Levy过程与随机计算读书报告.docx
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Levy过程与随机计算读书报告
湖南师范大学研究生课程论文
论文题目Levy过程与随机计算读书报告
课程名称Levy过程与随机计算
***
***
*********
业概率论与数理统计年级
院数学与计算机科学学院日期
(以下内容由任课老师填写)
研究生课程论文简要评语
评阅教师签名:
年月日
得分:
Le过程与随机计算读书报告
姓名:
***
学号:
**********
这学期我们在邓老师的带领下学习了Levy过程与随机计算这门课程,通过这门课程的学习,我对Levy过程有了初步的了解,并掌握了一些随机分析和随机计算的知识。
下面就针对Levy过程的一些知识点做一些总结,其中包括Levy过程的定义,性质,定理,和一些例子
(女口Brownian运动,Gaussian过程,Poisson过程,复合Poisson过程等)以及它们的Levy特征,还简单介绍了Levy—Ito分解定理。
首先,先回顾一下几个重要知识点:
无穷可分:
X称为无穷可分的,若对于-n・N,存在n个相互独立同分布的随机变量Y(n),丫J,…,丫n(n)使得X与Y(n)+丫畀+…+丫,")同分布。
Lev-yKhich定理:
丄是Rd上的一个Borel概率测度,
,是无穷可分的二存在向量b・Rd,正定对称dd矩阵A,Rd-{0}上的一个Levy测度「使得对于Rd,均有
.(u)二exp{i(b,u)-£(u,Au)d[ei(u,y)-1-i(u,y)目(y)](dy)}
其中=.
Levy特征:
X(t)的特征函数①x(t)(u)=E(e(u,X(t)))=e"(Eu乏Rd),
我们称映射:
Rd>C为Levy特征
一、Levy过程的定义:
设概率空间为」F,m为概率空间,X二{X(t),t—O}为定义在该空间
上的一个随机过程,我们称X是一个Levy过程,若X满足以下几条:
L
(1):
X(0)=O(a.s);
L
(2):
X有独立平稳增量,即对于fN,OU一…一匚1「:
,
(X(tj』-X(tj),仁门n)相互独立;
且X(tj.J-X(tj)与X(tj1-tj)-X(0)同分布;
L(3):
X是随机连续的,即对于P^OAZ^O.limP(X(t^X(s^>a^0-注:
在L
(1),L
(2)满足的条件下,L(3)等价于-a•0,啊P(X(t)•a)=0.
二、Levy过程的几条性质,定理;
1、若X是一个Levy过程,则对于-t_0,X(t)是无穷可分的(即对于-n・N,X可以表示成n个相互独立同分布随机变量的和)。
2、若X=(X(t),t一0)是随机连续的,则对于-u•Rd,映射t>「x(t)(u)是连续的。
3、若X是一个Levy过程,则对于Rd,t_0,门x(t)(u)二d(u)其中叮\(t)(u)为X(t)的特征函数,即:
•:
"(u)=E(Ju,X⑴)),为
X
(1)的Levy特征。
4、若X=(X(t),t_0)是一个Levy过程,特征为(b,A,.);
则
(1)-X=(-X(t),t_0)也是一个Levy过程,并且其特征为(-b,A,'~),
其中对于-AB(Rd),~(A)八(-A);
(2)-cR,过程(X(t)-ct,t一0)是一个Levy过程,其特征为(bc,A,、)
5、若随机过程X和丫是随机连续的,则X•Y=(X(t)•Y(t),t_0)也是随机连续的。
6、若v过程X和丫相互独立,则X+Y=(X(t)+Y(t),t=0)也是Levy
过程
7、若X=(X(t),t_O)是随机连续的,存在一列Levy过程(X.,nN),其中X^(Xn(t),t_0)并且对于-t_0,Xn(t)依概率收敛到X(t),对于-a0,limsun0P(Xn(t)-X(t)a)=0;则X是-一个Levy过程。
三、Levy过程的一些例子:
1、Brownian运动和Gaussian过程:
Rd上的(标准的)Brownian运动是一个Levy过程,
B=(B(t),t_0)满足(B1):
对于-t_0,B(t)~N(0,tl),
(B2):
B有连续的样本轨道。
由(B1),我们可知若B是一个标准的Brownian运动,则它的特征函数为:
•:
飞⑴(u)二E(ei(u,B⑴))二exp(-ftur,(对于~u•Rd,t_0)。
注解:
(1)Brownian运动的样本轨道几乎处处不可微
(2)对于任意R上的时间序列(tn,N),tn:
:
,有
limsupB(tn)「:
a.s.;liminfB(tn)--:
:
a.s
n匸n》:
:
令A是一个正定对称dd矩阵,匚为A的平方根,即二是dm矩阵满足二-T=A,令bRd,B=(B(t),t_0)是Rm上的Brownian运动,构造Rd上的过程C=(C(t),t_0),C(t)=bttB(t);
则C(t)~N(tb,tA)且C是一个Levy过程,也是一个Gaussian过程(即C的所有的有限维分布都是Gauss的)。
C的Levy特征为c(u)=i(b,u)-1®,Au),即其特征为(b,A,0)。
2
若b=0,-1-0,C(t)=;「B(t),我们常写作C(t)=BA(t),A为Brownian的协方差。
2、Poisson过程:
取值于而-{0}的参数为'的Poisson过程N=(N(t),t-0)是一个Levy过程,其中N(t)~n(.t),所以P(N(t)=n)二〒e,门.0,1,2;
定义一列非负的随机变量(Tn,乂{0})(称为等待时间):
To.0,
-n“匚,Tn=inf{t_0;N(t)二n},贝UTn服从gamma分布,且对于-n-:
.!
