子.
2、变形代入
适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值.
数学思想:
数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式
与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学
就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展.
想一想:
若 x +
例题与求解
y = n (其中 x, y, n 都是正整数),则 x , y , n 都是同类二次根式,为什么?
【例 1】当 x = 1 + 2002
2
时,代数式 (4 x3 - 2005 x - 2001)2003 的值是( )
A、0B、-1C、1D、 - 22003
(绍兴市竞赛试题)
【例 2】化简
(1)
a b + b a b 1 b
( - ) ÷
a + b ab - b a + b a - b
(黄冈市中考试题)
(2)10 + 14 - 15 - 21
10 + 14 + 15 + 21
(五城市联赛试题)
(3)6 + 4 3 + 3 2
( 6 + 3)( 3 + 2)
(北京市竞赛试题)
(4) 3 15 - 10 - 2 6 + 3 3 - 2 + 18
5 + 2 3 + 1
(陕西省竞赛试题)
解题思路:
若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通
过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解.
思想精髓:
因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也
广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度.
【例 3】比 ( 6 + 5) 6 大的最小整数是多少?
(西安交大少年班入学试题)
解题思路:
直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设 x =6 + 5, y =6 - 5,
x4 - 6 x3 - 2 x2 + 18x + 23
想一想:
设 x = 19 - 8 3, 求的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题)
x3 - 7 x2 + 5x + 15
形如:
A ± B 的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式.
【例 4】设实数 x,y 满足 ( x +x2 + 1)( y +y 2 + 1) = 1 ,求 x+y 的值.
(“宗泸杯”竞赛试题)
解题思路:
从化简条件等式入手,而化简的基本方法是有理化.
【例 5】
(1)代数式 x2 + 4 + (12 - x)2 + 9 的最小值.
(2)求代数式 x2 - 8x + 41 +x2 - 4x + 13 的最小值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:
对于
(1),目前运用代数的方法很难求此式的最小值,a2 + b2 的几何意义是直角边
为 a,b 的直角三角形的斜边长,从构造几何图形入手,对于
(2),
设 y =( x - 4)2 + 52 + ( x - 2)2 + 32 ,设 A(x,0),B(4,5),C(2,3)相当于求 AB+AC 的最
小值,以下可用对称分析法解决.
方法精髓:
解决根式问题的基本思路是有理化,有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.
【例 6】 设 m =
a + 2 a - 1 + a - 2 a - 1(1 ≤ a ≤ 2) ,求 m10 + m9 + m8 + m7 +
+ m - 47 的
值.
解题思路:
配方法是化简复合二次根式的常用方法,配方后再考虑用换元法求对应式子的值.
732008 + 152008
1.化简:
( )1004
372008 + 352008
能力训练
A 级
(“希望杯”邀请赛试题)
2.若 x + y = 3 5 - 2, x - y = 3 2 - 5 ,则 xy =_____(北京市竞赛试题)
3.计算:
1997 1999
+ +
( 1997 - 1999)( 1997 - 2001) ( 1999 - 2001)( 1999 - 1997)
2001
( 2001 - 1997)( 2001 - 1999)
(“希望杯”邀请赛试题)
4.若满足 0<x<y 及 1088 =
x + y 的不同整数对(x,y)是_______(上海市竞赛试题)
5.如果式子 ( x - 1)2 + ( x - 2)2 化简结果为 2x-3,则 x 的取值范围是()
A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x>0
6、计算 14 + 6 5 - 14 - 6 5 的值为()
A.1B.5C. 2 5D. 5
(全国初中数学联赛试题)
7.a,b,c 为有理数,且等式 a + b 2 + c 3 = 5 + 2 6 成立,则 2a+999b+1001c 的值是()
A.1999B. 2000C. 2001D.不能确定
(全国初中数学联赛试题)
8、有下列三个命题
甲:
若α ,β 是不相等的无理数,则αβ + α - β 是无理数;
乙:
若α ,β 是不相等的无理数,则 α - β
α + β
是无理数;
丙:
若α ,β 是不相等的无理数,则α + β 是无理数;
其中正确命题的个数是()
A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个
(全国初中数学联赛试题)
9、化简:
(1)
x y - y x
x y + y x -
y x + x y
y x - x y
(2)
2 6
3 + 2 - 5
(3)
11 + 5 7 + 4 6
7 + 77 + 66 + 42
(4)5 - 24
(5)3 + 5
10、设 x =33 - 5
(
“希望杯”邀请赛试题)
11、已知 7 x2 + 9x + 13 + 7 x2 - 5x + 13 = 7 x ,求 x 的值.
n + 1 + n
x =
n + 1 + nn + 1 - n
值为 1985?
