第三章 一元一次方程 教学设计.docx
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第三章一元一次方程教学设计
第三章一元一次方程
单元教材分析:
1.本单元教学的主要内容:
列方程,一元一次方程的概念及解法,列一元一次方程解应用题。
2.本单元在教材中的地位和作用:
一元一次方程是数学中的主要内容之一,它不仅是学习其它方程的基础,而且是一种重要的数学思想——方程思想,利用方程思想可以使许多实际问题变得直接易懂,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
更深刻地体会数学的应用价值。
教学目标
1.知识与技能
(1)解方程时,注意去括号时出现漏乘和符号错误。
去分母时,漏乘不含分母的项,同时,分子如果是一个多项式,要将分子作为一个整体加上括号。
(2)列方程时,有些学生会发生“设”中的x的含义与方程中的含义不同的的错误。
(3)注意用一元一次方程的解解相关习题,训练学生综合运用知识的能力。
例如:
已知:
x=1/2是方程6(2x+m)=3m+2的解,求关于y的方程my+2=m(1—2y)的解
2.过程与方法
(1)本册教材为了更好地体现数学与生活的联系,在讲一元一次方程的解法时,都是先通过一道生活实际问题引入的,然后探讨方程的解法,我的建议是,对于引例的讲解,可以先用算术法,大部分学生习惯这种解法,再引导学生用方程的方法,从而使学生逐步认识到代数方法的优越性。
在列出方程后,引导学生探讨完方程的每一步骤后,熟练了应用这一步骤解方程后,在开始下一步骤的学习。
(2)注重几种基本题型的应用题:
商品利润问题,储蓄问题,行程问题,行船问题,工程问题,调配问题,比例分配问题,数字问题,等积变形问题。
这是一些经典题型。
同时注意一些图表型应用题,阅读理解型等新颖的应用题。
(3)关注教材第95页的实验与探究:
无限循环小数化分数,使学生意识到可以利用一元一次方程的知识将无限循环小数化分数,进一步体会方程的应用。
3.情感、态度与价值观:
初步学会分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,渗透建立方程模型的思想;
教学重点:
列方程,一元一次方程的解法。
教学难点:
解有分母的一元一次方程和应用一元一次方程解决实际问题。
教学关键:
潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点.
三、课时安排:
具体分配如下:
3.1从算式到方程约2课时
3.2解一元一次方程
(一)
-------合并同类项与移项约2课时
3.3解一元一次方程
(二)
-------去括号与去分母约2课时
3.4实际问题与一元一次方程约3课时
数学活动与小结约2课时
3.1从算式到方程
§3.1.1一元一次方程
(一)
教学目标:
知识与技能:
1.了解什么是方程,明确一元一次方程的条件。
2.掌握检验某个值是不是方程的解的方法。
过程与方法:
1.通过“列算式”和“列方程”解决问题的方法,感受方程是应用广泛的数学工具;
2.初步学会分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,渗透建立方程模型的思想;
情感态度与价值观:
体验用估算方法寻求方程的解的过程,培养学生求实的态度。
教学重点:
1.方程、一元一次方程以及方程解的概念;
2.分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程。
教学难点:
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程。
教学方法:
对比分析题意
课型:
新授课
教学过程设计:
1.创设情境提出问题
问题1:
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地.A,B两地间的路程是多少?
你会用算术方法解决这个问题吗?
此题中涉及哪些量,这些量可以用什么关系表示?
你认为引进什么样的未知量用方程表示这个问题?
引导学生分析:
解:
设A,B两地间的路程是xkm,
客车从A地到B地的行驶时间可以表示为:
卡车从A地到B地的行驶时间可以表示为:
列方程的依据是什么?
因为客车比卡车早1h经过B地,所以比小1,
即
问题2:
对于上面的问题,你还能列出其他方程吗?
2.比较方法明确意义
问题3:
比较算术方法和用方程解决这个问题各有什么特点?
比较列算式和列方程两种方法的特点.