,间隔时间Tn-Tn!
服从均值为丄的指数分布,且是相互独立同分布的。
N=(N(t),t_0)的样本轨道在有限区间内是分段连续的,在每一个Tn处
都会有一个跳跃度为1的跳。
N(t)—毗是一个鞅,定义过程N=(N(t),t^0),其中l~(t)=N(t)—M,贝SN=(l~(t),t兰0)是一个复合Pois过程,且对于VU0,E(l~(t))=E(N(t)_&t)=0,E(l~(t)2)=珀
3、复合Poisson过程:
令(Z(n),n・X)是一列取值于Rd的相互独立同分布的随机变量,它们的分布测度均为JZ,令N=(N(t),t_0)是一个参数为■的Poisson过程,且与(Z(n),n\)独立,定义复合Poisson过程为:
7_0,
Y(t)=Z
(1)Z
(2)Z(N(t))
所以Y(t)~「(t』Z)。
显然,一个复合Poisson过程是一个Poisson过程d=1且每一个
Z(n)=1(a.s.)。
复合Poisson过程Y=(Y(t),t一0)是一个Levy过程,Y的Levy特征为Y(u)=[.(eS-1)」Z(dy)]。
Rd
若N1=(N1(t),t一0)和N2=(N2(t),t一0)是两个定义在同一个概率空
间上的相互独立的Poisson过程,到达时间分别为(Tn⑴,n、),j=1,2;则对于一些m,n,P(Trm1^Tn2^0.即两个相互独立的Poisson过程必须
在不同的时间上才会有跳。
四、Poisson随机测度
跳过程X=(.:
X(t),t一0),其中X=X(t)—X(t—),t_0,X(t—)是X(t)在t点的左极限。
若N是一个a.s.单调增的Levy过程,汕=(cN(t),t_0)取值于{0,1},则N是一个Poisson过程。
令N是一个Pois过程且选择0_1:
:
:
t?
:
:
:
二.则P(AN(t2)—△N(t1)=0AN(t1)=1)HP(AN(t2)—△N(t1)=O),所以也N不可能有独立增量。
若X是一个Levy过程,对于固定的t0,:
X=0(a.s.).
若X是一个复合Poisson过程,则aAX(s)厂:
(a.s.).
0今兰
对于-0:
:
AB(Rd-{0}),
定义N(t,A)=#{0Es汀;:
X(s)A}八a(:
X(s)),
0兰g
所以,对于yw:
:
t_0,函数A>N(t,A)C)是一个B(Rd-{0})上的计数测度,因此E(N(t,A))二N(t,A)(JdP(•)在B(Rd-{0})上是可测的,记j(HE(N(1,))为X的强度参数,若0-A,我们则称AB(Rd-{0})是从下有界的。
结论:
(1)若AB(Rd-{0})是从下有界的,贝则-t一0,N(t,A)-:
(as).
