中考相似三角形动点问题分类讨论问题培优及答案.docx
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中考相似三角形动点问题分类讨论问题培优及答案
2018年中考复习相似动点分类讨论
1.如图,已知一个三角形纸片
,
边的长为8,
边上的高为
,
和
都为锐角,
为
一动点(点
与点
不重合),过点
作
,交
于点
,在
中,设
的长为
,
上的高为
.
(1)请你用含
的代数式表示
.
(2)将
沿
折叠,使
落在四边形
所在平面,设点
落在平面的点为
,
与四边形
重叠部分的面积为
,当
为何值时,
最大,最大值为多少?
【答案】解:
(1)
(2)
的边
上的高为
,
当点
落在四边形
内或
边上时,
=
(0
)
当
落在四边形
外时,如下图
,
设
的边
上的高为
,则
所
综上所述:
当
时,
,取
,
当
时,
,取
,
当
时,
最大,
2.如图,抛物线经过
三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作
轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与
相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
【答案】解:
(1)
该抛物线过点
,
可设该抛物线的解析式为
.
将
,
代入,
得
解得
此抛物线的解析式为
.
(2)存在.
如图,设
点的横坐标为
,则
点的纵坐标为
,
当
时,
,
.
又
,
①当
时,
,
即
.解得
(舍去),
.
②当
时,
,即
.
解得
,
(均不合题意,舍去)
当
时,
.
类似地可求出当
时,
.
当
时,
.综上所述,符合条件的点
为
或
或
.
3.如图,已知直线
与直线
相交于点
分别交
轴于
两点.矩形
的顶点
分别在直线
上,顶点
都在
轴上,且点
与点
重合.
(1)求
的面积;
(2)求矩形
的边
与
的长;
(3)若矩形
从原点出发,沿
轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为
秒,矩形
与
重叠部分的面积为
,求
关于
的函数关系式,并写出相应的
的取值范围.
【答案】
(1)解:
由
得
点坐标为
由
得
点坐标为
∴
由
解得
∴
点的坐标为
∴
(2)解:
∵点
在
上且
∴
点坐标为
又∵点
在
上且
∴
点坐标为
∴
(3)解法一:
当
时,如图1,矩形
与
重叠部分为五边形
(
时,为四边形
).过
作
于
,则
∴
即
∴
∴
即
当
时,如图2,为梯形面积,∵G(8-t,0)∴GR=
∴
当
时,如图3,为三角形面积,
4.如图,矩形
中,
厘米,
厘米(
).动点
同时从
点出发,分别沿
,
运动,速度是
厘米/秒.过
作直线垂直于
,分别交
,
于
.当点
到达终点
时,点
也随之停止运动.设运动时间为
秒.
(1)若
厘米,
秒,则
______厘米;
(2)若
厘米,求时间
,使
,并求出它们的相似比;
(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形
与梯形
的面积相等,求
的取值范围;
(4)是否存在这样的矩形:
在运动过程中,存在某时刻使梯形
,梯形
,梯形
的面积都相等?
若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(1)
,
(2)
,使
,相似比为
(3)
,
,
即
,
当梯形
与梯形
的面积相等,即
化简得
,
,
,则
,
(4)
时梯形
与梯形
的面积相等
梯形
的面积与梯形
的面积相等即可,则
,把
代入,解之得
,所以
.
所以,存在
,当
时梯形
与梯形
的面积、梯形
的面积相等.
5.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?
【答案】解:
(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.
(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=
t,由AP=t,得PB=6-t,
所以S△BPQ=
×BP×QE=
(6-t)×
t=-
t2+3
t;
(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因为∠C=600,
所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=
×2t=t,
所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,
所以PR=EQ=
t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR~△PRQ,
所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=
即
所以t=
所以当t=
时,△APR~△PRQ
6.在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA=90º,CB=3,OA=6,BA=3
.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;
(3)点M是
(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
.7.在图15-1至图15-3中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1 = ∠2 = 45°.
(1)如图15-1,若AO = OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系;
(2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2,其中AO = OB.
求证:
AC = BD,AC ⊥ BD;
(3)将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
图15-3,求
的值.
【答案】解:
(1)AO = BD,AO⊥BD;
(2)证明:
如图4,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠ACO = ∠BEO.
又∵AO = OB,∠AOC =∠BOE,∴△AOC ≌ △BOE.∴AC = BE.
又∵∠1 = 45°,∴∠ACO = ∠BEO = 135°.∴∠DEB = 45°.
∵∠2 = 45°,∴BE = BD,∠EBD = 90°.∴AC = BD.延长AC交DB的延长线于F,
如图4.∵BE∥AC,∴∠AFD = 90°.∴AC⊥BD.
(3)如图5,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠BEO= ∠ACO.
又∵∠BOE= ∠AOC,∴△BOE ∽ △AOC.∴
.
又∵OB = kAO,由
(2)的方法易得BE = BD.∴
.
10.如图,已知过A(2,4)分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M、N,若点P从O点出发,沿OM作匀速运动,1分钟可到达M点,点Q从M点出发,沿MA作匀速运动,1分钟可到达A点。
(1)经过多少时间,线段PQ的长度为2?
(2)写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围;
(3)在P、Q运动过程中,是否可能出现PQ⊥MN?
若有可能,求出此时间t;若不可能,请说明理由;
(4)是否存在时间t,使P、Q、M构成的三角形与△MON相似?
若存在,求出此时间t;若不可能,请说明理由;
Y
NA
Q
OPMX
考点五:
相似三角形中的动点问题
1.在矩形ABCD中,AB=12cm,AD=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示运动时间(0≤t≤6),那么当t为何值时,△APQ与△ABD相似?
说明理由.
2.(2011•乌鲁木齐)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6米,BC=8米,动点P以2米/秒的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1米/秒的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.
(1)①当t=2.5秒时,求△CPQ的面积;
②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;
(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,写出t的值;
3.(金华)如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC;
(2)当
,求
的值;
(3)△APQ能否与△CQB相似?
若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.
4.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标为(6,0),(6,8).动点M、N分别从O、B同时出发,都以每秒1个单位的速度运动,其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连接MP,已知动点运动了x秒.
(1)用含x的代数式表示P的坐标(直接写出答案);
(2)设y=S四边形OMPC,求y的最小值,并求此时x的值;
(3)是否存在x的值,使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似?
若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
5、如图,正方形
的边长为
,
是
边的中点,点
在射线
上,过
作
于
.
(1)求证:
;
(2)当点
在射线
上运动时,设
,是否存在实数
,使以
为顶点的三角形也与
相似?
若存在,请求出
的值;若不存在,说明理由.
6.(2012•鸡西)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标.
(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似.
(3)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
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