空间向量与立体几何整章教案.docx
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空间向量与立体几何整章教案
空间向量与立体几何
一、知识网络:
二•考纲要求:
(1)空间向量及其运算
1经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;
2了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;
3掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;
4掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
(2)空间向量的应用
1理解直线的方向向量与平面的法向量;
2能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;
3能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);
4能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向
本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:
以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题
借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时空间向量及其运算
一、复习目标:
1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘;2.了解空间向量的基本定理;3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角
的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点:
理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法
三、教学方法:
探析类比归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。
学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。
(二八知识梳理,方法定位。
(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。
1.空间向量的概念
力等。
向量:
在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、
相等向量:
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
表示方法:
用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量
说明:
①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。
2.向量运算和运算率
OB=0AAB=ab
BA=0A-OB=a_b
OP=a('R)
加法交换率:
ab=ba.
加法结合率:
(ab)c=a(bc).
数乘分配率:
入(a+b)=ha+7b
说明:
①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3.平行向量(共线向量):
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a平行于b记作a//b。
注意:
当我们说a、b共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说a、b平行时,也具有同样的意义。
共线向量定理:
对空间任意两个向量a(a丰0)、$,a//b的充要条件是存在实数人使b=
a
(1)对于确定的,和a,b=■a表示空间与a平行或共线,长度为|,a|,当,>0时与a同向,当■<0时与a反向的所有向量。
(3)若直线I//a,I,P为I上任一点,O为空间任一点,下面根据上述定理来推导op的表达式。
推论:
如果I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点Q点
P在直线I上的充要条件是存在实数t,满足等式QP=QAta
其中向量a叫做直线I的方向向量
QP=(1-t)QAtQB.②
当tJ时,点P是线段AB的中点,则
2
QP=-(QAQB).
2
①或②叫做空间直线的向量参数表示式
③是线段AB的中点公式
在I上取AB=a,则①式可化为
注意:
⑴表示式(*)、(**)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推论的用途:
解决三点共线问题。
⑶结合三角形法则记忆方程。
4•向量与平面平行:
如果表示向量a的有向线段所在直线与平面〉平行或a在〉平面内,我们就说向量a平行于平面〉,记作a//〉。
注意:
向量a/:
■与直线a//〉的联系与区别。
共面向量:
我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是
存在实数对x、y,使xayb•①
注:
与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。
推论:
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y,使
MP=xMAyMB,④
或对空间任一定点O,有OP=OMxMAyMB.⑤
在平面MAB^,点P对应的实数对(x,y)是唯一的。
①式叫做平面MAB^向量表示式。
又•••MA=OA—OM;.MB=OB_OM,.代入⑤,整理得
OP_x_y)OMxOAyOB.
由于对于空间任意一点P,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一等式),点P就在平面MAB^;对于平面MAB^的任意一点P,都满足等式④、⑤、⑥,所
以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、mb(或不共线三点MA、B)确定的空
间平面的向量参数方程,也是MA、B、P四点共面的充要条件。
5.空间向量基本定理:
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使xaybzc.
说明:
⑴由上述定理知,如果三个向量a、b、c不共面,那么所有空间向量所组成
的集合就是"p|p二xaybzc,x>y>zRf,这个集合可看作由向量a、b、c生成的,所以我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念;⑷由于0可视为与任意非零向量共线。
与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不是0。
推论:
设OA、BC是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z,使OP=xOAyOBzOC.
6.数量积
(1)夹角:
已知两个非零向量a、b,在空间任取一点0,作OA二a,0B二b,则角/AOB叫做向量a与b的夹角,记作a,b
a
说明:
⑴规定OWa,bw二,因而a,b=b,a;
/=Il-NA
⑵如果a,b=,则称a与b互相垂直,记作a丄
2
的起点重合,注
⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段意图
(1)、
(2)中的两个向量的夹角不同,
图
(1)中/A0=OA,OB,
图
(2)中/A0=二-AO,OB,
从而有-OA,OB=OA^-OB二二-OA,OB.
(2)向量的模:
表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
(3)向量的数量积:
abeosa,b叫做向量a、b的数量积,记作ab
L_一
即ab=^bcos〈a,b),
向量AB在e方向上的正射影:
ae=|AB|eosa,e=AB
(4)性质与运算率
⑴a6=cosGe。
(2)a丄b二ab=0
⑶iar=aa.
⑶a(bC)=才bae
(三)•典例解析
题型1:
空间向量的概念及性质
例1、有以下命题:
①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么a,b的
关系是不共线;②o,代b,c为空间四点,且向量oaoboc不构成空间的一个基底,那么
4444^4^4
间的一个基底。
其中正确的命题是(
)。
(A)①②(B)①③(C)②③
(D)①②③
解析:
对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底,
那么a,b的关
系一定共线”;所以①错误。
②③正确题型2:
空间向量的基本运算
X—
•C
+
・b
丄2
例2、如图:
在平行六面体
r-I
BL的交点。
若AB二a,
中与BM相等的向量是(
(C
-4C
+
・b
丄2
+
4a
1-2
B
4C
+
■b
1-2
-
■a
1-2
则下列向量
M为A1C1与
11
(D)—abe
22
点O,代B,C一定共面;③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a・b,a-b,c,也是空
解析:
显然BM=BB1B1M
J(AD_AB)AA
2
;答案为A。
点评:
类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。
用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法•考查学生的空间想象能力。
例3、已知:
a=3m_2n_4p=0,b=(x1)m8n2yp,且m,n,p不共面.若a//b,求x,y的值•
解:
a//b,,且a=0,b二■a,即(x1)m8n2yp=3'm-2■n-4'p.
x182y
又m,n,p不共面,,x=-13,y=8.