(2)若AB(Rd-{0})是从下有界的,则(N(t,A),t_0)是一个强度为-(A)的Poisson过程。
(3)若A,Ae,AB(Rd-{0})是互不相交的,则随机变量
N(t,A),,N(t,Am)是相互独立的
令(S,A)是一个可测空间,(JF,P)是一个概率空间。
(S,A)上的随机测度M是随机变量(M(B),B・A)使得:
(1)M(:
:
」)=0;
(2)可数可加性:
对于任意一个序列(An,n.N),其中(An,n.N)是
A中的互不相交的集合,M(代)=為M(An),a.s.;
nmnQN
(3)分散化独立性:
对于A中互不相交的集合族(Bi,B2/,Bn),随机变量M(Bi),M(B2),,M(Bn)是独立的。
若当M(B)「:
,M(B)服从Poisson分布,我们则称M是Poisson随机测度。
对于-BA,(B^E(M(B)),我们则可以得到(S,A)上的二一有限测度
■.
给定测度空间(S,A)上的二-有限测度■,存在概率空间(JF,P)上的Poisson随机测度M使得A,'(B)=E(M(B)).
例子:
令U=Rd-{0},C是一个Borel匚-代数,令X是一个Levy过程,则是X一个Poisson点过程,N是其Poisson随机测度。
对于-1_0,A是从下有界的,我们定义补偿Poisson随机测度:
N(t,A)=N(t,A)-t»(A),(N(t,A),U0)是一个鞅。
显然,我们有以下结论:
(1)0,•」N(t,)(•)是Rd-{0上的一个计数测度;
(2)对于-A从下有界,(N(t,A),t—0)是一个强度为
「(A)二E(N(1,A))的Poisson过程;
(3)(l~(t,A),t王0)是一个鞅值测度,其中l~(t,A)=N(t,A)-世(A),A是从下有界的。
F面看一下Poisson积分,令f为Rd到Rd的Borel可测函数,A是
从下有界的,则对于-1.0」:
三:
:
,我们可以定义f的Poisson积分为随
机变量有限和f(x)N(t,dx)(J=為f(x)N(t,{x})(J.注意每一个%xGA
Af(x)N(t,dx)都是Rd值随机变量。
因为N(t,{x})H0二AX(u)=x〒0MuMt,我们有识f(x)N(t,dx)=扛f(:
X(u))a(:
X(u)).令(TnA,nN)是Poisson过程0賈兰
(N(t,A),t_0)的到达时。
Poisson积分的另一种表达形式是
Af(x)N(t,dx)八f(:
X(TnAt))。
nFN
定理:
令A是从下有界的,则有下面几条成立:
(1)对于X/t30,Jf(x)N(t,dx)是一个复合Poisson分布,使得对于
-A
Rd,E(exp[i(u,Jf(x)N(t,dx))])=exp[tJ(Ju,x)—1)巴(dx)],其中卩f=屯叮'AA
(2)若f「(A,%),我们有E(af(x)N(t,dx)])=tAf(x)叫dx)
(3)若"l2(A,%),我们有Var(JAf(x)N(t,dx))=tJA|f(x)2卩(dx).
若f:
RdTRd是Borel可测函数,则送f(AX(u))卩A3X(u))^sa.s.
0住
(Jf(x)N(t,dx),t±0)是一个复合Poisson过程。
°A
对于任意的flTa,%),定义补偿Poisson积分:
(f(x)N(t,dxHJAf(x)N(t,dx)—tJAf(x)#(dx);
显然,(Jaf(x)l~(t,dx),t")是一个鞅;由上述定理可知:
对于Wu^Rd,有
A
E(exp[i(u,jAf(x)l~(t,dx))])=exp[tjA(Ju,x)-1-i(u,x))^f(dx)];且对于
〜厶2
"L2(A¥a),E(.f(x)N(t,dx))=q|f(x)%dx).
若A,B是从下有界的,fl2(a,%)g,L2(B,%),我们有((f(x)l〜(t,dx),Bg(x)l〜(t,dx))电f(x)g(x)A(dx).
若A是从下有界的,定义:
MLf(x)N(t,dx),f€l2(A,%),则Ma为
A
鞅空间m的闭子空间
若f为Rd到Rd的Borel可测函数,A是从下有界的,N是一个Poisson随机测度且为Levy过程X的调的计数测度,强度参数为■,定义丫=(Y(t),t_O),其中丫(".f(x)N(t,dx)(・),则丫=(丫(山-0)在[0,t]上~A
有界变差。
又设为其Levy特征,对于Rd,Mu=(Mu(t),t_0)是一
个鞅,其中Mu(t).ei(uY(t))J(u),则Mu是有界变差的。
每一个从属过程都是有界变差的。
五、Levy—Ito分解
预备知识:
命题241:
设Mj,j=1,2是两个右连左极的中心鞅,对于j,Mj是L2的,且对于-t_0,E(V(Mk(t))2)_:
k=j,
则E(M,t)M2(t))二MOM?