(n 为自然数),当 n 为何值,代数式19 x 2 + 123 xy + 19 y 2 的
B级
1
2 + 32 - 3
2.已知实数 x,y 满足 ( x -x2 - 2008)( y -y 2 - 2008) = 2008 ,则 3x 2 - 2 y 2 + 3x - 3 y - 2007 =_
___(全国初中数学联赛试题)
3.已知 x =
那么
3 x4 + x2 + 1
= ______ . (重庆市竞赛试题)
4. a =
3
3 1
+ + =_____. (全国初中数学联赛试题)
a a 2 a3
5.a,b 为有理数,且满足等式 a + b 3 =
6 1 + 4 + 2 3 则 a+b=( )
A.2B.4C.6D.8
(全国初中数学联赛试题)
6.已知 a =2 - 1,b = 2 2 - 6, c = 6 - 2 ,那么 a,b,c 的大小关系是()
.
Aa < b < cB. b<a<cC. c<b<cD. c<a<b
(全国初中数学联赛试题)
7.已知 x =
1
a
- a ,则 4x + x2 的值是( )
11
B.- aC.a +D.不能确定
aaa
8.若[a]表示实数 a 的整数部分,则[1
] 等于( )
16 - 6 7
A.1B.2C.3D.4
(陕西省竞赛试题)
9.把 (a -1)⋅ -1
a -1
中根号外的因式移到根号内,则原式应等于( )
A.1 - aB. a - 1C. - a - 1D. - 1 - a
10、化简:
(1)1998 ⨯1999 ⨯ 2000 ⨯ 2001 + 1
4
1
++
(3) 8 + 2 15 - 10 - 6
5 + 3 - 2
1
100 99 + 99 100
(武汉市调考题)
(“希望杯”邀请赛试题)
(新加坡中学生竞赛试题)
(山东省竞赛试题)
(4) 2(6 - 2 3 - 2 5 + 15)(太原市竞赛试题)
11、设 0 < x < 1,求证 5 ≤
x2 + 1 + 1 + (1- x)2 < 1 + 2 .
(“五羊杯”竞赛试题)
12、求 x2 - 8x + 41 - x2 - 4x + 13 的最大值.
3a + ba 2 + b2 + c2
13、已知 a, b, c 为正整数,且为有理数,证明:
为整数.
3b + ca + b + c
专题 01二次根式的化简与求值
例 1A提示:
由条件得 4x2-4x-2 001=0.
例 2
(1)原式=ab ( a + b ) ⎡
a + b⎢ b
⎣
2 ( 5 + 7 )- 3 ( 5 +
(2)原式=
7 )
7 )=2 6 -5.
b 1 ⎤ a - b
- ⎥ · =2 ab
a - b a + b ⎥ b
⎦
( 6 + 3 )- 3( 3 + 2 )
(3)原式= ( 6 + 3 )( 3 + 2 ) =
3
6 + 3 3 + 2
(4)原式=
5 3 3 - 2 + 2 3 3 3 - 2 + 3 3 - 2
5 + 2 3 + 1
= 3 3 - 2 .
例 3x+y=2 6 ,xy=1,于是 x2+y2=(x+y)2-2xy=22,x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=42 6 ,x6+y6
=(x3+y3)2-2x3y3=10582 .∵0< 6 - 5 <1,从而 0<
6 6
582. 例 4x+ x2 + 1 =1
y +y 2 + 1
= y2 + 1 -y…①;同理, + y2 + 1 = 1
x…②.由①+②得 2x=-2y,x+y=0.例 5
(1)构造如图所示图形,PA
= x2 + 4 ,PB=(12 - x )2 + 9 .作 A 关于 l 的对称点 A',连 A'B 交 l 于 P,
则 A'B= 122 + 52 =13 为所求代数式的最小值.