3-2-4
点评:
空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。
AB//平面CBD.
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点,求证:
证明:
记AB亠,AC=b,AA1=C,贝U
AB1,DB,DC1共面.
11L
AB1=a:
:
c,DB=AB-AD=ab,DC〔二DC川CC〔b:
:
c・・DB:
:
DC〔=a:
:
c=AB〔
VB^E平面CBD,AB1//平面CBD.
(四)强化巩固导练
1、已知正方体ABC—A1B1GD中,点F是侧面CDDC的中心,若AF二ADxAByAA1,求X
-y的值.
解:
易求得5冷,.―。
2、
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
M为AC与BD的交点,若AB二a.
F列向量中与bjm相等的向量是(A)
A.—!
a+lb+c
22
C.1a「1b+c
22
B.1a+-b+c
22
D.-2a「lb+c
22
3、(2009四川卷理)如图,已知正三棱柱ABC-ABQ的各条棱长都相等,
M是侧棱CC1
的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大是
解析:
不
——1妨设棱长为2,选择基向量{BA,BBi,BC},贝UABi=BBi_BA,BM=BCBBi
2
cos:
AB1,BM
1——
(BBj-BA)・(BCBB1)
2
^2<5
0-220
22i5
-0,故填写90°
a
b
—
+
a
b
cos0
4•异
(五八小结:
1立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明•对于垂直,一般是利用a丄b=a・b=0进行证明•对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2•运用向量求解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后计算这个向量对应的模•而计算过程中只要运用好加法法则,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来,从而求得结果.3.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便•其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式面直线间的距离的向量求法:
已知异面直线丨1、丨2,AB为其公垂线段,CD分别为丨1、丨2
上的任意一点,n为与AB共线的向量,贝门AB丨二|CD丄!
.5•设平面a的一个法向量为n
|n|
点P是平面a外一点,且€a,则点P到平面a的距离是d=!
^竺.
|n|
第二课时
空间向量的坐标运算
一、复习目标:
1、理解空间向量坐标的概念;2、掌握空间向量的坐标运算;3•掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式.
二、重难点:
掌握空间向量的坐标运算;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式.
三:
教学方法:
探析类比归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、基础知识过关(学生完成下列填空题)
1、空间直角坐标系:
(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{i,j,k}表示;
(2)在空间选定一点0和一个单z
位正交基底{i,1,k},以点0为原点,分别以?
i,k的方向为正方刁A(x,y,z)向建立三条数轴:
X轴、y轴、z轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O—xyz,点0叫原点,向量i,j,k都x
叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx
平面;
2、空间直角坐标系中的坐标:
在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一
的有序实数组(x,y,z),使0^=xiyjzk,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角
坐标系0-xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.
3、设a=但1,日2,日3),b=(bi,t>2,b3)
⑴a±b=。
(2),a=.(3)a•b
(4)
(5)模长公式:
若a二⑻,a2,a3),
a//b=;a_b=.
AB
如何求直线的方向向量?
(8)^设A—(xi,yi,zi),B—(x2,y2,z2)
则AB
AB的中点M的坐标为
4、直线的方向向量的定义为
5、平面的法向量的定义为。
如何求平面的法向量?
(二)典型题型探析题型1:
空间向量的坐标例1、
(1)已知两个非零向量a=(ai,a2,a3),b=(bi,b2,b3),它们平行的充要条件是()
—r—w——r
A.a:
|a|=b:
|b|B.ai•bi=a2•b2=a3•b3
Cabi+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k,使a=kb
(2)已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,a丄b,则x+y的值是()
A.—3或1B.3或—1C.—3D.1
(3)下列各组向量共面的是()
A.a:
=(1,
2,
3),
b
=(3,
0,
2),
c=(4,
2,
5)
B.a:
=(1,
0,
0),
b
=(0,
1,
0),
c=
=(0,
0,
1)
C.a:
=(1,
1,
0),
b
=(1,
0,
1),
c=
=(0,
1,
1)
D.a:
=(1,
1,
1),
—B-
b
=(1,
1,
0),
—rc=
=(1,
0,
1)
解析:
(1)
D;
点拨
:
由共线向
1量定1
线易知;
9
/+16+x2=36x=4,'x=/,
(2)A点拨:
由题知卩+幼+乙二0n或〔y";
(3)A点拨:
由共面向量基本定理可得。
点评:
空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
例2、已知空间三点A(—2,0,2),B(—1,1,2),C(—3,0,4)。
设a=ab,b=AC,
(1)求a和b的夹角d;
(2)若向量ka+b与ka—2b互相垂直,求k的值.
