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八年级数学讲义

第11章三角形

一、三角形的概念

1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：

①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形的表示

△ABC中，边：

AB，BC，AC或c，a，b．

顶点：

A，B，C．

内角：

∠A，∠B，∠C．．

二、三角形的边

1.三角形的三边关系:

（证明所有几何不等式的唯一方法）

（1）三角形任意两边之和大于第三边:

b+c>a

（2）三角形任意两边之差小于第三边:

b-c

1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.

当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.

1.2确定三角形第三边的取值范围:

两边之差<第三边<两边之和.

2.三角形的主要线段

2.1三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；

②直角三角形三条高线交于直角顶点；

③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点

2.2三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，

这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形内部一点.

A

2.3三角形的中线

A

连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。

BDC

BDC

三角形的三条中线交于三角形内部一点.

三、三角形的角

1三角形内角和定理

结论1：

△ABC中：

∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角

结论2：

在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角

注意：

①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：

在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．

如：

△ABC中，已知∠A：

∠B：

∠C=2：

3：

4，求∠A、∠B、∠C的度数

2三角形外角和定理

2.1外角：

三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．

2.2性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补

2.3外角个数：

过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角

四、三角形的分类

（1）按角分：

①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形

（2）按边分：

①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形

五多边形及其内角

1、多边形的定义：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

2、正多边形:

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

3、多边形的对角线

（1）从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形。

（2）n边形共有条对角线。

4、n边形的内角和等于（n－2）·180°（n≥3，n是正整数）。

任意凸形多边形的外角和等于360°

※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.

※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；

※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.

5、实现镶嵌的条件：

拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。

【考点三】判断三角形的形状

8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。

9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。

2

10、若△ABC的三边为a、b、c（a与b不相等），且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断△ABC的形状。

二、三角形角有关计算

1.如图△ABC中AD是高,AE、BF是角平分线，它们相交于点O,∠A=50°,∠C=70°求∠DAC,∠AOB

解∵AD是△ABC的高,∠C=70°

∴∠DAC=180°-90°-70°=20°

∵∠BAC=50°

∴∠ABC=180°-50°-70°=60°

∵AE和BF是角平分线

∴∠BAO=25°,∠ABO=30°

∴∠AOB=180°-25°-30°=125°

2.如图,

△ABC中,D是BC边上一点，∠1=∠2,

∠3=∠4，∠BAC=63°

求∠DAC的度数

解:

设

1

x0

1

2,

2

x0

3

1

2

2x0

又

3

4

4

2x0

又

2

4

BAC

1800

x

2x

630

1800

x

390

DAC

630

390

240

3.已知：

P是△ABC内任意一点.求证：

∠BPC＞∠A

4.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值

3

5.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。

求证：

∠BOC=90°+∠A（角平分线模型）

6.已知：

BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P。

求证：

∠P=90°-∠A（角平分线模型）

7.△ABC中，∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D，求证：

∠A=2∠D（角平分线模型）

4

8.△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB的平分线和△ABC的外角∠OBD平分线交于P，求∠P的度数

9.如图：

求证：

∠A+∠B+∠C=∠ADC（飞镖模型）

5

第12章全等三角形

一、全等三角形的概念与性质

1、概念：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（1）表示方法：

两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作ABC≌DEF

2、性质：

（1）对应边相等

（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等

二、全等三角形的判定

1全等三角形的判定方法：

（SAS）,（SSS）,（ASA）,（AAS）,（HL）

边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边AAS直角边和斜边（HL）

三边对应相等的有两边和它们的夹

两三角形全等角对应相等的两个三角形全等

有两角和它们的两角和及其中一

夹边对应相等的个角所对的边对两个三角形全等.应相等的两个三

角形全等.

有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全

等（HL）

2．全等三角形证题的思路：

找夹角（SAS）

①已知两边找直角（HL）

找第三边（SSS）

若边为角的对边，则找任意角（AAS）

找已知角的另一边（SAS）

②已知一边一角

边为角的邻边找已知边的对角（AAS）

找夹已知边的另一角（ASA）

找两角的夹边（ASA）

③已知两角

找任意一边（AAS）

3全等三角形的隐含条件：

①公共边（或公共角）相等②对顶角相等

③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等

④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等

6

全等三角形（SAS）

【知识要点】

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“

SAS”，几何表示

如图，在

ABC和

DEF中，

A

D

ABDE

B

E

ABC≌DEF（SAS）

BC

EF

B

C

E

F

【典型例题】

【例1】已知：

如图，AB=AC，AD=AE，求证：

【例4】如图，点

A、F、C、D在同一直线上，

BE=CD.