(2)设 y=(x - 4)2 + 52 +
(x - 2)2 + 32
,设 A(x,0),B(4,5),C(2,3).作 C 关于 x 轴对称点 C1,连
结 BC1 交 x 轴于 A 点.A 即为所求,过 B 作 BD⊥CC1 于 D 点,∴AC+AB=C1B
=22 + 82 = 217 .例 6m =
2
a - 1 ∙ 1 + 12 +
2
a - 1 ∙ 1 + 12 =
2 2
≤ a - 1 ≤1,∴-1≤ a - 1 -1≤0,∴m=2.设 S=m10+m9+m8+…+m-
2
47=210+29+28+…+2-47 ①, S=211+210+29+…+22-94 ②,由②-①,
得 S=211-2-94+47=1 999.
A 级1.12. 5 - 2 3.0提示:
令 1997 =a, 1999 =b, 2001 =c. 4. (17,833),(68,
( 3 + 2 ) - ( 5 )
2 (x + y )3 + 2 6 + 2 - 5
(BCBA
612), 153,420)5.6.7.8.9.
(1)
(2)原式==
x - y3 + 2 - 5
2 2
3 + 2 - 5
= 3 + 2 + 5 .(3) 11 - 6(4)- 5 - 3 (5) 3 + 2 10.48 提示:
由已知得 x2 +5x=2,原式=
2
(x2+ 5x+4)(x2+5x+6).11.由题设知 x>0,( 7 x2 + 9 x + 13 + 7 x2 - 5x + 13 )( 7 x2 + 9x + 13 -
7 x2 - 5x + 13 )=14x.∴ 7 x2 + 9x + 13 - 7 x2 - 5x + 13 =2,∴2 7 x2 + 9 x + 13 =7x+2,∴21x2-8x
-48=0.其正根为 x= 12
7
. 12.n=2 提示:
xy=1,x+y=4n+2.
1
B 级 1. 642.提示:
仿例 4,由条件得 x=y,∴(x- x2 - 2008 )2=2 008,∴x2-2008-x x2 - 2008
=0,∴ x2 - 2008 ( x2 - 2008 -x)=0,解得 x2=2 008.∴原式=x2-2 007=1.3.
9
55
4.1 提
示:
∵( 3 2 -1)a=2-1,即
1
a
= 3 2 -1. 5.B 提示:
由条件得 a+b 3 =3+ 3 ,∴a=3,b=1,
∴a+b=4. 6.B提示:
a-b= 6 -1- 2 > 3 + 2 2 -1- 2 =0.同理 c-a>07.B8.B
9 . D提示:
注意隐含条件a - 1 < 0 .10 .
(1)1 998999.5提示:
设 k = 2 000 ,原式=
k 2 - k - 1911
2 10 (n + 1) n + n n + 1 n
1
(8 + 2 15 )- 2 ( 5 + 3 ) ( 5 + 3 ) - 2 ( 5 + 3 )
=
5 + 3 - 25 + 3 - 2
= 5 + 3 .(4)2- 5 - 3 11.构造如图所示
边长为 1 的正方形 ANMD,BCMN.设 MP=x,则 CP= 1 + x2 ,AP= 1 + (1 - x )2 ,AC= 5 ,AM= 2 ,
∴ AC≤ PC + PA< AM + MC ,,则5 ≤ 1 + x2 + 1 + (1 - x )2 < 1 + 2
12.设 y= x2 - 8x + 41 - x2 - 4x + 13 =
(x - 4)2 + 52 - (x - 2)2 + 32 ,
设 A(4,5),B(2,3),C(x,0),易求 AB 的解析式为 y=x+1,易证当 C 在
直线 AB 上时,y 有最大值,即当 y=0,x=-1,∴C(-1,0),∴y=
3b + c = ( 3b + c )( 3b - c ) =3b22
2
- ac )
为有理数,则 b2 -ac=0.又 a2+
b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=(a+b+c)2-2(ab+bc+b2)= (a + b + c )2 -2b(a+b+c)=(a+b
+c)(a-b+c),∴原式=a-b+c 为整数.
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