思维入门指导:
本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果•
解:
•••A(—2,0,2),B(—1,1,2),C(—3,0,4),a=^B,b=AC,
•••a=(1,1,0),b=(—1,0,2).
■■-100,10'、10
(1)cos十皀2=25二—方,•••a和b的夹角为一布。
|a||b|
(2)••ka+b=k(1,1,0)+(—1,0,2)=(k—1,k,2),
ka—2b=(k+2,k,—4),且(ka+b)丄(ka—2b),
•(k—1,k,2)・(k+2,k,—4)=(k—1)(k+2)+k2—8=2k2+k—10=0。
5
则k=—2或k=2o
点拨:
第
(2)问在解答时也可以按运算律做。
(a+b)(ka—2b)=k2a2—ka•b—
5
2b2=2k2+k—10=0,解得k=—2,或k=2o
题型2:
数量积
例3、
(1)(2008上海文,理2)已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2?
—b)•a=.
(2)设空间两个不同的单位向量a=(xi,yi,0),b=(X2,y2,0)与向量c=(1,1,1)的夹
31
角都等于4。
⑴求xi+yi和xiyi的值;
解析:
(1)答案:
13;解析:
v(2a—b)-a=2a2—b-a=2|a|2—|a|-|b|-cos120°
1f-2222
=2•4—2•5(——)=13。
(2)解:
(1)v|a|=|b|=1,:
x1+y1=1,「.x2=y2=1.
2
二二•2.6
,”,r\r\r\””
又va与c的夹角为4,.•.a•c=|a||c|cos4=2111=2.
6
又va•c=X1+y1,•••X1+y1=2。
V611
_.2222——
另外x1+y1=(X1+y1)-2x1y1=1,.°.2xy=
(2)—1=2.•xy=4。
6a"b
(2)cos==X1X2+y1y2,由
(1)知,X1+y1=2
|a||b|
X2—2x+4=0的解.
-V2
4
1
X1y1=4
•X1,y1是方程
X1=,
t4.6--2
X1
厂,或y1
X1=y2,
4
-.16-■.2
X2二y1二
中'6+厂
X2=
_4
I-J6-■,2y2:
、、4
va工b,/
—b-—te
•cos=4
同理可得
.6■<2y2二
4
J6+丘
x2二y1二
w'6—J2
X2=
4_
.6.2
y2:
.4
X1二
丄丄
4=4+4=2
-Oww»•• b>=3。 评述: 本题考查向量数量积的运算法则。 题型3: 空间向量的应用 例4、 (1)已知a、b、c为正数,且a+b+c=1,求证: 13a1+13b113c1<43。 (2)已知R=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,Fs=3i-4j+5k,若F1,F2,F3共同作用于同一物体上,使物体从点M(1,-2,1)移到点M(3,1,2),求物体合力做的功。 解析: (1)设m=(13a1,13b1,13cA),n=(1,1,1), 则|m|=4,|n|=3. ■/m•n<|m|•]n|, m•n=.13a1+13b1+..13c1<|m|•]n|=4、、3 1 当13a1: 111 =13b1=.13c1时,即a=b=c=3时,取“=”号。 (2)解: W=F•s=(Fi+F2+F3)•mim2=14。 点评: 若m=(x,y,z),n=(a,b,c),则由m•n<|m|•〔n|,得(ax+by+cz)2<(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。 本题考查|a|•|b|>a•b的应用,解题时要先根据题设条件构造向量a,b,然后结合数量积性质进行运算。 空间向量的数量积对应做功问题。 (三八强化巩固训练 1、(07天津理,4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ©(a•b)c—(c•a)b=0②|a|—|b|<|a—b|@(b•c)a—(c•a) 22». b不与c垂直④(3a+2b)(3a—2b)=9|a|—4|b|中,是真命题的有() A.①②B.②③C.③④D.②④ 解析: ①平面向量的数量积不满足结合律•故①假;答案: D ②由向量的减法运算可知由|、|b|>|a—b|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真; ③因为[(b•c)a—(c•a)b]•c=(b•c)a•c—(c•a)b•c=0,所以垂直•故③假; 3a+2b)(3a—2b)=9-a•a—4b•b=9|a|—4|b|成立.故④真. 点评: 本题考查平面向量的数量积及运算律。 2、 已知O为原点, 向量OA二3,0,1, Ob 二-1,1,2,OC_OA,BC// OA ,求AC. 解: 设OCh[x,y,z,BC1,y-1,z-2, TTTT •••OC_OA,BC//OA, OC BC=OA 3xz=0, 3xz=0, i x1,y_1,^_^3,0,1 /即匸雹 \z-2=K 解此方程组,得x—7,y“忆二21,—丄。 101010 (四)、小结: (1)共线与共面问题;⑵平行与垂直问题;(3)夹角问题;⑷距离问题;运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势•用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示,本节主要
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- 空间 向量 立体几何 整章 教案