点B和点E

分别在直线AD的两侧，AB∥DE

证明：

在△ABE和△ACD中，

A

且AB＝DE，AF＝DC。

求证：

BC∥EF。

AB=AC，

∠BAE=∠CAD

AD=AEDE

∴△ABE≌△ACD（SAS）

∴BE=CD.

B

C

【例2】如图，已知：

点D、E在BC上，且BD=CE，

AD=AE，∠1=∠2，由此你

能得出哪些结论？

给出证A

明.

B

1

2

【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三

D

E

C

角形。

求证：

BD＋CD=AD。

A

【例3】如图已知：

AE=AF，AB=AC，∠A=60°，

E

∠B=24°，求∠BOE的度数.

B

B

C

E

D

O

A

C

F

7

全等三角形（SSS）

【知识要点】

三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”，

几何表示

【典型例题】

例3.如图：

AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：

【例1】如图，在

ABC中，M在BC上，D在

∠B=∠C。

A

B

AM上，AB=AC,DB=DC求证：

AM是ABC

的角平分线

证明:

在△ABD和△ACD中，

F

E

AB=AC

DB=DC

AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠BAD=∠CAD

又∵AB=AC

∴MB=MC

∴AM是ABC的角平分线（三线合一）

【例2】如图：

在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

求证：

BD⊥AC。

A

D

B

C

CD

（图22）

例4.如图，在ABC中,C90，D、E分

别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.

求证：

DE⊥AB。

8

全等三角形（AAS）

【知识要点】

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，

【典型例题】

【例1】已知如图，AD,ABDE,AB//DE，求证：

BC=EF

AD

BECF

【例2】如图，AB=AC，BC，求证：

AD=AE

A

DE

BC

【例3】已知：

如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：

BE=CD．

C

D

F

BEA

【例4】已知如图，12,34，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？

试证明之．

B

12

DC

P

34

A

9

全等三角形（ASA）

【知识要点】

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”，

【典型例题】

【例1】如图，已知ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB平分线．求证：

CDBE．

A

DE

BC

【例2】如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：

HN＝PM.

证明：

∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2

12

在△MPQ和△NHQ中，MQNQ

MQPNQH

∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN

【例3】已知：

如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F。

求证：

AC=BF．

10

全等三角形（HL）

【知识要点】

直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”

【典型例题】

1、如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．求证：

AB∥CD．

DC

F

E

AB

例2、已知：

BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：

①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．

B

FA

CED

例3、如图：

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。

（1）求证：

MN=AM+BN。

M

C

N

AB

11

全等三角形常见辅助线的作法

一倍长中线法

倍长中线法:

就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．

倍长中线法的过程：

延长××到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）

方法总结：

遇中线，要倍长，倍长之后__构造全等三角形_，转移边、转移角，然后和已知条件重新组合解决问题

【例题精讲】

例1、如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：

AB+AC＞2AD．

分析：

①因为AD为中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE；②进而利用全等三角形的判定（SAS）△ABD≌△ECD；③由全等可得_AB=EC__；证明：

延长AD至E，使DE=AD，连接EC

∵AD是中线∴DC=DB

在△CDE和△BDA中

DE=AD，

∠CDE=∠BDA，

DC=DB

∴△CDE≌△BDA（SAS）

∴CE=AB

在△AEC中CE+AC>AE，CE=AB

∴AB+AC>AE∵DE=AD

∴AE=2AD∵AB+AC>AE∴AB+AC>2AD

例2如图CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：

CE=2CD．

证明：

延长CD至，使DF=CD，连接BF，

在⊿ADF和⊿BDC中AD=BD

∠ADF=∠BDC

CD=DF

∴⊿ADF≌⊿BDC

∴AF=BC，

AF∥BC∴∠CAF+∠ACB=180°，

∵∠ACB=∠ABC，∠ABC+∠CBE=180°

∴∠CAF=∠CBE又因为AC=BE，

∴⊿CAF≌⊿CBE∴CE=CF

12

例3、如图，在

ABC中，AD

交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点

F，交EF于点

G，若BGCF，求证：

AD为

ABC的角平分线．

证明：

延长FE到点H，使HEFE，连结BH．

在CEF和BEH中

F

CEBE

G

A

CEF

BEH

FEHE

∴CEF≌BEH

∴EFCEHB，CFBHBG

∴EHBBGE，而BGEAGF

∴AFGAGF

BC

ED

H

又∵EF∥AD

∴AFGCAD，AGFBAD

例4、如图，在ABC中，AD是BC边的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于点F．求证：

AF＝EF

证明：

延长AD到点G，使AD=DG，连结BG．∵AD是BC边的中线∴DC=DB

在△ADC和△GDB中

A

AD=DG

F

∠ADC=∠GDB

E

DC=DB

∴△ADC≌△GDB（SSS）

∴∠CAD=∠BGDBG=AC

又∵BE=AC，∴BE=BG∴∠BED=∠G

∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，

即：

∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．

BC

D

G

13

人教版数学八年级上册

二截长补短法

截长:

1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短:

1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

【例题精讲】

例1.如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2求证：

AB＝AC＋CD

证法一：

（补短法）

延长AC至点F，使得AF＝AB

证法二：

（截长法）

在△ABD和△AFD中在AB上截取AE＝AC，连结DE

在△AED和△ACD中

∴△ABD≌△AFD（SAS）

∴∠B＝∠F

∵∠ACB＝2∠B∴△AED≌△ACD（SAS）

∴∠ACB＝2∠F

而∠ACB＝∠F＋∠FDC

∴∠F＝∠FDC

∴CD＝CF

而AF＝AC＋CF

∴AF＝AC＋CD∴AB＝AC＋CD

14

人教版数学八年级上册

例2、如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠B=2∠C.求证：

CD=AB+BD.

证明：

在DC上截取DE=DB，连接AE，

在△ADB和△ADE.中DE=DB，∠ADB=∠ADE,AD=AD∴△ADE≌△ADB（SAS）

∴AE=AB，∠AEB=∠B，

∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，ED=BD，

∴∠AEB=2∠C.

∴∠C=∠CAE，故CE=AE=AB.

∴CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.

例3、如图，AD//BC，BE、AE分别是∠ABC、∠BAD的平分线，点E在CD上，求证：

AB=AD+BC

证明：

在AB上截取AF=AD，连接EF．

∵AE平分∠BAD，

∴∠1=∠2．

在△FAE和△DAE中，

AF=AD

∠1=∠2

AE=AE

∴△FAE≌△DAE．

∴∠AFE=∠D

又∵AD//BC

∴∠C+∠D=180

而∠BFE+∠AFE=180°

∴∠C=∠BFE

在BFE和BCE中

∠C=∠BFE

∠3=∠4，

BE=BE

∴BFE≌BCE

∴BF=BC

∴AD+BC=AB

例4、如图，△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、D外的任意一点。

求证：

AB－AC＞PB－PC

证明：

在AB是截取AE＝AC

在△ACP与△AEP中，有：

AC＝AE（已知）

∠EAP＝∠CAP（已知AD是∠BAC角平分线）

AP＝AP（公共边）

∴△ACP≌△AEP（SAS）

∴PC＝PE（全等三角形对应边相等）

∵BE＞PB－PE（三角形两边差小于第三边）∴BE＞PB－PC（等量代换）

∵BE＝AB－AEAC＝AE

BE＞PB－PC

∴AB－AC＞PB－PC

15

人教版数学八年级上册

三与角平分线有关的辅助线

角平分线具有两条性质：

a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

1截取构造全等

例1

如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，ABBD

AC，求：

B

C的值．

解法1：

在AC上截取AE使AE

AB，连结AE．

∵

BADDAE，AD

AD，

A

A

∴△ABD≌△AED，

∴∠B∠AED，BDDE．

又∵ABBDAC，

∴CEBDDE，

∴∠C∠EDC，

∴BAED2C，

∴∠B∠C21．

E

B

CDBCD

（图1）

F

（图2）

解法2：

延长AB到F，使AFAC，连结DF．

∵∠FAD=∠CAD，AD=AD

∴△CAD≌△FAD（SAS）∴AC=AF

又∵ABBDACAB+BF=AF∴BD=BF∠ABC=2∠F=2∠C

2、“角平分线+垂线”构造全等三角形或等腰三角形

例2如图3，在四边形ABCD中，BCBA，ADDC，BD平分∠ABC．

求证：

∠A∠C180．

证明：

过点D作DE⊥AB，交BA延长线于点

∵BD平分∠ABC，

∴DEDF．又∵ADCD，

∴Rt△EAD≌Rt△FCD，

∴∠EAD∠C．

E，作DF⊥BC，交BC于点F．

E

A

D

∵∠EAD∠BAD

180，

B

FC

∴

C

BAD180

．

（图3）

如图4，已知等腰三角形△ABC中，

A90

例3

，∠B的平分线交AC于点D，过点C

作BD的垂线交BD的延长线于点E．求证：

BD

2CE

．

证明：

延长CE交BA的延长线于点

F，

F

∵BE是∠ABC的平分线