列算式:
只用已知数,表示计算程序,依据是间题中的数量关系;
列方程:
可用未知数,表示相等关系,依据是问题中的等量关系。
具体解释为:
用算术方法解题时,列出的算式只能用已知数.而列方程时,方程中既含有已知数,又含有用字母表示的未知数.这就是说,在方程中未知数(字母)可以和已知数一起表示问题中的数量关系.
3.定义方程感受过程
问题4:
你能归纳出方程定义吗?
列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出含有未知数的等式——方程.
你能举出方程的一个例子吗?
4.巩固方法定义新知
例1:
根据下列问题,设未知数并列出方程.
(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?
分析:
设正方形的边长为x(cm),那么周长为4x(cm),依题意,得4x=24.
(2)一台计算机已使用1700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时?
分析:
设再经过x月这台计算机的使用时间达到规定的检测时间,根据每月再使用150小时,那么x月共使用150x小时.
能表示这个问题的相等关系是什么?
相等关系是:
已使用的时间1700小时+还可以使用的时间150x小时=规定的检测时间2450小时.
从而列出方程:
1700+150x=2450.
找出表达问题意义的相等关系是列出方程的关键.
(3)某校女生占全体学生的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?
问:
女生占全体学生数的52%,那么男生占全体学生数的(1-52%),如果设这个学校有x个学生,那么用含x的式子表示女、男学生数.
女生有52%x人,男生有(1-52%)x人;
问题中的相等关系是什么?
(女生比男生多80人)即女生人数-男生人数=80或女生人数=男生人数+80.
列方程:
0.52x-(1-0.52)x=80或0.52x=(1-0.52)x+80.
5.一元一次方程的概念.
观察以上所列出的各方程,有什么特点?
每个方程有几个未知数,未知数的指数是多少?
只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
例如方程2x-3=3x+1,
-3=2y等都是一元一次方程,而x+y=5,x2+3x=2都不是一元一次方程.
以上分析过程可归纳为:
分析问题中的数量关系──设未知数x──用含x的式子表示实际问题中的数量关系──找出相等关系,利用相等关系列出方程(一元一次方程).
列方程是解决实际问题的一种重要方法,利用方程可以解出未知数.
观察方程4x=24,不难发现,当x=6时,4x的值是24,这时方程等号左右两边相等,x=6叫做方程4x=24的解,这就是说,方程4x=24中未知数x的值应是6.
从方程1700+150x=2450,你能估算出x的值吗?
这里x是正整数,如果x=1,那么方程左边=1700+150×1=1850≠右边,所以x≠1.
如果x=2,则方程左边=1700+150×2=2000≠右边,所以x≠2.
类似地,我们可以列出下面的表.
x的值
1
2
3
4
5
6
…
1700+150x
1850
2000
2150
2300
2450
2600
…
从表中可以发现,当x=5时,1700+150x的值是2450.
这时方程1700+150x=2450等号左右两边相等,x=5叫做方程1700+150x=2450的解,这就是说,方程1700+150x=2450中未知数x的值应是5.
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值的过程,这个值就是方程的解.
你能从表中发现方程1700+150x=2600的解吗?
当x=6时,1700+150x的值为2600,即x=6时方程等号两边的值相等,所以这个方程的解是x=6.
思考:
你能估算出方程2(x+1.5x)=24和方程0.52x-(1-0.52)x=80的解吗?
以上估算难度较大,第一个方程,当x=4时,方程左边=20<24;当x=5时方程左边=25>24,所以取x=4.7或x=4.8.试一试,结果当x=4.8时,方程左边=24=右边,所以方程的解为x=4.8.第二个方程的解为x=2000,困难更大了,可以告诉学生,当我们学习了方程的解法后,就很容易求出x的值了.
思考:
x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-(1-0.52)x=80的解?
三、巩固练习
1.练习:
下列式子哪些是方程,哪些是一元一次方程?
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
课本第80页练习.
四、课堂小结
(1)本节课学习了哪些主要内容?
(2)一元一次方程的三个特征各指什么?
(3)从实际问题中列出方程的关键是什么?
五、课堂作业
课本第83页至第84页习题3.1第1、3、5、6、9题.