©))
0兰圭
注:
当Mj,j-1,2均为布朗运动时,上述命题是不成立的。
例:
N=(N(t),t_0)是一个Poisson过程,到达时间为gnN)令M是右连左极的中心鞅,则矶兰0,E(M(t)N(t))=E(EAM0;)务4})。
n€N
例:
设A是下方有界的,M是右连左极的平方可积鞅,M在N=(N(t),t-0)的到达时间是连续的,贝SM与Ma中的每一个过程均是正交的。
定理:
若Ap,p=1,2是不交的且是从下有界的,则(JxN(t,dx),t30)与
.A1
(JxN(t,dx),t去0)是相互独立的随机过程。
A2
若C0,使得sup=X(t):
:
:
C我们就称Levy过程X是有有界跳的。
0
定理:
若Levy过程X有有界跳,则对N,E(X(t)m^■-.
对于FaA0,考虑复合Poisson过程(『xN(t,dx),t兰0)定义一个新的随机
■xa11
过程Ya二亿(t),t_0),其中Ya(t)=X(t)_xN(t,dx),X(t)为Levy过程。
ha
令(Tn,N)为Poisson过程(N(t,Ba(0)c),t_0)的到达时间,则
X(t);0Mt Ya(t)二〒X(Ti_);t—Ti,且Ya(t)是一个Levy过程。 X(t)-.X(Ti);Ti: : : t: T2 IYa(T2「;t=T2 定理: 一个Levy过程丫有有界的跳=对于一些a.0,丫可以表示成Ya的 形式。 对于任意的a0,定义一个Lev过程Y? =(Y? (t),t_0), Y? (t)=Ya(t)-E(Ya(t)),则Y? 是一一个RCLL中心L2鞅, 对于-t_0,E[Ya(t)]二tE[Ya (1)]. 下面的讨论令a二1,Y? (t)、¥(t)简写为丫(t)、Y(t) 定理: 对于-t_0,丫(t)=Yc(t)Yd(t),其中Yc(t)与Yd(t)是相互独立的Levy过程,Yc(t)有连续的样本轨道,Yd(t)=[xN(t,dx). •x4 设为Poisson随机测度N的强度参数, 则 (1)是一个Levy测度; (2)对于PtAO,Rd,E(exp[i(u,Yd(t))])=exp[tG(ei(u,x)-1-i(u,x))卩(dx)]; (3)对于磁池1勻",(Y;,Yj)(tHtfx (4)YC(t)是一个布朗运动• Levy-Ito分解定理: 若X是一个Levy过程,则存在bRd,存在一个布朗运动Ba(Ba的协方差矩阵为A),存在一个R(Rd-{0})上的Poisson随机测度N(N与Ba独立) 使得>0,X(t)=bt+BA(t)+jxl~(t,dx)+J、xN(t,dx), x4制丑7 其中b二E(X (1)-jXlxN(t,dx)) 例: (1)稳定过程的Levy_Ito分解: 因为: •稳定过程没有跳,且扩 散部分为0,所以它的Levy—Ito分解为X(t)二E(X (1))t.稳定过程X(t),当1_2时,X(t)有有限均值,否则,X(t)有无限均值。 (2)从属过程的Levy—Ito分解: 因为从属过程是一维的几乎处处不降的Levy过程,所以它只有上跳没有下跳,也不能有扩散项,所以从属过程的Levy—Ito分解为X(tHb^xixN(t,dx). Levy-Ito分解的一个重要推论: 若X(t)是一个Levy过程,则对-t_0,uRd, E(exp[i(u,X(t))])=exp[t{i(b,u)—(u,Au)心心-1-i(u,y)B(y))叫dy)] 2R40} 上述推论反之不对,因为在Levy—Ito分解的证明中我们没有用到 Levy-Khichin定理,推广一下我们就可以得到下列较弱的结论: 若X 是一个Levy过程,则对于Rd,t-0,E(ei(u'X(t))^et(u), 其中n(u)=log[E(ei(u,X (1)))]即n(u)为X (1)的Levy特征.一个Levy过程的Levy特征(b,代: )是由该过程唯一决定的。 以上为本学期对Levy过程与随机计算的读书报告,虽然报告有不足之处,但是我今后一定会更加努力学习,尽量减少不足之处。 在此,衷心地谢谢邓老师的淳淳教导以及各位师兄师姐的耐心指导!
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