§3.1.2等式的性质
教学目标:
知识与技能:
1.了解等式的两条性质;
2.会用等式的性质解简单的一元一次方程。
过程与方法:
利用天平,培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力。
情感态度与价值观:
培养学生参与数学活动的积极性、合作交流意识。
教学重点:
了解等式的概念和等式的两条性质,并能运用它们解简单的一元一次方程。
教学难点:
两次应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”
教学方法:
观察实验归纳
课型:
新授课
教学准备:
多媒体
教学过程设计:
一、提出问题
用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗?
(1)3x-5=22;
(2)0.28-0.13y=0.27y+1.
第
(1)题要求学生给出解答,第
(2)题较复杂,估算比较困难,此时教师提出:
我们必须学习解一元一次方程的其他方法.
二、探究新知
1.天平实验演示:
教师先提出实验的要求:
请同学们仔细观察实验的过程,思考能否从中发现规律,再用自己的语言叙述你发现的规律.然后按课本第81页图3.1—1的方法演示实验.
教师可以进行两次不同物体的实验.
2.归纳:
请几名学生回答前面的问题.
在学生叙述发现的规律后,教师进一步引导:
等式就像平衡的天平,它具有与上面的事实同样的性质.比如“8=8”,我们在两边都加上6,就有“8-11=8-11”.
3.表示:
问题1:
你能用文字来叙述等式的这个性质吗?
在学生回答的基础上,教师必须说明:
等式两边加上的可以是同一个数,也可以是同一个式子.
如果a=b,那么a±c=b±c
问题2:
等式一般可以用a=b来表示.等式的性质1怎样用式子的形式来表示?
字母a、b、c可以表示具体的数,也可以表示一个式子。
4.观察课本P81图3.1-2,你又能发现什么规律?
你能用实验加以验证吗?
在学生观察图3.1一2时,必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义.观察后再请一名学生用实验验证.
然后让学生用两种语言表示等式的性质2.
如果a=b,那么ac=bc如果a=b(c≠0),那么
三、应用举例
方程是含有未知数的等式,我们可以运用等式的性质来解方程。
例1课本第82页例2中的第
(1)、
(2)题.
(1)x+7=26;
(2)-5x=20;(3)
分析:
所谓“解方程”,就是要求出方程的解“x=?
’’因此我们需要把方程转化为“x=a(a为常数)”形式。
问题1:
怎样才能把方程x+7=26转化为x=a的形式?
学生回答,教师板书:
解:
(1)两边减7,得、
x+7-7=26-7,
x=19.I
问题2:
式子“-5x”表示什么?
我们把其中的-5叫做这个式子的系数.你能运用等式的性质把方程-5x=20转化为x=a的形式吗?
用同样的方法给出方程的解.
对于第(3)小题要给予学生充分的时间交流并发表各自观点,语言表达上要求学生准确到位。
解后反思:
1第(3)题能否先在方程的两边同乘“一3”?
2比较这两种方法,你认为哪一种方法更好?
为什么?
允许学生在讨论后再回答.
小结:
请你归纳一下解一元一次方程的依据和结果的形式.
例2(补充)服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童服装每套平均用布1.5米.现已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?
在学生弄清题意后,教师再作分析:
如果设余下的布可以做x套儿童服装,那么这x套服装就需要布1.5x米,根据题意,你能列出方程吗?
解:
设余下的布可以做x套儿童服装,那么这x套服装就需要布1.5米,根据题意,得
80x×3.5+1.5x=355.
化简,得
280+1.5x=355,
两边减280,得
280+1.5x-280=355-280,
化简,得
1.5x=75,
两边同除以1.5,得x=50.
答:
用余下的布还可以做50套儿童服装.
解后反思:
对于许多实际间题,我们可以通过设未知数,列方程,解方程,以求出问题的解.也就是把实际问题转化为数学问题.
问题:
我们如何才能判别求出的答案50是否正确?
在学生代入验算后,教师引导学生归纳出方法:
检验一个数值是不是某个方程的解,可以把这个数值代入方程,看方程左右两边是否相等,例如:
把x=50代入方程80×3.5+1.5x=355的左边,得80×3.5+1.5×50=280+75=355
方程的左右两边相等,所以x=50是方程的解。
你能检验一下x=-27是不是方程
的解吗?
四、课堂练习
1.分别说出下列各式子的系数
3x,-7m,
,a,-x,
2.利用等式的性质解下列方程
(1)x-5=6
(2)0.3x=45
(3)-y=0.6(4)
3.七年级3班有18名男生,占全班人数的45%,求七年级3班的学生人数。
4.思考:
你能用等式的性质解本课引入时的方程3x-5=22吗?
五、课堂小结
让学生进行小结,主要从以下几个方面去归纳:
①等式的性质有那几条?
用字母怎样表示?
字母代表什么?
②解方程的依据是什么?
最终必须化为什么形式?
③在字母与数字的乘积中,数字因数又叫做这个式子的系数.
六、布置作业
课本第83页习题3.1第4、7、8、10题;选做题:
第11题
教学反思:
§3.2解一元一次方程
(一)
——合并同类项与移项
(1)
教学目标:
知识与技能:
1.学会合并(同类项),会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程。
2.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程。
过程与方法:
经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
情感态度与价值观:
初步体会一元一次方程的应用价值,感受数学文化。
教学重点:
建立方程解决实际问题,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程。
教学难点:
分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程。
教学方法:
转化
课型:
新授课
教学过程设计:
(一)设置情境、提出问题
(讲述背景资料)约公元825年,中亚细亚数学家阿
尔一花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢?
通过下面几节课的学习讨论,相信同学们一定能回答这个问题.
出示课本88页问题1:
某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍。
前年这个学校购买了多少台计算机?
(二)探索分析、解决问题
引导学生回忆:
设问1:
如何列方程?
分哪些步骤?
师生讨论分析:
1设未知数:
前年购买计算机x台
2找相等关系:
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台
3列方程:
x+2x+4x=140
设问2:
怎样解这个方程?
如何将这个方程转化为x=a的形式?
学生观察、思考:
根据分配律,可以把含x的项合并,即
x+2x+4x=(1+2+4)x=7x
老师板演解方程过程:
(略)
为帮助有困难的学生理解,可以在上述过程中标上箭头和框图。
设问3:
以上解方程“合并”起了什么作用?
每一步的根据是什么?
学生讨论、回答,师生共同整理:
“合并”是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近x=a的形式。
(三)例题分析、体现方法
出示课本第87页例1
采用学生叙述、教师板书的师生合作方式完成。
(四)课堂练习
学生练习课本上第88页练习
(五)拓广探索、比较分析
对于问题1还有不同的未知数的设法吗?
学生思考回答:
若设去年购买计算机x台,得方程
若设今年购买计算机x台,得方程
(六)综合应用、巩固提高
一个黑白足球的表面一共有32个皮块,其中有若干块黑色五边形和白色六边形,黑、白皮块的数目之比为3:
5,问黑色皮块有多少?
学生思考、讨论出多种解法,师生共同讲评。
(七)课堂小结
提问:
1.你今天学习的解方程有哪些步骤,每一步依据是什么?
2.今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点?
学生思考后回答、整理:
1.解方程的步骤及依据分别是:
合并和系数化为1
2.总量=各部分量的和。
(八)布置作业
课本P91页习题3.2中第1.3.4.6题
§3.2解一元一次方程
(一)
——合并同类项与移项
(2)
教学目标:
知识与技能:
掌握移项方法,学会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程,理解解方程的目标,体会解法中蕴涵的化归思想.
过程与方法:
通过分析实际问题中的数量关系,建立方程解决问题,进一步认识方程模型的重要性.
情感态度与价值观:
体会一元一次方程的应用价值,感受数学文化。
教学重点:
建立方程解决实际问题,会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程。
教学难点:
分析实际问题中的相等关系,列出方程。
教学方法:
分析题意小组讨论
教学过程设计:
(一)提出问题
出示课本88页问题2:
把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本.这个班有多少学生?
(二)分析问题
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路.
学生讨论、分析:
1.设未知数:
设这个班有x名学生
2.找相等关系:
这批书的总数是一个定值,表示它的两个等式相等.
3.列方程:
3x+20=4x-25…
(1)
设问1:
怎样解这个方程?
它与上节课遇到的方程有何不同?
学生讨论后发现:
方程的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25).
设问2:
怎样才能使它向x=a的形式转化呢?
学生思考、探索:
为使方程的右边没有含x的项,等号两边同减去4x,为使方程的左边没有常数项,等号两边同减去20.
3x-4x=-25-20…
(2)
设问3:
以上变形依据是什么?
等式的性质1。
归纳:
像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
师生共同完成解答过程。
设问4:
以上解方程中“移项”起了什么作用?
学生讨论、回答,师生共同整理:
通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边,使方程更接近于x=a的形式。
(三)运用新知
出示课本第91页例2
可以由学生叙述教师板演,也可以让学生尝试给出解答,教师再进行讲评。
解题后反思归纳:
(1)什么时候需要“移项”?
“移项”起了什么作用?
(2)“移项”的依据是什么?
“移项”应注意什么?
(四)课堂练习
学生练习课本上第90页练习
(五)拓广探索、比较分析
对于问题1还有不同的未知数的设法吗?
学生思考回答:
若设去年购买计算机x台,得方程
若设今年购买计算机x台,得方程
(六)综合应用、巩固提高
有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人,如果减少一条船,正好每条船坐9人,问这个班共多少同学?
(七)课堂小结
提问:
1.今天你又学会了解方程的哪些方法?
有哪些步聚?
每一步的依据是什么?
2.现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗?
今天讨论的问题中的相等关系又有何共同特点?
学生思考后回答、整理:
1.解方程的步骤及依据分别是:
移项(等式的性质1)
合并(分配律)
系数化为1(等式的性质2)
2.“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”
3.表示同一量的两个不同式子相等。
(八)布置作业
课本第91页习题3.2第2.7.8题
§3.2解一元一次方程
(一)
——合并同类项与移项(3)
教学目标:
知识与技能:
1.学会探索数列中的规律,建立等量关系.
2.能正确地求解一元一次方程并判断解的合理性.
过程与方法:
经历运用方程解决实际问题的过程,发展抽象、概括、分析和解决问题的能力.
情感态度与价值观:
通过学习“合并同类项”“移项”,体会到古老的代数书的“对消”和“还愿”的思想,激发数学学习的热情.
教学重点:
探索并发现实际问题中的等量关系,并列出方程.
教学难点:
建立一元一次方程解决实际问题.
教学方法:
分析题意
教学过程设计:
(一)创设情境、提出问题
前几节课,我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题,其实许多数列、游戏活动中也蕴含着方程知识。
出示课本87页例2:
有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243……其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数各是多少?
(二)探索分析、解决问题
引导学生观察这列数有什么规律?
(从符号和绝对值两方面)
学生讨论后发现:
后面一个数是前一个数的-3倍。
师生共同分析,完成解答过程:
解:
设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为-3x,第3个数为-3×(-3x)=9x
根据这三个数的和是-1710,得
-3x+9x=-1710
合并,得7x=-243
所以-3x=729
9x=-2187
答:
这三个数是-243.729、-2187
引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。
学生讨论、分析:
探索规律,找出相等关系
如有学生提出不同的设未知数的方法,同样给予鼓励。
信息社会,人们沟通交流方式多样化,移动电话已很普及,选择经济实惠的收费方式很有理实意义。
出示课本91页的例4;观察下列两种移动电话计费方式表:
全球通
神州行
月租费
30元/月
0
本地通话费
0.30元/分
0.40元/分
设计以下问题:
1.你能从中表中获得哪些信息,试用自己的话说说。
2.猜一猜,使用哪一种计费方式合算?
3.一个月内在本地通话200分和350分,按两种计费方式各需交费多少元?
4.对于某个本地通通话时间,会出现两种计费方式的收费一样的情况吗?
(二)探索分析、解决问题
学生充分交流讨论、整理归纳
解:
1.用“全球通”每月收月租费30元,此外根据累计通话时间按0.30元/分加收通话费;用“神州行”不收月租费,根据累计通话时间按0.40元/分收通话费。
2.不一定,具体由当月累计通话时间决定。
全球通
神州行
200分
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 第三章 一元一次方程 教学设计 第三 教学 设计
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